Brak struktury zespolonej na 4 wymiarowej sferze

[Peter Zof]

Czy zna ktoś dowód tego, że \(S^4\) nie ma struktury rozmaitości zespolonej? Znam dowód używający klas Pontryagina, ale to są bardzo "miękkie" rozumowania z topologi algebraicznej. Byłbym wdzięczny, gdyby ktoś podał jakiś argument korzystający z teorii Hodge'a.

[Slup]

Metodami klas charakterystycznych (np. przy użyciu klasy Pontryagina) jesteś w stanie uzyskać nawet to, że na \(\displaystyle{ S^4}\) nie ma struktury prawie zespolonej.

Teoria Hodge'a działa dla zwartych rozmaitości Riemmanowskich. W połączeniu z kompatybilną strukturą zespoloną otrzymujemy zwarte rozmaitości Kählerowskie, na których rozkład Hodge'a ma szczególną postać. Czy chciałbyś pokazać, że sfera \(\displaystyle{ S^4}\) nie może być rozmaitością Kählerowską? To jest stosunkowo proste, ale ma silniejsze założenia niż samo istnienie struktury zespolonej.

[Peter Zof]

Metodami klas charakterystycznych (np. przy użyciu klasy Pontryagina) jesteś w stanie uzyskać nawet to, że na \(\displaystyle{ S^4}\) nie ma struktury prawie zespolonej.

To akurat znam, w sumie to o ten dowód mi chodziło, gdyż wchodzenie w to czy struktura niemal zespolona pochodzi od zespolonej wymaga przebadania tensora Nijenhuise'a. Jednak z tego co wiem to istnieją jakieś charakteryzacje tego w terminach klas charakterystycznych, przynajmniej dla rozmaitości 4 wymiarowych.

@edit: No ale okej, w sumie to można robić od razu dowód dla struktury zespolonej i argumentować przez rozkład wiązki stycznej która też jest wtedy siłą rzeczy rozmaitością zespoloną.

W sumie to nie wiem teraz o co mi chodziło z tą teorią Hodge'a, może to ma związek że uczę się do egzaminu ostatnio W każdym razie chodzi mi o jakieś inne metody dowodzenia takich rzeczy, bardziej w duchu geometrii różniczkowej. Wtedy czuję, że lepiej rozumiem dlaczego tak jest, bo dowód jest geometryczny, a nie tylko...topologiczny.