Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ \{A_i | i N\}}\) będzie podziałem zbioru N na zbiory niekończone. Definiujemy ciąg funkcji \(\displaystyle{ }\) kładąc

\(\displaystyle{ f_j(n) = \begin{cases} 1, \hbox{jeżeli} \quad n \bigcup_{i = 1}^{j} A_i, \\ 0, \hbox{w przeciwnym przypadku.} \end{cases}}\)

Wykaż, że zbiór \(\displaystyle{ \{[f_j]_\approx | j N\}}\) nie ma kresu górnego w \(\displaystyle{ N\}}\) będzie podziałem zbioru N na zbiory niekończone."
Czy oznacza ono iż:
* każdy \(\displaystyle{ A_i}\) ma nieskończenie wiele elementów
* \(\displaystyle{ \bigcup_{i = 0}^{nieskonczonosc} A_i = N}\)
* \(\displaystyle{ \forall_{i, j N \\i \not=j}A_i \cap A_j = \not0}\)

2) Czy takie rozumowanie jest poprawne:
Weźmy dowolne \(\displaystyle{ h [f_i]_\approx}\) i \(\displaystyle{ w [f_j]_\approx}\) gdzie \(\displaystyle{ [f_i]_\approx \not= [f_j]_\approx}\), \(\displaystyle{ j < i}\) i \(\displaystyle{ j,i N}\).
Wtedy h ma nieskończenie więcej jedynek niż w.
W takim razie nie istnieje ograniczenie górne tego zbioru gdyż dla dowolnej klasy abstrakcji możemy wskazać taką która jest "większa od niej".

3) jeżeli punkt 2 jest poprawny, to jak należy to poprawnie zapisać

kz pisze:1) Po pierwsze mam problem ze zdaniem: "Niech \(\displaystyle{ \{A_i | i N\}}\) będzie podziałem zbioru N na zbiory nieskończone."
Czy oznacza ono iż:
* każdy \(\displaystyle{ A_i}\) ma nieskończenie wiele elementów
* \(\displaystyle{ \bigcup_{i = 0}^{\infty} A_i = N}\)
* \(\displaystyle{ \forall_{i, j N \\i \not=j}A_i \cap A_j = \emptyset}\)

Tak.

kz pisze:2) Czy takie rozumowanie jest poprawne:
Weźmy dowolne \(\displaystyle{ h [f_i]_\approx}\) i \(\displaystyle{ w [f_j]_\approx}\) gdzie \(\displaystyle{ [f_i]_\approx \not= [f_j]_\approx}\), \(\displaystyle{ j < i}\) i \(\displaystyle{ j,i N}\).
Wtedy h ma nieskończenie więcej jedynek niż w.
W takim razie nie istnieje ograniczenie górne tego zbioru gdyż dla dowolnej klasy abstrakcji możemy wskazać taką która jest "większa od niej".

Źle. Z zadania 409 WB wynika, że rozważany zbiór ma ograniczenie górne... (np. klasę abstrakcji funkcji stałej z wartością 1). Żeby pokazać, że nie ma kresu górnego trzeba dowieść, że od każdego ograniczenia górnego jest ograniczenie górne mniejsze od niego. Uwaga z nawiasu wskazuje, że wystarczy rozpatrywać funkcje zerojedynkowe. Ustalamy funkcję \(\displaystyle{ f:\mathbb{N} \{0,1\}}\) taką, że \(\displaystyle{ [f]_\approx}\) ogranicza nasz zbiór. Teraz ustalamy selektor \(\displaystyle{ S}\) rodziny \(\displaystyle{ \{A_i : i \mathbb{N}\}}\) taki, że \(\displaystyle{ (\forall s\in S)\,f(s)=1}\) (pomyśl, dlaczego taki selektor istnieje. Wskazówka: gdyby nie istniał, to \(\displaystyle{ [f]_\approx}\) nie byłaby ograniczeniem górnym). Następnie tworzymy nową funkcję \(\displaystyle{ f'}\), zamieniając w funkcji \(\displaystyle{ f}\) jedynki na zera dla argumentów należących do \(\displaystyle{ S}\). Nowa funkcja (tzn. jej klasa abstrakcji) dalej ogranicza naszą rodzinę z góry, a jest ostro mniejsza od \(\displaystyle{ [f]_\approx}\).

JK

Da się zrobić to zadanie bez korzystania z pewnika wyboru?