Matematyka.pl

Aktualnie opracowuję alternatywną teorię mnogości którą nazwałem teorią zbiorów dziurawych.
Wprowadzam nowy operator mnogościowy "być w zbiorze" \(\displaystyle{ \omega}\)

[ Dodano: 27 Grudnia 2008, 14:03 ]
Element może być w zbiorze \(\displaystyle{ x \stackrel o \in y}\) ale do niego nie należeć \(\displaystyle{ x \not\in y}\) np. dziura jest w zbiorze, ale do niego nie należy.

Definiuję zbiór dziurawy:
\(\displaystyle{ \stackrel o X_Y \stackrel {df} = X \stackrel o \setminus Y \stackrel {df} = (X \setminus Y, Y) \stackrel {df} = \{X \setminus Y, (Y)\}}\) gdzie X, Y zbiory typu ZFC (spełniające aksjomatykę ZFC)

Ex. niech \(\displaystyle{ X = \{1 , 2\}}\) oraz \(\displaystyle{ Y = \{3\}}\)
\(\displaystyle{ \stackrel o {\{1, 2\}}_{\{3\}} = \{1,2, (3)\}}\) czyli zbiór dziurawy \(\displaystyle{ \{1, 2\}}\) z dziurą po zbiorze \(\displaystyle{ \{3\}}\)

[ Dodano: 27 Grudnia 2008, 17:03 ]
Dla dowolnego zbioru X typu ZFC definiuję na nim sito:

Sitem ze zbioru X nazywam zbiór dziurawy zawierający wszystkie możliwe kombinacje elementów wraz z dziurami po elementach zbioru X.

\(\displaystyle{ S(\emptyset ) = \{()\}

S(\{1\}) = \{(), (1),\{1\}\}

S(\{1,2\}) = \{(), (1), \{1\}, \{1,(2)\}, (1,2), \{1, 2\}, (2), \{2\}, \{(1), 2\}\}

S(\{1, 2, 3\}) = S(\{1\}) \cup S(\{2\}) \cup S(\{3\}) \cup S(\{1,2\}) \cup S(\{1, 3\}) \cup S(\{2,3\}) \cup \{1,2,3\} \cup (1,2,3) \cup \{1,2,(3)\} \cup \{1, (2), 3\} \cup \{(1), 2, 3\} \cup \{(1,2), 3\} \cup \{(1, 2), (3)\} \cup \{(1,3), 2)\} \cup \{(1,3),(2)\} \cup \{(1),(2,3)\} \cup \{1,(2,3)\}}\)

[ Dodano: 27 Grudnia 2008, 17:20 ]
1. trzeba znaleźć ogólną procedurę do obliczenia mocy zbioru S(X) dla danego X

\(\displaystyle{ |S(\emptyset)|=1}\)

\(\displaystyle{ |S(X)|=3^{|X|}}\)

w szczególności

\(\displaystyle{ |S(N)|=3^{|N|}=3^{\aleph_0} = |\Re|= c}\)

2. zredwidować aksjomat zbioru pustego, potęgowego, nieskończonego ogólnie aksjomatykę ZFC

3. sfromułować i udowodnić twierdzenia np. twierdzenie o indywiduum (mam to gdzieś w głowie i zeszycie)

4. powiązać ze zbiorami rozmytymi (THS wydaje się być dolnym ograniczeniem zbiorów rozmytych)

5. powiązać z mereologią Leśniewskiego

6. powiązać z "moją" (może nie "", ale nie żyjemy w próżni ) teorią włókien

7. https://matematyka.pl/114547.htm

Rzecz o biedzie (w której po części sam jestem, ale jak myślę, że nie ja jeden) - nie zawsze jest do śmiechu
(i pewnie nie ma co o tym się rozpisywać bo może być jeszcze gorzej )

Bieda (brak czegoś w czymś innym) dodać Druga Bieda (inny brak czegoś w czymś innym jest równe) Nowa bieda (nowy brak czegoś w czymś nowym innym)

\(\displaystyle{ \overset {o}X_Y \oplus \overset {o}Z_V = \{X \cup Z, \{(V \backslash X) \cup (Z \backslash Y)\}\} = \overset {o}{(X \cup Z)}_{(V \backslash X) \cup (Z \backslash Y)}}\)

Jednak nie jest to trywialne - a na pewno niestety smutne jeśli się przytrafia.
Jest to jedyne zastosowanie moich zbiorów śladowych jak na teraz.

Zbiory dziurawe są powierzchnią w stosunku do zbiorów śladowych tj. każdy zbiór dziurawy jest śladowy. Definicje na wyjściowym poziomie-0 są analogiczne. Zbiory śladowe zawierają "głębię" poznawczą, która prowadzi między innymi do pojęcia istotnie nowej nieskończoności (pomiędzy \(\displaystyle{ \aleph_0}\), a \(\displaystyle{ 2^{\aleph_0}}\)), która mam nadzieję, będzie nowym spojrzeniem na różne działy matematyki w tym między innymi na teorię liczb.

Zresztą takie powiązania są typowe dla całej matematyki.