Matematyka.pl

Witam! Ostatnio właśnie pisałem repetytorium z logiki i teorii mnogości, ale nie jestem pewien czy dobrze zrobiłem. Proszę zatem o pomoc w rozwiązaniu tych zadań i jeśli ktoś mógłby napisać co nieco na temat swojego wyboru to byłbym wdzięczny.

1. W dowodzie, że klasy abstrakcji relacji równoważności są niepuste wykorzystuje się:
a) symetrię, b) zwrotność, c) przechodniość.

2. Formuła rachunku zdań będąca alternatywą zaprzeczeń tautologii jest:
a) zaprzeczeniem tautologii, b) tautologią, c) ani pierwszym, ani drugim.

3. Relacja \(\displaystyle{ x \approx y \Leftrightarrow 2|x-y \vee 3|x-y}\) jest:
a) zwrotna i przechodnia, b) zwrotna i nieprzechodnia, c) symetryczna i przechodnia.

4. Wśród trzech zbiórów każde dwa nie niepuste przecięcie, wtedy część wspólna wszystkich trzech:
a) musi być pusta, b) musi być niepusta, c) może być pusta.

5. Mamy dwie rodziny zbiorów X i Y i \(\displaystyle{ X \subseteq Y}\) (tutaj X i Y są pisane tak samo jak się pisze R-zbiór liczb rzeczywistych, jakoś tak podwójnie), wtedy:
a) \(\displaystyle{ \bigcap_{}^{}X \subseteq \bigcap_{}^{}Y}\), b) \(\displaystyle{ \bigcap_{}^{}Y \subseteq \bigcap_{}^{}X}\), c) nic nie musi zachodzić.

6. Mamy f: X -> Y i Z \(\displaystyle{ \subseteq}\) X, wtedy:
a) f jest "1-1" to f|Z jest "1-1", b) f nie jest "1-1" to f|Z nie jest "1-1", c) f|Z jest "1-1" to f jest "1-1".

7. Z tego, że \(\displaystyle{ f(x)\notin f(A)}\) wynika:
a) x \(\displaystyle{ \notin}\) A pod warunkiem, że f jest "na", b) x \(\displaystyle{ \notin}\) A pod warunkiem, że f jest "1-1", c) x \(\displaystyle{ \notin}\) A.

Dziękuję z góry za pomoc.

Quote:

4. Wśród trzech zbiórów każde dwa nie niepuste przecięcie, wtedy część wspólna wszystkich trzech:
a) musi być pusta, b) musi być niepusta, c) może być pusta.

c)

Dziękuję. Wybrałem to samo

1 b)
2 a)
3 coś nie tak, poprawne jest zarówno b), jak i c)
5 b)
6 a)
7 c)

JK

Dziękuję. Jednak mógłbyś uzasadnić swój wybór w 5?
W tym 3 faktycznie się pomyliłem w c) powinno być symetryczna i przechodnia.
I w 7 wybrałem to samo, mimo że koleżanka twierdzi, iż poprawna odpowiedź to b Dlatego teraz mam wątpliwości. Bo wiemy, że "jeśli f(x) należy do f(A) to x musi należeć do A". Ale jak teraz temu zaprzeczyć, aby było "jeżeli f(x) nie należy do f(A) to coś tam"?
Nie rozumiem za to 5 :/ Myślałem, że zapis "X zawiera się w Y" oznacza dla każdego i Xi zawiera w Yi, więc przecięcie Xi zawiera się w przecięciu Yi, a nie na odwrót...

Z tym 7. to jest tak:
Jeśli \(\displaystyle{ x\in A}\), to \(\displaystyle{ f(x)\in f(A)}\).
Teraz przez kontrapozycję:
Jeśli \(\displaystyle{ f(x)\notin f(A)}\), to \(\displaystyle{ x\notin A}\)
czyli tak jak trzeba.

Co do 5. to te rodziny zbiorów nie są indeksowanymi rodzinami. Traktujemy je jak zwykłe zbiory, które zawierają pewne zbiory. Czyli \(\displaystyle{ X\subseteq Y}\) oznacza, że każdy zbiór z \(\displaystyle{ X}\) należy do \(\displaystyle{ Y}\), więc przecinając \(\displaystyle{ \bigcap Y}\) przetniemy w szczególności wszystkie zbiory z \(\displaystyle{ X}\) (a być może jeszcze więcej zbiorów) czyli \(\displaystyle{ \bigcap Y \subseteq \bigcap X}\)

Teraz to już rozumiem 7.
Boże.... chyba już wiem o co chodzi..... tak często liczyłem sumę i przecięcie rodziny zbiorów, a zapomniałem o tym, że rodzina to po prostu zbiór, który zawiera zbiory, a nie jakieś elementy jak liczby czy coś... Teraz już rozumiem. Bardzo dziękuję za pomoc. Jednak wybrałem błędną odpowiedź

Rodzina (nieindeksowana) zbiorów to zbiór, którego elementami są zbiory.

Tak, tak, właśnie przed chwilą to zobaczyłem w książce... Gdzieś, kiedyś na wykładzie to było... ale nigdy do tego nie wracaliśmy, tylko liczyliśmy jakieś sumy, przecięcia i zupełnie zapomniałem :/ Traktowałem elementy rodziny X i Y jako... np. powiedzmy liczby

Luxy pisze:I w 7 wybrałem to samo, mimo że koleżanka twierdzi, iż poprawna odpowiedź to b Dlatego teraz mam wątpliwości. Bo wiemy, że "jeśli f(x) należy do f(A) to x musi należeć do A". Ale jak teraz temu zaprzeczyć, aby było "jeżeli f(x) nie należy do f(A) to coś tam"?

Po pierwsze: Nie wiemy, że "jeśli f(x) należy do f(A) to x musi należeć do A", bo to nieprawda.
Po drugie: Wskazałem odpowiedź c), kierując się logiką testu - ta odpowiedź jest na pewno poprawna. Natomiast przy takim sformułowaniu odpowiedzi, jakie są, uważam, że wszystkie trzy są poprawne.

Otóż stwierdzenie "p pod warunkiem, że q" opisuje implikację \(\displaystyle{ q \Rightarrow p}\). Implikacja

\(\displaystyle{ f(x)\notin f(A) \Rightarrow (\psi(f) \Rightarrow x\notin A)}\),

gdzie \(\displaystyle{ \psi(f)}\) oznacza "f jest 1-1" lub "f jest na", jest równoważna (przez kontrapozycję) implikacji

\(\displaystyle{ \neg(\psi(f) \Rightarrow x\notin A) \Rightarrow \neg(f(x)\notin f(A))}\),

czyli

\(\displaystyle{ (\psi(f) \land x\in A) \Rightarrow f(x)\in f(A)}\),

a ta jest prawdziwa...
Podejrzewam zatem, że autorowi testu chodziło o co innego, a wyszło jak wyszło.

JK

Hm... tak źle napisałem. Powinno być, że jeżeli x należy do A to f(x) należy do f(A).
A co do tego [wygasło] to pierwszy warunek nie jest konieczny. Tzn. wystarczy, że jeżeli x należy do A to f(x) należy do f(A), nawet jeśli funkcja nie jest "1-1" czy "na"...

Luxy pisze:A co do tego [wygasło] to pierwszy warunek nie jest konieczny. Tzn. wystarczy, że jeżeli x należy do A to f(x) należy do f(A), nawet jeśli funkcja nie jest "1-1" czy "na"...

No właśnie, dlatego mamy trzy poprawne odpowiedzi...
JK

Hm.... jeśli f(x) nie należy do f(A), to x nie należy do A bez żadnych warunków. W pozostałych podpunktach jakiś warunek musi być spełniony, bo bez niego ani rusz, ale to nieprawda, czyli są fałszywe.
A ta implikacja [wygasło] mówi, że funkcja musi być "1-1" ("na") i x musi należeć do A, wtedy f(x) należy do f(A), tzn. jeśli jeden z warunków nie jest spełniony to implikacja będzie fałszywa, co jest nieprawdą, bo jak wyżej napisałem, wystarczy, że x należy do A, aby f(x) należy do f(A).
Reasumując, odpowiedzi a i b są fałszywe. Mam nadzieję, że teraz będziesz wiedział o co chodzi. Ja wybrałem 6 poprawnych odpowiedzi, 2 fałszywe, czyli mam 4 punkty :/ Bo za jeden błąd -1 punkt :/

Luxy pisze:Hm.... jeśli f(x) nie należy do f(A), to x nie należy do A bez żadnych warunków. W pozostałych podpunktach jakiś warunek musi być spełniony, bo bez niego ani rusz, ale to nieprawda, czyli są fałszywe.
A ta implikacja [wygasło] mówi, że funkcja musi być "1-1" ("na") i x musi należeć do A, wtedy f(x) należy do f(A), tzn. jeśli jeden z warunków nie jest spełniony to implikacja będzie fałszywa, co jest nieprawdą, bo jak wyżej napisałem, wystarczy, że x należy do A, aby f(x) należy do f(A).

To co napisałeś: jeśli jeden z warunków nie jest spełniony to implikacja będzie fałszywa jest nieprawdą. Jeśli istotnie jeden z warunków: \(\displaystyle{ \psi(f)}\), \(\displaystyle{ x\in A}\) nie jest spełniony to implikacja będzie prawdziwa, bo będzie miała fałszywy poprzednik.

Zauważ, że dodając warunek \(\displaystyle{ \psi(f)}\) wzmacniasz założenia, zatem jeszcze łatwiej otrzymać tezę... Czyli jednak wszystkie trzy odpowiedzi są poprawne.

JK

Oki, dzięki

[ Dodano: 15 Grudnia 2008, 18:38 ]
Hm.... chyba już wiem gdzie jest błąd. Możliwe, że w dwóch pozostałych podpunktach powinno być x należy do A. Bo wątpię, żeby jakiś super dr prof. hab. się pomylił Jutro pewnie to odda, wtedy napiszę co tam powinno być.