Obraz i przeciwobraz funkcji

[19Radek88]

Niech \(\displaystyle{ f(x) = x^{2}}\) . Znajdx obraz zbioru A oraz przeciwobraz zbioru B wzgledem f:

a. \(\displaystyle{ A=[-2;3] , B=(1;4)}\)
b. \(\displaystyle{ A=(0;2) , B={9}}\)
c. \(\displaystyle{ A=\{-3\} , B=(-\infty ; 3]}\)

[JankoS]

a) \(\displaystyle{ f([-2;3])=[0;9],f ^{-1} (1;4)=(-2;-1) (1;2),}\)
b)\(\displaystyle{ f(0;2)=(0;4),f ^{-1} (9)=\{-3,3\},}\)
c) \(\displaystyle{ f(-3)=9,f ^{-1}((- \infty ;3])=(- \sqrt{3}; \sqrt{3}0.}\)

[Jan Kraszewski]

a) \(\displaystyle{ f([-2;3])=[0;9],f ^{-1} (1;4)=(-2;-1) (1;2),}\)
b)\(\displaystyle{ f(0;2)=(0;4),f ^{-1} (9)=\{-3,3\},}\)
c) \(\displaystyle{ f(-3)=9,f ^{-1}((- ;3])=(- \sqrt{3}; \sqrt{3}0.}\)

Gwoli formalnej ścisłości: powinno być
a) \(\displaystyle{ f ^{-1} ((1;4))=(-2;-1) \cup(1;2),}\)
b)\(\displaystyle{ f((0;2))=(0;4),f ^{-1} (\{9\})=\{-3,3\},}\)
c) \(\displaystyle{ f(\{-3\})=\{9\}.}\)
JK

[JankoS]

Gwoli formalnej ścisłości: powinno być
a) \(\displaystyle{ f ^{-1} ((1;4))=(-2;-1) \cup(1;2),}\)
b)\(\displaystyle{ f((0;2))=(0;4),f ^{-1} (\{9\})=\{-3,3\},}\)
c) \(\displaystyle{ f(\{-3\})=\{9\}.}\)
JK

Racja. Dzięki.Coś mi się pokręciło ("przemyciło mi się z funkcji dwóch zmiennych, gdzie zamiast \(\displaystyle{ f((x,y)) \ piszemy \ f(x,y).}\)
Postaram się o tym pamiętać.

[Atraktor]

dlaczego w podpunkcie c mamy taki przedział?czy ktoś mógłby wytłumaczyć skąd w przeciw obrazie bierze się takie rozwiązanie?

[Jan Kraszewski]

Tam powinno być \(\displaystyle{ f ^{-1}((- \infty ;3])=(- \sqrt{3}; \sqrt{3})}\) (to zero to źle naciśnięty nawias).

Czy to Cię niepokoiło?

JK

[Atraktor]

Nadal nie rozumiem, problemem jest ta nieskonczoność, czy mogłby Pan to rozpisać?

[Jan Kraszewski]

To może zauważ, że
\(\displaystyle{ f ^{-1}((- \infty ;3])=f ^{-1}([0 ;3])}\).

Dlaczego? To dobry test na zrozumienie pojęcia przeciwobrazu.

JK

[Atraktor]

Pewnie chodzi o to, że funkcja \(\displaystyle{ f^{-1} (x)}\) nie istnieje dla x<0. tak?-- 18 maja 2009, 19:21 --Tak się jeszcze zastanawiam czym różni się to zadanie od takiego w którym należy znaleźć funkcję odwrotną a następnie napisać przedział y w zależności od przedziału B? Tzn nie do końca rozumiem co to jest przeciw obraz?

[Jan Kraszewski]

Pewnie chodzi o to, że funkcja \(\displaystyle{ f^{-1} (x)}\) nie istnieje dla x<0. tak?

Twoje sformułowanie jest niepoprawne (nie ma sensu mówienie o funkcji odwrotnej), ale tak, o to chodzi.

Tak się jeszcze zastanawiam czym różni się to zadanie od takiego w którym należy znaleźć funkcję odwrotną a następnie napisać przedział y w zależności od przedziału B? Tzn nie do końca rozumiem co to jest przeciw obraz?

Przede wszystkim tym, że funkcja odwrotna bardzo często nie istnieje, a przeciwobraz zawsze można wyznaczyć.
Przeciwobraz zbioru B (będącego podzbiorem przeciwdziedziny) to zbiór tych argumentów (czyli elementów dziedziny funkcji), na których funkcja przyjmuje wartości w zbiorze B.

JK

[malymisio888]

Tam powinno być \(\displaystyle{ f ^{-1}((- \infty ;3])=(- \sqrt{3}; \sqrt{3})}\) (to zero to źle naciśnięty nawias).

Czy to Cię niepokoiło?

JK

A czemu ten przedział jest otwarty skoro zbiór dla którego tworzymy przeciwobraz jest domknięty i 3 do niego wchodzi?

[Jan Kraszewski]

Tam powinno być \(\displaystyle{ f ^{-1}((- \infty ;3])=(- \sqrt{3}; \sqrt{3})}\) (to zero to źle naciśnięty nawias).

A czemu ten przedział jest otwarty skoro zbiór dla którego tworzymy przeciwobraz jest domknięty i 3 do niego wchodzi?

Bo się wygiął?

Tak, oczywiście masz rację, to pomyłka. Powinno być \(\displaystyle{ f ^{-1}((- \infty ;3])=[- \sqrt{3}; \sqrt{3}]}\).

JK