Równoliczność zbiorów i bijekcja

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
MartaMaWszy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 28 lip 2022, o 16:25
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 11 razy

Równoliczność zbiorów i bijekcja

Post autor: MartaMaWszy »

Hej, mam problem z takim zadaniem:

Dla danych zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) \(\displaystyle{ \subseteq}\) \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) udowodnij, że \(\displaystyle{ A\sim B}\), znajdując każdorazowo bijekcję z \(\displaystyle{ A}\) na \(\displaystyle{ B}\), lub z \(\displaystyle{ B}\) na \(\displaystyle{ A}\):

b) \(\displaystyle{ A=(0,1)}\), \(\displaystyle{ B=(0,1)\cup\{1,2,3\}}\)

Nie wiem dlaczego tego typu zadania sprawiają mi tyle bólu, ale nie mogę znaleźć logicznej metody znajdowania bijekcji w przykładach z odcinkami, robiąc proste zadania jak znaleźenie bijekcji między \(\displaystyle{ A = \lbrace \langle x, y \rangle \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \le 1 \rbrace}\) i \(\displaystyle{ B = \lbrace \langle x, y \rangle \in \mathbb{R}^2 : (x-1)^2 + (y-1)^2 \le 4 \rbrace}\), gdzie taka funkcja jest banalna do zauważenia łudziłem się, że tak samo łatwo będzie dla tych przypadków. Rozumiem fakt, że muszę jakąś funkcję, w tym przypadku w postaci \(\displaystyle{ \langle a_{n} \rangle_{n \in \mathbb{N}}}\), określoną wzorem \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1}{n}}\), zakładam że jest ten ciąg wybrany poprzez naturę "ułamkową" w zbiorze, ale tego także nie jestem pewien, oraz że funkcja będzie w postaci \(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} a_{n+1} &\text{dla } x = a_{n} \\ x&\text{dla } x\in \mathbb{R} \setminus \lbrace a_{n} : n\in\mathbb{N}\rbrace\end{cases}}\). Także rozumiem metodę "przesunięcia" zbioru, w tym przypadku \(\displaystyle{ \frac{a}{n}\rightarrow\frac{a}{n+1}}\), ale nie mogę jej logicznie zrozumieć, skąd się wzięła i na jakiej bazie ją wybieramy. Będę niezmiernie wdzięczny za pomoc, oraz wskazówki.
Ostatnio zmieniony 8 sie 2022, o 14:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości: \sim, \setminus.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Równoliczność zbiorów i bijekcja

Post autor: Jan Kraszewski »

MartaMaWszy pisze: 8 sie 2022, o 13:36Rozumiem fakt, że muszę jakąś funkcję, w tym przypadku w postaci \(\displaystyle{ \langle a_{n} \rangle_{n \in \mathbb{N}}}\), określoną wzorem \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1}{n}}\), zakładam że jest ten ciąg wybrany poprzez naturę "ułamkową" w zbiorze, ale tego także nie jestem pewien, oraz że funkcja będzie w postaci \(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} a_{n+1} &\text{dla } x = a_{n} \\ x&\text{dla } x\in \mathbb{R} \setminus \lbrace a_{n} : n\in\mathbb{N}\rbrace\end{cases}}\).
Nie będzie.
MartaMaWszy pisze: 8 sie 2022, o 13:36Także rozumiem metodę "przesunięcia" zbioru, w tym przypadku \(\displaystyle{ \frac{a}{n}\rightarrow\frac{a}{n+1}}\), ale nie mogę jej logicznie zrozumieć, skąd się wzięła i na jakiej bazie ją wybieramy.
W tej metodzie chodzi o to, by "zgubić" (lub "dodać", jeśli robisz funkcję w przeciwną stronę) pewne elementy zbioru, korzystając z ciągu. Metoda opiera się na tym, że dla każdego zbioru nieskończonego możemy wskazać ciąg różnowartościowy, którego wyrazy są elementami tego zbioru (czyli - mówiąc potocznie i niezbyt ściśle - "wybrać" w tym zbiorze ciąg różnowartościowy). To "gubienie" (skończenie wielu) elementów polega na tym, by ten ciąg wybrać tak, że jego początkowymi wyrazami są te elementy zbioru, które chcesz "zgubić", a potem "przesunąć" się w tym ciągu o tyle, by ominąć te elementy.

W przykładzie w zadaniu, konstruując bijekcję z \(\displaystyle{ B}\) w \(\displaystyle{ A,}\) musisz wybrać ciąg różnowartościowy taki, że \(\displaystyle{ a_0=1, a_1=2, a_2=3}\) oraz \(\displaystyle{ a_n\in(0,1)}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 3}\) i postąpić według powyższej procedury.

JK
ODPOWIEDZ