Obraz i przeciwobraz funkcji

[MartaMaWszy]

Hej, mam problem z takim zadaniem

Dla danej funkcji \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR^2}\) oraz zbiorów \(\displaystyle{ A \subseteq \RR}\) i \(\displaystyle{ B \subseteq \RR^2}\) znajdź \(\displaystyle{ f^{-1}(B)}\) i naszkicuj w prostokątnym układzie współrzędnych \(\displaystyle{ f(A)}\).

a) \(\displaystyle{ f(x)=\left\langle x,x^2\right\rangle , A=(-2,2],B=(-1,1]\times(0,4)}\)

Zacząłem to zadanie od obliczenia produktu w jakim będzie znajdował się \(\displaystyle{ f(A)}\), dany iloczyn wyszedł mi \(\displaystyle{ (-1,2]\times[0,4]}\), z czym nie miałem problemu, narysowałem funkcję i wszystko się zgadzało, lecz kiedy podszedłem do przeciwobrazu \(\displaystyle{ B}\) zacząłem mieć problemy, gdyż na moje rozumowanie nic co było podane jako "argument" z pierwszego zbioru produktu nie mogłoby osiągnąć "wartości" 4, sprawdzenie odpowiedzi pogłębiło moje zakłopotanie, gdyż autorowi wyszedł wynik \(\displaystyle{ (-1,0) \cup(0,1]}\), z góry dziękuję za pomoc i wskazówki.

PS: przepraszam za mój poprzedni post nie do końca wiedziałem jak działa forum

[3a174ad9764fefcb]

Zacząłem to zadanie od obliczenia produktu w jakim będzie znajdował się \(\displaystyle{ f(A)}\), dany iloczyn wyszedł mi \(\displaystyle{ (-1,2]\times[0,4]}\)

A jednak \(f(-1)\not\in(-1,2]\times[0,4]\), pomimo że \(-1\in A\).

[MartaMaWszy]

a) \(\displaystyle{ f(x)=\left\langle x,x^2\right\rangle , A=(-2,2],B=(-1,1]\times(0,4)}\)

Tak, przepraszam za pomyłkę \(\displaystyle{ A=(-1,2].}\)

[Jan Kraszewski]

lecz kiedy podszedłem do przeciwobrazu \(\displaystyle{ B}\) zacząłem mieć problemy, gdyż na moje rozumowanie nic co było podane jako "argument" z pierwszego zbioru produktu nie mogłoby osiągnąć "wartości" 4, sprawdzenie odpowiedzi pogłębiło moje zakłopotanie, gdyż autorowi wyszedł wynik \(\displaystyle{ (-1,0) \cup(0,1]}\),

A dlaczego miałoby być osiągnięta wartość \(\displaystyle{ 4}\)? Przecież to nie ma nic do rzeczy. Zgodnie z definicją przeciwobrazu masz

\(\displaystyle{ f^{-1}\left[ (-1,1]\times(0,4)\right]=\{x\in\RR:\left\langle x,x^2\right\rangle\in(-1,1]\times(0,4) \} }\)

czyli szukasz \(\displaystyle{ x}\)-ów takich, że \(\displaystyle{ \left\langle x,x^2\right\rangle\in(-1,1]\times(0,4)}\), czyli \(\displaystyle{ x\in(-1,1]\land x^2\in(0,4)}\) itd.

JK

[MartaMaWszy]

Posiedziałem nad tym trochę i nie wiem do końca, czy znalazłem poprawną odpowiedź do rozwiązania tego zadania, więc byłbym wdzięczny jeśli ktoś byłby w stanie potwierdzić

Zacząłem od tego, że utworzyłem cztery nierówności na bazie zbioru i funkcji:
(1) \(\displaystyle{ x>-1 \Rightarrow x\in (-1,\infty)}\)
(2) \(\displaystyle{ x\le 1 \Rightarrow x\in (-\infty,1]}\)
(3) \(\displaystyle{ x^2>0 \Rightarrow x\in \RR\setminus\lbrace0\rbrace}\)
(4) \(\displaystyle{ x^2<4 \Rightarrow x\in(-2,2)}\)
Następnie mnożąc te zbiory wyszedł mi wynik \(\displaystyle{ (-1,0)\cup(0,1]}\)

Nie wiem czy jest to poprawna metoda rozwiązania tego typu zadań, więc bardzo doceniam poprawienie mojego błędu, lub potwierdzenie tego sposobu

[Jan Kraszewski]

Zacząłem od tego, że utworzyłem cztery nierówności na bazie zbioru i funkcji:
(1) \(\displaystyle{ x>-1 \Rightarrow x\in (-1,\infty)}\)
(2) \(\displaystyle{ x\le 1 \Rightarrow x\in (-\infty,1]}\)
(3) \(\displaystyle{ x^2>0 \Rightarrow x\in \RR\setminus\lbrace0\rbrace}\)
(4) \(\displaystyle{ x^2<4 \Rightarrow x\in(-2,2)}\)
Następnie mnożąc te zbiory wyszedł mi wynik \(\displaystyle{ (-1,0)\cup(0,1]}\)

To jest poprawnie, ale to jest podróżowanie z Warszawy do Gdańska przez Rzeszów, czyli zupełnie zbędne komplikowanie sobie życia.

Masz do "odczytania" warunek \(\displaystyle{ x\in (-1,1]\land x^2\in(0,4)}\). Skoro wiesz \(\displaystyle{ x\in (-1,1]}\), to po co rozkładać tę informację na dwa warunki, żeby za chwilę zwinąć je z powrotem do tej samej informacji? Warunek \(\displaystyle{ x^2\in(0,4)}\) można rozłożyć na dwie części, ale jest on na tyle prosty, że można od razu odczytać odpowiedź \(\displaystyle{ x\in(-2,2) \setminus \{0\}.}\)

JK

[MartaMaWszy]

To jest poprawnie, ale to jest podróżowanie z Warszawy do Gdańska przez Rzeszów, czyli zupełnie zbędne komplikowanie sobie życia.

Haha, dziękuję bardzo za potwierdzenie i uproszczenie rozwiązania!