Antynomia Bertranda Russella a schemat definiowania zbiorów

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
JK+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 17 lip 2022, o 16:07
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 3 razy

Antynomia Bertranda Russella a schemat definiowania zbiorów

Post autor: JK+ »

Witam,

Chciałbym zrozumieć tylko jedną kwestię. Otóż jakie zastosowanie ma schemat definiowania zbioru postaci „\(\displaystyle{ A = \{ x \in B : W(x) \}}\) dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ B}\)” względem prostszego oznaczenia „\(\displaystyle{ A = \{ x : W(x ) \}}\)”? Czy utworzenie nowego zbioru (\(\displaystyle{ A}\)) z innego określonego w definicji zbioru (\(\displaystyle{ B}\)) daje nam jakąkolwiek pewność, że tak oto nowo powstały zbiór (\(\displaystyle{ A}\)) nie będzie podlegał Antynomii Russella?

Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 20 lip 2022, o 11:27 przez Dasio11, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Antynomia Bertranda Russella a schemat definiowania zbiorów

Post autor: matmatmm »

Pewności mieć nie możemy, bo to jest kwestia niesprzeczności aksjomatycznej teorii mnogości. Z drugiej strony jednak póki co nikomu nie udało się uzyskać sprzeczności i większość chyba wierzy w tę niesprzeczność.

Jeśli zastosujemy aksjomat wyróżniania do jakiegoś zbioru \(\displaystyle{ B}\) i formuły takiej jak w antynomii Russella, to zbiór \(\displaystyle{ A=\{x\in B: x\notin x\}}\) istnieje, a w typowy sposób sprzeczności nie uzyskamy, bo nie ma jak stwierdzić, że \(\displaystyle{ A\in B}\).

Notabene pod założeniem aksjomatu regularności zawsze \(\displaystyle{ x\notin x}\), więc zbiór \(\displaystyle{ A=\{x\in B: x\notin x\}}\) jest po prostu równy \(\displaystyle{ B}\).
JK+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 17 lip 2022, o 16:07
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 3 razy

Re: Antynomia Bertranda Russella a schemat definiowania zbiorów

Post autor: JK+ »

No tak, odrzucenie możliwości zaliczenia zbioru \(\displaystyle{ A}\) jako elementu zbioru \(\displaystyle{ B}\) w tej sytuacji wyeliminowałoby całą istotę problemu. Czyli w ten sposób jakby ograniczono swobodę doboru elementów do nowo utworzonego zbioru. Jednak aby uznać to całe stwierdzenie za prawdziwe musiałbym zrozumieć dlaczego na tym etapie nie mamy pewności co do przynależności zbioru \(\displaystyle{ A}\) do zbioru \(\displaystyle{ B}\) (\(\displaystyle{ A \in B}\)). Czy zna Pan może źródło z którego mógłbym zaczerpnąć bardziej szczegółowych informacji na ten temat?
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Antynomia Bertranda Russella a schemat definiowania zbiorów

Post autor: Jakub Gurak »

Z aksjomatu regularności łatwo wynika, że:

Dla dowonego zbioru \(\displaystyle{ x}\), mamy: \(\displaystyle{ x \notin x}\), a stąd:

\(\displaystyle{ A=\left\{ x \in B: \ x \notin x\right\}=B, }\)

i dalej: \(\displaystyle{ A=B \notin B.}\)
JK+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 17 lip 2022, o 16:07
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 3 razy

Re: Antynomia Bertranda Russella a schemat definiowania zbiorów

Post autor: JK+ »

Dzięki za wyjaśnienia, wszystko nabrało sensu :D
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Antynomia Bertranda Russella a schemat definiowania zbiorów

Post autor: matmatmm »

JK+ pisze: 20 lip 2022, o 13:29 Jednak aby uznać to całe stwierdzenie za prawdziwe musiałbym zrozumieć dlaczego na tym etapie nie mamy pewności co do przynależności zbioru \(\displaystyle{ A}\) do zbioru \(\displaystyle{ B}\) (\(\displaystyle{ A \in B}\)).
Uzasadnienie przez własność \(\displaystyle{ x\notin x}\) choć poprawne nie jest w tym miejscu konieczne. Myślę, że sprawa rozbija się o coś innego. Otóż żeby uznać to całe stwierdzenie za poprawne wcale nie trzeba dowodzić, że \(\displaystyle{ A\notin B}\). Stwierdzenie należy uznać za poprawne dlatego, że jest wnioskiem z aksjomatów (bo wierzymy, że aksjomaty są niesprzeczne). Nie trzeba dowodzić, że nie da się z aksjomatów uzyskać sprzeczności (a mam wrażenie, że czegoś takiego szukasz). Można jedynie dywagować (co zresztą uczyniłem w poprzednim poście) dlaczego nie uzyskamy jakimś tam rozumowaniem sprzeczności, ale tego zaliczyć jako dowód jakiejś tezy raczej nie można.

A własność \(\displaystyle{ A\notin B}\) da się pokazać bez korzystania z własności \(\displaystyle{ x\notin x}\). Otóż gdyby \(\displaystyle{ A\in B}\), to mielibyśmy
\(\displaystyle{ A\in A \iff A\notin A}\), sprzeczność.
JK+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 17 lip 2022, o 16:07
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18
Podziękował: 3 razy

Re: Antynomia Bertranda Russella a schemat definiowania zbiorów

Post autor: JK+ »

matmatmm pisze: 20 lip 2022, o 19:20 Otóż żeby uznać to całe stwierdzenie za poprawne wcale nie trzeba dowodzić, że \(\displaystyle{ A\notin B}\). Stwierdzenie należy uznać za poprawne dlatego, że jest wnioskiem z aksjomatów (bo wierzymy, że aksjomaty są niesprzeczne). Nie trzeba dowodzić, że nie da się z aksjomatów uzyskać sprzeczności (a mam wrażenie, że czegoś takiego szukasz). Można jedynie dywagować (co zresztą uczyniłem w poprzednim poście) dlaczego nie uzyskamy jakimś tam rozumowaniem sprzeczności, ale tego zaliczyć jako dowód jakiejś tezy raczej nie można.
W pełni rozumiem, jestem nowicjuszem w tej tematyce stąd moje dociekliwe choć niekoniecznie trafne pytania. Jednocześnie jako że jestem na początku mojej drogi to nie mam jeszcze obeznania w aksjomatach rządzących tym światem. Właśnie aksjomaty poniekąd po to powstały, aby uznać je za pewnik i nie musieć rozważać ich prawdziwości. Ja jednak lubię wiedzieć na czym stoję i nie potrafię przejść dalej bo by mnie sumienie gryzło :mrgreen:

Pozdrawiam
ODPOWIEDZ