Przypomnijmy relacja \(\displaystyle{ R}\) w zbiorze \(\displaystyle{ X}\) jest przeciwzwrotna, gdy żaden element zbioru \(\displaystyle{ X}\) nie jest w relacji \(\displaystyle{ R}\) z samym sobą.
Mamy fakt:
\(\displaystyle{ \hbox{ relacja }R \hbox{ jest przeciwzwrotna }\Leftrightarrow I_X \cap R=\left\{ \right\} .}\)
Tzn. relacja jest przeciwzwrotna, gdy przekątna i ta relacja \(\displaystyle{ R}\) są zbiorami rozłącznymi.
DOWÓD TEGO FAKTU::
\(\displaystyle{ R\oplus S= \left( R \cup S\right) \setminus \left( R \cap S\right)\subset R \cup S}\),
ponieważ relacje \(\displaystyle{ R, S}\) są przeciwzwrotne, to równiez ich suma jest relacją przeciwzwrotną, i w efekcie relacja \(\displaystyle{ R\oplus S}\) jako podzbiór relacji przeciwzwrotnej jest relacją przeciwzwrotną\(\displaystyle{ .\square}\)
Nim przejdziemy dalej przypomnijmy (prosty) fakt, że jesli mamy rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{B},}\) oraz zbiór \(\displaystyle{ X}\) (zbiór, być może, sposza tej rodziny, po prostu dowolny zbiór), to jeśli ten zbiór jest rozłączny z każdym zbiorem tej rodziny, to jest rozłączny również z sumą tej rodziny- jest to prosty fakt.
Rozważmy teraz zbiór \(\displaystyle{ X}\) oraz rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) relacji przeciwzwrotnych w zbiorze \(\displaystyle{ X}\). Wykażemy, że również suma \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\) jest relacją przeciwzwrotną.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Zauważmy najpierw, że zbiór \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B} }\) jest relacją z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ X}\).
Niech \(\displaystyle{ R\in \mathbb{B}.}\) Wtedy \(\displaystyle{ R}\) jest relacją przeciwzwrotną, tzn. zbiory \(\displaystyle{ I_X}\) i \(\displaystyle{ R}\) są rozłączne. Z dowolności wyboru relacji \(\displaystyle{ R\in \mathbb{B}}\) otrzymujemy, że zbior \(\displaystyle{ I_X }\) jest rozłączny z każdą relacją \(\displaystyle{ R\in\mathbb{B}}\), więc na mocy przytoczonego faktu zbiór \(\displaystyle{ I_X}\) jest rozłączny z sumą \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\), a wiec \(\displaystyle{ I_X \cap \bigcup\mathbb{B}=\left\{ \right\} }\), i relacja \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{B}}\) jest przeciwzwrotna.\(\displaystyle{ \square}\)
Rozważmy teraz zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz relację \(\displaystyle{ R}\) w zbiorze \(\displaystyle{ X}\). Wykażemy, że relacja \(\displaystyle{ R \setminus I_X}\) jest największą relacją przeciwzwrotną zawartą w relacji \(\displaystyle{ R}\) (największą jej częścią przeciwzwrotną).
Niewątplwie zbiór \(\displaystyle{ R \setminus I_X}\) jest relacją zawartą w relacji \(\displaystyle{ R}\). Wykażemy, że jest to relacja przeciwzwrotna.
Niech \(\displaystyle{ x\in X}\). Wtedy ponieważ \(\displaystyle{ (x,x)\in I_X}\), to \(\displaystyle{ (x,x)\not\in R \setminus I_X}\), i z dowolności wyboru \(\displaystyle{ x\in X}\), otrzymujemy, ze \(\displaystyle{ R \setminus I_X}\) jest relacją przeciwzwrotną.
Pozostaje wykazać, że jest to największa taka relacja przeciwzwrotna. Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie relacją przeciwzwrotną zawartą w relacji \(\displaystyle{ R}\). Wtedy \(\displaystyle{ S\subset R}\) i \(\displaystyle{ S \cap I_X =\left\{ \right\} }\), czyli zbiory \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ I_X}\) są zbiorami rozłącznymi. Ponieważ, na ważniaku, udowodnili twierdzenie, z którego wynika, że (w naszym przypadku, gdyż zachodzi to dla róznicy dowolnych dwoch zbiorów), że różnica \(\displaystyle{ R \setminus I_X}\) jest największym zbiorem zawartym w \(\displaystyle{ R}\) i rozłącznym z \(\displaystyle{ I_X}\) , więc \(\displaystyle{ S\subset R \setminus I_X}\).
A więc relacja \(\displaystyle{ R \setminus I_X}\) jest największą relacją przeciwzwrotną zawartą w relacji \(\displaystyle{ R.\square}\)
Wykażemy jeszcze, że dopelnienie relacji przeciwzwrotej jest relacją zwrotną; oraz, że dopełnienie relacji zwrotnej jest relacją przeciwzwrotną.
Tzn. niech \(\displaystyle{ R}\) będzie relacją w zbiorze \(\displaystyle{ X}\), relacją przeciwzwrotną. Wykażemy, że jej dopełnienie \(\displaystyle{ R'=\left( X \times X\right) \setminus R}\) jest relacją zwrotną.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Musimy wykazać, że \(\displaystyle{ R'\supset I_X}\). Ponieważ relacja \(\displaystyle{ R}\) jest przeciwzwrotna, a zatem \(\displaystyle{ I_X \cap R=\left\{ \right\}}\) , a zatem \(\displaystyle{ \left( I_X \cap R\right) '=X \times X }\), a zatem na podstawie prawa de Morgana dla dopełnienia przekroju dwóch zbiórów, otrzymujemy, że: \(\displaystyle{ \left( I_X \right)' \cup R'=X \times X}\) , ponieważ \(\displaystyle{ I_X\subset X \times X = \left( I_X\right)' \cup R'}\), a więc, poniewaz zbiory\(\displaystyle{ I_X}\) i \(\displaystyle{ \left( I_X\right)'}\) są rozłączne, a zatem : \(\displaystyle{ I_X \subset R'.\square}\)
Niech teraz \(\displaystyle{ R}\) będzie relacją zwrotną w zbiorze \(\displaystyle{ X.}\) Wykażemy, że jej dopełnienie \(\displaystyle{ R'=\left( X \times X\right) \setminus R}\) jest relacją przeciwzwrotną.
DOWOD TEGO FAKTU:
Ponieważ relacja \(\displaystyle{ R}\) jest zwrotna, a więc \(\displaystyle{ R\supset I_X.}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \underbrace {\left( R' =\left( X \times X\right) \setminus R\right) }_{ \subset \left( I_X\right) '} \cap I_X \subset \left( I_X\right) ' \cap I_X=\left\{ \right\} }\), a więc (ponieważ jedynym podzbiorem zbioru pustego jest on sam ), więc: \(\displaystyle{ R' \cap I_X=\left\{ \right\}}\) , a więc relacja \(\displaystyle{ R'}\) jest przeciwzwrotna\(\displaystyle{ .\square}\)
Na koniec podam taki poniższy prosty fakt:
Jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\) oraz relację \(\displaystyle{ R}\) w nim, wtedy istnieje największa relacja zwrotna zawarta w realcji \(\displaystyle{ R}\) (nie zawsze), lecz dokładnie wtedy, gdy cała relacja \(\displaystyle{ R}\) jest relacją zwrotną.
Dowód jest oczywisty:
Jesli relacja \(\displaystyle{ R}\) jest zwrotna, to bierzemy \(\displaystyle{ S= R}\), wtedy jest to relacja zwrotna, zawarta w samej sobie, i oczywiście jest to największa taka część zwrotna.
Jeśli relacja \(\displaystyle{ R}\) nie jest zwrotna, to nie istnieje największa jej część zwrotna. Jeśli relacja \(\displaystyle{ R}\) nie jest zwrotna, tzn. \(\displaystyle{ R\not\supset I_X}\), to gdyby istniała największa jej część zwrotna, nazwijmy ją \(\displaystyle{ S}\), ponieważ jest to relacja zwrotna, tzn. \(\displaystyle{ S\supset I_X}\), a więc tym bardziej ponieważ \(\displaystyle{ R\supset S}\), to tym bardziej \(\displaystyle{ R\supset I_X}\)- sprzeczność. Wobec czego nie istnieje największa część relacji \(\displaystyle{ R}\), część zwrotna. \(\displaystyle{ \square }\)
