Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest różnowartościowa, \(\displaystyle{ A,B \subset X}\), to \(\displaystyle{ f(A \cap B)=f(A) \cap f(B).}\)
Pokazać, że nie jest to prawdą dla dowolnej funkcji
Zbiór
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Zbiór
Niech \(\displaystyle{ y\in f(A \cap B)}\) wtedy \(\displaystyle{ y=f(x)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\in A \cap B}\). Ten \(\displaystyle{ x}\) jest więc świadkiem na to, że \(\displaystyle{ y\in f(A)}\) oraz \(\displaystyle{ y\in f(B)}\) zatem \(\displaystyle{ f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)}\).
Niech \(\displaystyle{ y\in f(A) \cap f(B) }\). Istnieją więc \(\displaystyle{ x_1\in A}\) oraz \(\displaystyle{ x_2\in B}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f(x_1)=f(x_2)}\). Z różnowartościowości wynika, że \(\displaystyle{ x_1=x_2}\) więc faktycznie istnieje taki \(\displaystyle{ x\in A \cap B}\), że \(\displaystyle{ f(x)\in f(A \cap B)}\). Zatem inkluzja w drugą stronę zachodzi. Więc mamy równość.
Co do kontrprzykładu to weź jakąś funkcję nieróżnowartościwą i pokaż, że się psuje. A dokładnie, że druga inkluzja się psuje bo pierwsza poszła bez założeń.
Niech \(\displaystyle{ y\in f(A) \cap f(B) }\). Istnieją więc \(\displaystyle{ x_1\in A}\) oraz \(\displaystyle{ x_2\in B}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f(x_1)=f(x_2)}\). Z różnowartościowości wynika, że \(\displaystyle{ x_1=x_2}\) więc faktycznie istnieje taki \(\displaystyle{ x\in A \cap B}\), że \(\displaystyle{ f(x)\in f(A \cap B)}\). Zatem inkluzja w drugą stronę zachodzi. Więc mamy równość.
Co do kontrprzykładu to weź jakąś funkcję nieróżnowartościwą i pokaż, że się psuje. A dokładnie, że druga inkluzja się psuje bo pierwsza poszła bez założeń.