Liczba dróg na kratownicy

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
kt26420
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 40 razy

Liczba dróg na kratownicy

Post autor: kt26420 »

Znajdź liczbę przechodzących w prawo i do góry dróg na kratownicy o początku \(\displaystyle{ \left\langle 0,0\right\rangle}\) i końcu\(\displaystyle{ \left\langle 9,9\right\rangle }\), które przechodzą przez dokładnie jeden z punktów \(\displaystyle{ \left\langle 3,3\right\rangle}\) , \(\displaystyle{ \left\langle 4,2\right\rangle , \left\langle 6,6\right\rangle }\)

Jak za takie coś się zabrać?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Liczba dróg na kratownicy

Post autor: Janusz Tracz »

kt26420 pisze: 18 kwie 2022, o 21:47 Jak za takie coś się zabrać?
Polecam:
  • zrozumieć o co w ogóle pytają,
  • zastanowić się nad prostszym zadaniem typu ile jest takich dróg od \(\displaystyle{ \left\langle 0,0\right\rangle }\) do \(\displaystyle{ \left\langle 5,5\right\rangle }\),
  • uogólnić obserwację na przypadek ogólny \(\displaystyle{ \left\langle 0,0\right\rangle }\) \(\displaystyle{ \rightarrow }\) \(\displaystyle{ \left\langle n,n\right\rangle }\), a nawet \(\displaystyle{ \left\langle n,k\right\rangle }\),
  • teraz tzreba już tylko wpaść na sposób zliczania możliwości, gdy mamy podany punkt przez który mamy przejść. Tu trzeba trochę wyobrażni oraz reguł typu mnożenia lub dodawania.
kt26420
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 40 razy

Re: Liczba dróg na kratownicy

Post autor: kt26420 »

Dla przypadka ogólnego chyba rozumiem, bo wydaję mi się że ma to być \(\displaystyle{ {{n+k} \choose k} }\) bo wybieramy ile razy idziemy w górę (albo analogicznie na prawo) spośrod calej ścieżki. Ale z tym wybranym punktem to naprawdę nie mam pomysłu ...
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Liczba dróg na kratownicy

Post autor: kerajs »

Przykładowo: dróg z \(\displaystyle{ (0,0) }\)do \(\displaystyle{ (9,9)}\) przechodzących przez \(\displaystyle{ (3,3)}\) jest \(\displaystyle{ {6 \choose 3} {12 \choose 6} }\)
Ile z nich przechodzi także przez \(\displaystyle{ (6,6)}\) ?
kt26420
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 40 razy

Re: Liczba dróg na kratownicy

Post autor: kt26420 »

kerajs pisze: 18 kwie 2022, o 23:43 Przykładowo: dróg z \(\displaystyle{ (0,0) }\)do \(\displaystyle{ (9,9)}\) przechodzących przez \(\displaystyle{ (3,3)}\) jest \(\displaystyle{ {6 \choose 3} {12 \choose 6} }\)
Ile z nich przechodzi także przez \(\displaystyle{ (6,6)}\) ?
Jest ich \(\displaystyle{ {6 \choose 3} {12 \choose 6} {6 \choose 3} }\) ?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Liczba dróg na kratownicy

Post autor: kerajs »

kt26420 pisze: 19 kwie 2022, o 01:17 Jest ich \(\displaystyle{ {6 \choose 3} {12 \choose 6} {6 \choose 3} }\) ?
Oczywiście że nie.
Z punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) do \(\displaystyle{ (3,3)}\) prowadzą drogi złożone z 6 jednostkowych odcinków (trzech w górę i trzech w prawo). Analogicznie jest z trasami od \(\displaystyle{ (3,3)}\) do \(\displaystyle{ (6,6)}\) , oraz z trasami od \(\displaystyle{ (6,6)}\) do \(\displaystyle{ (9,9)}\).
Stąd ich liczba: \(\displaystyle{ {6 \choose 3} {6 \choose 3} {6 \choose 3} }\).
ODPOWIEDZ