Funkcje niemalejące

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Funkcje niemalejące

Post autor: Jakub Gurak »

Udowodniłem wczoraj, a resztę udowodniłem już jakiś miesiąc wcześniej, że dla funkcji z \(\displaystyle{ \RR}\) do \(\displaystyle{ \RR}\)- funkcji niemalejącej, wtedy rodzina wszystkich przeciwobrazów podzbiorów jednoelementowych zbioru wartości tej funkcji, tworzy rozkład zbioru \(\displaystyle{ \RR }\) na przedziały. Wykazałem też wczoraj, że jeśli chodzi o te przeciwobrazy, to takich co najmniej dwuelementowych przeciwobrazów może być jedynie co najwyżej przeliczalnie wiele. Niemniej, wczoraj koło południa miałem niestety porażkę matematyczną, gdyż już od miesiąca marzyłem aby zastosować twierdzenie o zbiorze punktów nieciągłości funkcji monotonicznej, a to się nie udało. No bo jak mamy taki co najmniej dwuelementowy przeciwobraz, to widać (formalnie tu trzeba by było popracować nad tym, aby funkcja odwrotna istniała, nad czym pracowałem , i to akurat udało się zrobić, ale w całości tego nie udało się rozwiązać), to widać jak na dłoni, że dla funkcji odwrotnej mamy odpowiadający punkt nieciągłości, i chciałem skorzystać z twierdzenia, że dla funkcji monotonicznej (funkcja odwrotna do funkcji silnie rosnącej jest funkcją silnie rosnącą, a tu mamy funkcje słabo rosnącą, więc miałem nadzieje, że tu uzyska się również funkcje słabo rosnącą), że zbiór wszystkich punktów nieciągłości takiej funkcji jest co najwyżej przeliczalny. Niestety to się nie udało, może się zdarzyć, że jako funkcję odwrotną otrzymamy funkcję o znanym wykresie, który to wykres pokazuje, że odcinek otwarty \(\displaystyle{ \left( -1,1\right)}\) jest mocy continuum; ponieważ taka funkcja na przedziale \(\displaystyle{ \left( -1,1\right)}\) ma nieograniczony z góry zbiór wartości, to nie sposób ją przedłużyć, na cały zbiór \(\displaystyle{ \RR}\), tak, aby była monotoniczna. Niestety klapa; mimo, że od miesiąca miałem nadzieje zastosować to twierdzenie o zbiorze punktów nieciągłości, to wczoraj odniosłem porażkę. Niemniej wczoraj, na dobranoc, udowodniłem to innym, dużo prostszym sposobem. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.


Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\), funkcję niemalejącą. I rozważmy rodzinę wszystkich przeciwobrazów podzbiorów jednoelementowych zbioru wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\), tzn. rozważmy rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) daną jako :

\(\displaystyle{ \mathbb{B}=\left\{ \stackrel{ \rightarrow } { f^{-1} } \left\{ y\right\}\Bigl| \ \ y\in f_P\right\}.}\)

Wykażemy, ze ta rodzina przeciwobrazów jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \RR}\) na przedziały;

oraz wykażemy, że tych co najmniej dwuelementowych przeciwobrazów- takich przeciwobrazów jest co najwyżej przeliczalnie wiele.

Tzn. wykażemy, że zbiór:

\(\displaystyle{ \left\{ A\in\mathbb{B}: \ A \hbox{ ma co najmniej dwa elementy }\right\}}\) ,

jest co najwyżej przeliczalny.


DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy, jeśli \(\displaystyle{ y\in f_P}\), to \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1}} \left\{ y\right\}\subset \RR}\), i z dowolności wyboru takiego zbioru otrzymujemy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \RR.}\)

Aby wykazać, że ta rodzina jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \RR}\), to musimy wykazać, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}=\RR.}\)

Niewątpliwie mamy:

\(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}= \bigcup_{y\in f_P} \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ y\right\} = \stackrel{ \rightarrow }{ f ^{-1} }\left( \bigcup_{y\in f_P} \left\{ y\right\}\right)= \stackrel { \rightarrow }{f ^{-1} } \left( f_P\right) \stackrel{ f:\RR \rightarrow \RR}= \RR.}\)

Czyli \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}=\RR.}\)

Należy teraz pokazać, że każde dwa różne zbiory tej rodziny są rozłączne. W tym celu weźmy elementy \(\displaystyle{ y_1,y_2\in f_P}\), takie, że \(\displaystyle{ y_1 \neq y_2}\), i pokażmy, że zbiory \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ y _{1} \right\}}\) i \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ y _{2} \right\}}\) są rozłączne.

Niewątpliwie mamy:

\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ y _{1} \right\} \cap \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ y _{2} \right\}= \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( \left\{ y _{1} \right\} \cap \left\{ y _{2} \right\}\right) \stackrel {y_1 \neq y_2}= \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( \emptyset\right)=\emptyset.}\)

Wobec czego zbiory \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ y _{1} \right\}}\) i \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ y _{2} \right\}}\) są rozłączne.

I rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną zbiorów rozłącznych.

Pozostaje wykazać, że jest to rodzina zbiorów niepustych.

Jeśli \(\displaystyle{ y\in f_P}\), to \(\displaystyle{ y=f(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in\RR}\), wtedy \(\displaystyle{ f(x)=y \in \left\{ y\right\}}\), a więc \(\displaystyle{ x\in \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ y \right\}}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ y \right\}}\) jest niepusty, i rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną zbiorów niepustych.

A więc rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \RR.}\)


Wykażemy teraz, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną przedziałów, tzn. wykażemy, że każdy zbiór \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B}}\) jest przedziałem.

Niech \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B}}\). Wtedy, ponieważ wiemy już, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną zbiorów niepustych, więc zbiór \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B}}\) musi być niepusty. Jeśli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest jednoelementowy, tzn. \(\displaystyle{ A=\left\{ x\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in\RR}\), to \(\displaystyle{ A=\left[ x,x\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in\RR}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem.

W przeciwnym przypadku, zbiór \(\displaystyle{ A}\) musi być co najmniej dwuelementowy.

Aby wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem, to weźmy liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_1,x_2\in A}\), i weźmy liczbę \(\displaystyle{ x\in\RR}\), taką, że \(\displaystyle{ x_1<x<x_2}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ x\in A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B}}\), to \(\displaystyle{ A=\stackrel{ \rightarrow } {f ^{-1} } \left\{ y\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ y\in f_P.}\) Mamy, na podstawie zasady równości zbiorów, że \(\displaystyle{ x_1,x_2\in \stackrel{ \rightarrow } {f ^{-1} } \left\{ y\right\}}\), a zatem, z definicji przeciwobrazu: \(\displaystyle{ f(x_1), f(x_2) \in \left\{ y\right\} }\), czyli \(\displaystyle{ f(x_1)=y= f(x_2)}\), i ponieważ \(\displaystyle{ x_1<x}\), a funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest niemalejąca, więc \(\displaystyle{ y=f(x_1) \le f(x).}\) Z drugiej zaś strony mamy \(\displaystyle{ x<x_2}\), więc podobnie, ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest niemalejąca, więc: \(\displaystyle{ y=f(x_2) \ge f(x)}\). Łącząc te dwie nierówności \(\displaystyle{ y \le f(x) \le y}\), otrzymujemy: \(\displaystyle{ f(x)=y}\), a zatem \(\displaystyle{ f(x) \in \left\{ y\right\}}\), a zatem \(\displaystyle{ x\in \stackrel { \rightarrow } {f ^{-1} } \left\{ y\right\}= y}\), czyli \(\displaystyle{ x\in A}\).

A zatem zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem. I rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną przedziałów.

A zatem rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \RR}\) na przedziały\(\displaystyle{ .\square}\)


Wykażemy jeszcze jeden zapowiedziany fakt, tzn. wykażemy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\), dana jako:

\(\displaystyle{ \mathbb{A}=\left\{ A\in \mathbb{B}: \ \ \hbox{ zbiór } A \hbox{ ma co najmniej dwa elementy }\right\}}\),

rodzina takich co najmniej dwuelementowych przeciwobrazów, jest co najwyżej przeliczalna.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Definiujemy funkcję \(\displaystyle{ g:\mathbb{A} \rightarrow \QQ}\) w następujący sposób:

Jeśli \(\displaystyle{ A\in\mathbb{A}}\), to \(\displaystyle{ A\in \mathbb{B}}\) i \(\displaystyle{ \left| A\right| \ge 2.}\) Wtedy \(\displaystyle{ A=\stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ y\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ y\in f_P}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \left| A \right| \ge 2}\), więc istnieją dwa różne elementy \(\displaystyle{ a,b\in A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ a,b\in A\subset \RR}\), więc \(\displaystyle{ a<b}\) lub \(\displaystyle{ b<a}\).

Jeśli \(\displaystyle{ a<b}\). Wtedy istnieje liczba wymierna leżąca pomiędzy \(\displaystyle{ a}\) a \(\displaystyle{ b}\), tzn. otrzymujemy liczbę wymierną \(\displaystyle{ c\in\QQ}\), taką, że \(\displaystyle{ a<c<b}\). Ponieważ \(\displaystyle{ A\ni a<c<b\in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B}}\) jest przedziałem, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ c\in A}\), a zatem \(\displaystyle{ c\in A \cap \QQ}\), i przypisujemy zbiorowi \(\displaystyle{ A\in \mathbb{A}}\) element \(\displaystyle{ c\in A \cap \QQ}\) ( stosując być może aksjomat wyboru, a dokładniej równoważne mu twierdzenie o funkcji wyboru).

Jeśli \(\displaystyle{ b<a}\), to podobnie otrzymujemy liczbę wymierną \(\displaystyle{ c\in\QQ}\), taką, że \(\displaystyle{ b<c<a}\). Wtedy \(\displaystyle{ A\ni b<c<a\in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B}}\) jest przedziałem, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ c\in A}\) i \(\displaystyle{ c\in A \cap \QQ}\), i podobnie przypisujemy zbiorowi \(\displaystyle{ A\in \mathbb{A}}\) element \(\displaystyle{ c\in A \cap \QQ;}\)

I w ten sposób otrzymujemy funkcję \(\displaystyle{ g:\mathbb{A} \rightarrow \QQ.}\)

Pokażemy, że funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest różnowartościowa. W tym celu weźmy dwa różne zbiory \(\displaystyle{ A,B\in\mathbb{A},}\) i pokażmy, że również \(\displaystyle{ g(A) \neq g(B)}\).

Przypuśćmy nie wprost, że tak nie jest. Wtedy \(\displaystyle{ g(A)=g(B)}\), a ponieważ ze sposobu konstrukcji funkcji \(\displaystyle{ g}\) wynika, że \(\displaystyle{ g(A)\in A \cap \QQ}\), a więc \(\displaystyle{ g(A)\in A}\). Podobnie mamy: \(\displaystyle{ g(B)\in B}\), więc ponieważ \(\displaystyle{ g(B)=g(A)}\), to \(\displaystyle{ g(A) \in A \cap B}\), ale \(\displaystyle{ A, B\in\mathbb{B}}\) oraz \(\displaystyle{ A \neq B}\) ,a rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \RR}\), a więc jest rodziną zbiorów rozłącznych, a więc różne zbiory \(\displaystyle{ A,B\in \mathbb{B}}\) powinny być rozłączne, czyli nie mają wspólnych elementów, a \(\displaystyle{ g(A)\in A \cap B}\), czyli element \(\displaystyle{ g(A)}\) jest wspólnym elementem tych dwóch zbiorów- sprzeczność.

Wobec czego \(\displaystyle{ g(A) \neq g(B)}\), i funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest różnowartościowa.

A zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{A}\right| \le \left| \mathbb{Q}\right| =\left| \mathbb{N}\right|}\), czyli rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest co najwyżej przeliczalna.\(\displaystyle{ \square}\)


Na koniec, dodam taki żart, że suma przeliczalnie wielu przedziałów długości jeden może być zbiorem nieprzeliczalnym- to prawda- wystarczy rozważyć: \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\ZZ} \left[ n,n+1\right)=\RR.}\) :D 8-)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22172
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Funkcje niemalejące

Post autor: a4karo »

Matematyka byłaby nie do zniesienia, gdyby trzeba było tak dowodzić.

Co do żartu, to chyba się przejadłeś.

(dla tych, którzy ten post będą czytać za jakiś czas: 17 kwietnia była Wielkanoc)
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Funkcje niemalejące

Post autor: Jakub Gurak »

a4karo pisze: 18 kwie 2022, o 11:10 Matematyka byłaby nie do zniesienia, gdyby trzeba było tak dowodzić.
Zależy dla kogo byłaby nie do zniesienia. Dla przeciętnego człowieka, a nawet studenta, to każdy dowód jest nie do zniesienia. Natomiast są tacy matematycy, mam tu na myśli autorów ważniaka, którzy by powiedzieli, że potrafią dowieść wszystkie (te podstawowe) twierdzenia teorii mnogości, i to- jakby ktoś bardzo chciał- to w pełni formalnie, co oznacza skończony, ale ogromnie duży ciąg formuł- gigantyczna ściana znaczków- a nawet w podejściu mniej formalnym( semantycznym, ale krok po kroku, do takiego podejścia ja się przychylam )- jest to zawiłe.

A tak na poważnie- podejrzewam, że dla matematyków nie zajmujących się podstawami matematyki, w bardziej specjalistycznej matematyce, też zauważyłem, że podejście formalne byłoby chyba nie do udźwignięcia. Ale dla osób zajmujących się podstawami matematyki- jak już zaznaczyłem- mogą podchodzić formalnie do matematyki. Ja zajmuje się podstawami matematyki, a dokładniej ogólną teorią mnogości. A tu nie ma zbyt wiele wymyślnej matematyki. Za to jest duża ilość rozumowania, i trzeba wszystkie te pojęciowo proste fakty udowadniać w sposób ścisły, Nawet fakty intuicyjnie zupełnie oczywiste. No bo dowód ma się opierać nie na wyczuciu, ale na ścisłych definicjach i ścisłych twierdzeniach . I tak staram się robić (nie mam na to systemu formalnego, staram się być dokładny na tyle, na ile potrafię- tu -z twierdzeniem o funkcji wyboru- mało dokładnie to opisałem ).

A jeśli chodzi o moją staranność , to mogę czasem przesadzić, ale dalej lubię być dokładny, i uważam, że to o wiele lepsze niż np. takie dowody autorów ważniaka- nie do pojęcia przez studenta ( nawet nie do pojęcia przez studenta matematyka), za duże skróty myślowe, i jak tu student ma tu dowód "wyczarować". A ja, dalej lubię dokładnie, a jeszcze bardziej lubię starannie prezentować moje wyniki- jak bym miał tak niedbale prezentować rozwiązania zadań, jak co po niektórzy, to chyba bym się powiesił... Polubiłem dogłębne badanie matematyki, i bardzo lubię starannie prezentować moje wyniki- co prawda często nad jednym postem spędzam wiele godzin, może nawet zdarzało się, że kilka dni, ale potem co za satysfakcją jest popatrzeć na schludny, staranny post, z dokładnym rozwiązaniem... 8-)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Funkcje niemalejące

Post autor: Jan Kraszewski »

Jakub Gurak pisze: 18 kwie 2022, o 19:01Zależy dla kogo byłaby nie do zniesienia.
Na przykład dla mnie. Z całym szacunkiem, ale od Twoich dowodów odrzuca mnie zazwyczaj przy pierwszym ekranie...
Jakub Gurak pisze: 18 kwie 2022, o 19:01Natomiast są tacy matematycy, mam tu na myśli autorów ważniaka,
Czy ważniak jest naprawdę Twoją jedyną lekturą matematyczną?
Jakub Gurak pisze: 18 kwie 2022, o 19:01 A tak na poważnie- podejrzewam, że dla matematyków nie zajmujących się podstawami matematyki, w bardziej specjalistycznej matematyce, też zauważyłem, że podejście formalne byłoby chyba nie do udźwignięcia.
Podejrzewam, że nie masz pojęcia, co byłoby do udźwignięcia dla zawodowych matematyków.
Jakub Gurak pisze: 18 kwie 2022, o 19:01Ja zajmuje się podstawami matematyki, a dokładniej ogólną teorią mnogości. A tu nie ma zbyt wiele wymyślnej matematyki. Za to jest duża ilość rozumowania, i trzeba wszystkie te pojęciowo proste fakty udowadniać w sposób ścisły
Z całym szacunkiem, ale nie masz pojęcia, o czym piszesz. No chyba, że zupełnie inaczej definiujemy termin "teoria mnogości". Jeżeli przez "ogólna teoria mnogości" rozumiesz "podstawy teorii mnogości wykładane na pierwszym roku studiów matematycznych", to częściowo mogę się z tym zgodzić.
Jakub Gurak pisze: 18 kwie 2022, o 19:01 A jeśli chodzi o moją staranność , to mogę czasem przesadzić, ale dalej lubię być dokładny, i uważam, że to o wiele lepsze niż np. takie dowody autorów ważniaka- nie do pojęcia przez studenta ( nawet nie do pojęcia przez studenta matematyka), za duże skróty myślowe,
Z całym szacunkiem, ale nie sądzę, byś miał podstawy do wypowiadania się na temat tego, co "student matematyki" jest w stanie pojąć - myślę, że jest całkiem sporo studentów matematyki (i nie tylko), którzy radzą sobie ze zrozumieniem dowodów z ważniaka. W takich sytuacjach zamiast kwantyfikatora ogólnego zawsze bezpieczniej jest używać kwantyfikator szczegółowy (najlepiej w pierwszej osobie liczby pojedynczej - wtedy nikt Ci nie zarzuci mijania się z prawdą).
Jakub Gurak pisze: 18 kwie 2022, o 19:01Polubiłem dogłębne badanie matematyki, i bardzo lubię starannie prezentować moje wyniki- co prawda często nad jednym postem spędzam wiele godzin, może nawet zdarzało się, że kilka dni, ale potem co za satysfakcją jest popatrzeć na schludny, staranny post, z dokładnym rozwiązaniem... 8-)
Jeżeli taki jest Twój cel (napisanie dowodu, który Tobie się podoba), to w porządku. Musisz jednak pamiętać, że inne osoby czytające Twój dowód nie muszą być tak zachwycone jak Ty. Jeżeli widzę dowód, który według mnie powinien zajmować dziesięć linijek, a zajmuje trzy ekrany, to nie jestem zachwycony, tylko zgrzytam zębami.

Dla uzupełnienia dodam, że ja też zwracam uwagę swoim studentom, że powinni być w stanie - na żądanie - przedstawić swoje rozumowania bardzo szczegółowo. Ale ma to służyć wyrobieniu u nich pewnej dyscypliny myślowej, by prowadząc rozumowanie zawsze wiedzieli, co robią i z czego korzystają. Jest to ważne, ale ważniejsze jest dobre rozumienie używanych pojęć, które pozwala na to, by dowody były możliwie krótkie i przejrzyste. No i student powinien wiedzieć także, czego w dowodzie nie (musi) pisać i dlaczego.

JK
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Funkcje niemalejące

Post autor: Dasio11 »

Ja zaś dodam, że gdybyś miał ochotę się dowiedzieć, czym zajmuje się "ogólna" teoria mnogości, to możesz zacząć od książki Thomasa Jecha Set Theory.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Funkcje niemalejące

Post autor: Jakub Gurak »

Właśnie, podejrzewam, że przez "ogólną teorię mnogości" rozumiecie co innego niż ja. Przecież sama nazwa wskazuje, przymiotnik "ogólna" wskazuje, że są to podstawy teorii mnogości- i taka matematyka mnie interesuje- podstawy, badane dogłębnie.

Dla przykładu, zauważyłem, że dla dwóch podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych można rozważać funkcje z pierwszego podzbioru w drugi- funkcje rosnące, malejące, słabo rosnące, słabo malejące; i zliczać ile takich funkcji monotonicznych jest- coraz więcej z tych zagadnień mnie interesuje( póki co, tylko niektóre z tych przypadków, niektóre mogą być dla mnie za trudne, gdy mamy ustaloną dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji).
Albo odpowiedź na pytanie: w danym zbiorze liniowo uporządkowanym ile jest przedziałów( w zależności od rodzaju tego zbioru liniowo uporządkowanego).

Chyba jestem wyjątkiem, i tylko mnie to interesuje- ale ja lubię nietypową matematykę.
Natomiast nudnawe wyliczenia na liczbach zespolonych mnie w ogóle nie interesują, ani równania różniczkowe- tego na studiach miałem pełno, nie wiem jak można takim żmudnym dziadostwem się zajmować...
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Funkcje niemalejące

Post autor: Jan Kraszewski »

Jakub Gurak pisze: 20 kwie 2022, o 20:51 Przecież sama nazwa wskazuje, przymiotnik "ogólna" wskazuje, że są to podstawy teorii mnogości
I znów uznajesz, że to, co Ty uważasz za prawdę po prostu jest prawdą. Ja np. wcale nie uważam, że "ogólna teoria mnogości"="proste podstawy teorii mnogości", a zajmuję się teorią mnogości.
Jakub Gurak pisze: 20 kwie 2022, o 20:51Dla przykładu, zauważyłem, że dla dwóch podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych można rozważać funkcje z pierwszego podzbioru w drugi- funkcje rosnące, malejące, słabo rosnące, słabo malejące; i zliczać ile takich funkcji monotonicznych jest- coraz więcej z tych zagadnień mnie interesuje( póki co, tylko niektóre z tych przypadków, niektóre mogą być dla mnie za trudne, gdy mamy ustaloną dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji).
Albo odpowiedź na pytanie: w danym zbiorze liniowo uporządkowanym ile jest przedziałów( w zależności od rodzaju tego zbioru liniowo uporządkowanego).
No i w porządku, robisz co lubisz. Ale jeśli postanawiasz prezentować efekty swoich przemyśleń na forum, to musisz liczyć się z tym, że od czasu do czasu pojawią się komentarze.
Jakub Gurak pisze: 20 kwie 2022, o 20:51Chyba jestem wyjątkiem, i tylko mnie to interesuje- ale ja lubię nietypową matematykę.
Nie bardzo wiem, co w matematyce, którą się zajmujesz, jest nietypowego. Trochę nietypowe może być co najwyżej nadmierne przywiązanie do formy, które czasem zasłania treść.
Jakub Gurak pisze: 20 kwie 2022, o 20:51Natomiast nudnawe wyliczenia na liczbach zespolonych mnie w ogóle nie interesują, ani równania różniczkowe- tego na studiach miałem pełno, nie wiem jak można takim żmudnym dziadostwem się zajmować...
Ja również nie przepadałem np. za równaniami różniczkowymi, ale nie miałem też skłonności do absolutyzowania swoich odczuć i uznawania, że skoro coś mi nie podchodzi, to jest to dziadostwo. A jak zrobiłem się starszy, to zacząłem żałować, że różnych rzeczy się nie nauczyłem.

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Funkcje niemalejące

Post autor: Jakub Gurak »

Przedwczoraj udowodniłem , że jeśli mamy funkcję \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\)- funkcję silnie rosnącą, (wtedy taka funkcja jest różnowartościowa), zatem możemy rozważać funkcję do niej odwrotną, i wykazałem, że taką funkcję odwrotną można rozszerzyć do najmniejszej funkcji słabo rosnącej określonej na pewnym przedziale \(\displaystyle{ \RR\supset A\supset f_P}\). Wczoraj udowodnilem ( w sposób nie analogiczniy, na podstawie twierdzenia przytoczonego powyżej), udowodniłem analogiczny fakt dla funkcji silnie malejacych \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\); tzn. udowodniłem, że jeśli mamy funkcję \(\displaystyle{ f: \RR \rightarrow \RR}\) funkcję silnie malejącą, (wtedy taka funkcja jest różnowartościowa), więc możemy rozważyć do niej funkcję odwrotną, i udowodniłem, że taką funkcję odwrotną można rozszerzyć do funkcji słabo malejącej okreśonej na pewnym przedziale \(\displaystyle{ A\supset f_P}\). Udowodniłem, już jakiś czas temu, taki fakt, że dla funkcji \(\displaystyle{ f:\ZZ \rightarrow \ZZ,}\) funkcji niemalejącej, wtedy rodzina wszystkich przeciwobrazów jednoelementowych podzbiorów zbioru wartości tej funkcji, tworzy rozkład zbioru liczb całkowitych na przedziały (przedziały w zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ}\)). Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.


Rozwazmy funkcję \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) -funkcje silnie rosnącą, wtedy taka funkcja jest różnowartościowa, a więc możemy rozważać do niej funkcję odwrotną \(\displaystyle{ f ^{-1}:f_P \rightarrow \RR}\). Wykazemy, że tą funkcję odwrotną można rozszerzyć (przedłuzyć) do najmniejszej (względem relacji przedłużania funkcji) do najmniejszej funkcji słabo rosnącej określonej na pewnym przedziale \(\displaystyle{ \RR\supset A\supset f_P }\) (i o wartościach rzeczywistych ) .

Idea dowodu:

Dla funkcji silnie rosnącej , wtedy funkcja do niej odwrotna jest funkcją silnie rosnąca (nawiasem mówiąc- możemy przekornie zadać studentom zagadkę: czy funkcja odwrotna do funkcji silnie rosnącej jest funkcją silnie malejąca, okazuje się, że nawet musi być funkcją silnie rosnącą- jest to prosty fakt), ale dana funkcja silnie rosnąca może dawać skok w górę, wtedy dla funkcji odwrotnej, po odbiciu wzgledem przekątnej takich odcinków pionowych, otrzymamy puste przedziały. No i wystarczy uzupelłnić na pustych przedziałach- na jednym pustym przedziale uzupełniamy brakującą stała wartością, na innym pustym przedziale uzupełniamy kolejną brakującą wartością- i otrzymamy funkcję słabo rosnącą określoną na przedziale. Poza tym, gdy już tą funkcję przedłużymy, to nie chcemy jej już dłużej przedłużać, stąd też warunek aby to było takie najmniejsze przedłużenie. Przedstawię teraz dowód tego strasznie ciekawego faktu.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Niech:

\(\displaystyle{ S=\left\{ x\in\RR: \ \hbox{ funkcja } f \hbox{ nie jest ciągła w puncie } x \right\}}\) ,

czyli jest to zbiór wszystkich punktów nieciągłości funkcji \(\displaystyle{ f.}\)

Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) jest silnie rosnąca, to taki zbiór \(\displaystyle{ S}\) jest co najwyżej przeliczalny. Niech \(\displaystyle{ a\in S}\) będzie dowolnym punktem nieciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\). Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) jest silnie rosnaca, więc istnieje dokładnie jedna granica dolna \(\displaystyle{ x _{a} ^{-}:= \lim_{ x\to a _{-} } f(x)}\) , i z podobnych przyczyn istnieje (jedyna) granica górna \(\displaystyle{ x_a ^{+}:= \lim_{ x\to a_{+}} f(x)}\). Pomnieważ \(\displaystyle{ a}\) jest punktem nieciagłości i ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest silnie rosnąca, to te granice muszą być rózne, a ponieważ funkcja jest silnie rosnaca, to \(\displaystyle{ x _{a ^{-} } < x _{a ^{+} } .}\)

Rozważmy przedział domknięty \(\displaystyle{ \left[ x_a ^{-} , x_{a}^{+} \right] }\), i każdemu punktowi takiego odcinka domkniętego przypiszmy stale punkt nieciągłości \(\displaystyle{ a.}\)

Tzn. definiujemy funkcję \(\displaystyle{ g: A:= f_P \cup \bigcup_{a\in S} \left[ x_a ^{-}, x_a ^{+} \right] \rightarrow \RR}\), w następujący sposób:

\(\displaystyle{ g(x)= \begin{cases} f ^{-1} (x), \hbox{ gdy } x\in f_P ;\\ a, \hbox{ gdy } x\not\in f_P, \hbox{ i } x\in \left[ x_a ^{-}, x_a ^{+} \right],\hbox{ dla pewnego } a\in S. \end{cases}}\)

Musimy wykazać, że taka funkcja jest dobrze określona.

Niech \(\displaystyle{ A=f_P \cup \bigcup_{a\in S } \left[ x_a ^{-} , x_a ^{+} \right]}\).

Przypomnijmy, prosty fakt, że jesli mamy rodzinę zbiorów oraz zbiór (zbiór być może spoza tej rodziny, po prostu dowolny zbiór ), to jeśli ten zbiór jest rozłączny z każdym zbiorem tej rodziny, to jest rozłączny również z sumą tej rodziny- jest to prosty fakt.

Zauważmy, że dla każdego \(\displaystyle{ a\in S}\), zbiór wartości \(\displaystyle{ f_P}\) jest rozłączny z przedziałem otwartym \(\displaystyle{ \left( x_a ^{-}, x_a ^{+} \right)}\), więc w myśl wspomnianego faktu: zbior \(\displaystyle{ f_P}\) jest rozłaczny z sumą \(\displaystyle{ \bigcup_{a\in S} \left( x_a ^{-}, x _{a} ^{+} \right).}\)

Łatwo zauważyć, że:

\(\displaystyle{ \bigcup_{a\in S} \left[ x_a ^{-} , x_a ^{+} \right] = \bigcup_{a\in S} \left( x _{a} ^{-} , x_a ^{+} \right) \cup \bigcup_{a\in S} \left\{ x_a ^{-} \right\} \cup \bigcup_{a\in S} \left\{ x_a ^{+} \right\} }\).

I zauważmy (bo formalnie zbiór \(\displaystyle{ f_P}\) nie musi być rozłączny z sumą \(\displaystyle{ \bigcup_{a\in S } \left[ x_a ^{-}, x _{a} ^{+} \right] }\)- w końcach tych przedziałów domkniętych może być osiągana wartośc funkcji, ale jest rozłączny z sumą odpowiednich przedziałów otwartych ), więc zauważmy, że:
jesli dla \(\displaystyle{ a\in S}\) mamy \(\displaystyle{ f(a) \in \left\{ x_a ^{-} , x_a ^{+} \right\}}\) , to dla wartości funkcji odwrotnej: albo \(\displaystyle{ f ^{-1} \left( x_a ^{-} \right) = a}\), albo \(\displaystyle{ f ^{-1} \left( x_a ^{+} \right)=a}\), co jest zgodne z tym, że kazdemu punktowi odcinka domkniętego \(\displaystyle{ \left[ x_a ^{-}, x_a ^{+} \right] }\) , czyli również jego końcom, przypisaliśmy stale liczbę \(\displaystyle{ a.}\)

Ale musimy jeszcze upewnić się, że ta funkcja na sumie przedziałów domkniętych rzeczywiście jest funkcją, bo gdy element należy do sumy rodziny zbiorów, to należy do pewnego zbioru tej rodziny, ale takich zbiorów może być więcej niż jeden, a funkcja danemu elementowi może przypisywać tylko jeden element- musimy zatem się upewnić czy jest to dobrze określona funkcja.

Jeśli \(\displaystyle{ \left( x,a_1\right) \in g}\) i \(\displaystyle{ \left( x,a_2 \right) \in g}\), i \(\displaystyle{ x\not\in f_P}\), wtedy \(\displaystyle{ x\in \left[ x _{a_1 ^{-} } , x _{a_1 ^{+} } \right]}\), gdzie \(\displaystyle{ a_1\in S}\); oraz \(\displaystyle{ x\in \left[ x _{a_2 ^{-} } , x _{a_2 ^{+} } \right] }\), gdzie \(\displaystyle{ a_2\in S}\). Wtedy \(\displaystyle{ x\in \left[ x _{a_1 ^{-} } , x _{a_1 ^{+} } \right] \cap \left[ x _{a_2 ^{-} } , x _{a_2 ^{+} } \right].}\)

Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ a_1 \neq a_2}\). Wtedy \(\displaystyle{ a_1<a_2}\) lub \(\displaystyle{ a_2<a_1}\).

Jeśli \(\displaystyle{ a_1<a_2}\), to \(\displaystyle{ x _{a_1 ^{-} } \le f(a_1) \le x _{a_1 ^{+} } }\), ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest silnie rosnąca, to \(\displaystyle{ f(a_1)<f(a_2)}\), więc to jest silnie mniejsze niż \(\displaystyle{ x _{a_2 ^{-} } \le f(a_2) \le x _{a_2 ^{_+} }}\) , a więc zbiory \(\displaystyle{ \left[ x _{a_1 ^{-} } , x _{a_1 ^{+} } \right]}\) i \(\displaystyle{ \left[ x _{a_2 ^{-} } , x _{a_2 ^{+} } \right]}\) są rozłączne, lecz \(\displaystyle{ x}\) jest wspólnym elementem- sorzeczność.

Jeśli \(\displaystyle{ a_2<a_1}\), to podobnie zbiór \(\displaystyle{ \left[ x _{a_2 ^{-} } , x _{a_2 ^{+} } \right] }\) jest zbiorem rozłacznym z \(\displaystyle{ \left[ x _{a_1 ^{-} } , x _{a_1 ^{+} } \right]}\), lecz \(\displaystyle{ x}\) jest wspólnym elementem-sprzeczność.

Wobec czego \(\displaystyle{ a_1=a_2}\).

I funkcja \(\displaystyle{ g}\) (choć zbiór \(\displaystyle{ f_P}\) nie musi być rozłączny z sumą \(\displaystyle{ \bigcup_{a\in S} \left[ x _{a^{-} } , x _{a ^{+} } \right]) }\), ale na mocy uwagi podanej wcześmniej, te dwa przepisy funkcji na wspólnych elementach dają te same wartości, a więc funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest dobrze określona; i :

\(\displaystyle{ g:A= f_P \cup \bigcup_{a\in S} \left[ x _{a ^{-} } , x _{a ^{+} } \right] \rightarrow \RR .}\)

Wykażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedzałem.

W tym celu weźmy dwa elementy \(\displaystyle{ a_1,a_2\in A}\), oraz weźmy liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ x\in\RR}\) (pośrednią), czyli taką, że \(\displaystyle{ a_1<x<a_2,}\) i pokazmy, że \(\displaystyle{ x\in A.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x\in f_P}\), to \(\displaystyle{ x\in A}\) i dowód jest zakonczony.

Jeśli\(\displaystyle{ x\not\in f_P}\), to rozważmy zbiór:

\(\displaystyle{ B:= \left\{ y\in \RR: f(y)<x\right\} ,}\)

Nawiasem mówiąc mogę podać studentom zagadkę: czy dla funkcji \(\displaystyle{ f_1:\RR \rightarrow \RR}\), funckji silnie rosnącej i dla liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x_1}\), czy zbiór \(\displaystyle{ \left\{ y\in\RR: \ f_1(y) <x_1 \right\} }\), czyli zbiór wszystkich argumentów na których wartość funkcji jest mniejsza od tej liczby, czy taki zbiór jest ograniczony od góry?? Pozory mogą mylić.

Wykażemy, że zbiór \(\displaystyle{ B }\) jest ograniczony od góry i niepusty.

Jeśli \(\displaystyle{ a_2\in f_P}\), to łatwo jest pokazać, że wartość funkcji odwrotnej \(\displaystyle{ f ^{-1} (a_2)}\) jest ograniczeniem gornym \(\displaystyle{ B}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest ograniczony z góry.

Jeśli \(\displaystyle{ a_2\not\in f_P}\), to \(\displaystyle{ a_2 \in \left[ x_a ^{-}, x _{a ^{+} } \right]}\), gdzie \(\displaystyle{ a\in S}\); i wtedy \(\displaystyle{ a+1}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ B.}\)
DOWÓD TEGO FAKTU::    
A więc zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest ograniczony z góry.

Wykażemy teraz, że zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest niepusty. Mamy \(\displaystyle{ a_1\in A .}\)

Jeśli \(\displaystyle{ a_1\in f_P}\) , to ło łatwo jest pokazać, że wartośc funkcji odwrotnej \(\displaystyle{ f ^{-1} (a_1)\in B}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest niepusty.

Jeśli \(\displaystyle{ a_1\not\in f_P}\), to \(\displaystyle{ a_1 \in \left[ x_a ^{-}, x_a^{+} \right]}\) , gdzi\(\displaystyle{ }\)e \(\displaystyle{ a\in S}\), to łatwo jest pokazać, że \(\displaystyle{ \left( a-1\right)\in B}\), a więc jest to zbiór niepusty.

Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ B\subset \RR}\) jest zbiorem niepustym i ograniczonym z gory, zatem zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma supremum \(\displaystyle{ \bigvee B=: a_0.}\)

Rozwazmy granicę dolną: \(\displaystyle{ y_0:= \lim_{ y\to a_0 ^{-} } f(y) \le x. }\)

Wykazemy, że liczba \(\displaystyle{ a_0}\) jest punktem nieciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\). Rozwazmy dwa przypadki:

1. \(\displaystyle{ y_0=x}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x\not\in f_P}\), to liczba \(\displaystyle{ a_0 }\) jest punktem nieciągłości funkicji \(\displaystyle{ f}\), a więc \(\displaystyle{ a_0\in S.}\)

2. \(\displaystyle{ y_0<x.}\) Wtedy \(\displaystyle{ y^{+}:= \lim_{ y\to a_0 ^{+} } f(y) \ge x.}\)
DOWÓD TEGO FAKTU::    
Wobec czego \(\displaystyle{ y^+ \ge x.}\) Wtedy:

\(\displaystyle{ \lim_{ y\to a_0 ^{+} } f(y)= y ^{+} \ge x>y_0= \lim_{ y\to a_0 ^{-} } f(y),}\)

a zatem \(\displaystyle{ \lim_{ y\to a_0 ^{+} } f(y) \neq \lim_{ y\to a_0 ^{-} } f(y)}\),

wobec czego nie istnieje wspólna granica \(\displaystyle{ \lim_{ y \to a_0} f(y)}\), a więc punkt \(\displaystyle{ a_0}\) jest punktem nieciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\).

A zatem \(\displaystyle{ a_0\in S}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ x _{a_0 ^{-} } = \lim_{y \to a_0 ^{-} } f(y) \le x \le \lim_{ y\to a_0 ^{+} } f(y)= x _{a_0 ^{+} }}\), a zatem \(\displaystyle{ x\in \left[ x _{a_0 ^{-} }, x _{a_0 ^{+} } \right]}\), gdzie \(\displaystyle{ a_0\in S}\),

a zatem \(\displaystyle{ x\in \bigcup_{a\in S} \left[ x_a ^{-} , x _{a} ^{+} \right]}\), i zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem .

Łatwo wykazać (tylko trzeba rozpatrzeć parę przypadków), że funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest słabo rosnąca.

Wobec czego funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest przedłuzeniem funkcji \(\displaystyle{ f ^{-1},}\) będącą funkcją słabo rosnącą, określoną na przedziale \(\displaystyle{ A\supset f_P.}\)

Pozostaje pokazać, że jest to najmniejsze takie przedłużenie.

Niech \(\displaystyle{ h:B\supset f_P \rightarrow \RR}\), gdzie zbiór \(\displaystyle{ B\subset\RR}\) jest pewnym przedzizłem, będzie funkcją słabo rosnącą będacą rozszerzeniem funkcji \(\displaystyle{ f ^{-1} }\). Pokażemy, że funcja \(\displaystyle{ h}\) jest przedłuzeniem funkcji \(\displaystyle{ g.}\)

Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ h}\) rozszerza funkcję \(\displaystyle{ f ^{-1}}\), to \(\displaystyle{ B=h_L \supset \left( f ^{-1} \right) _L= f_P.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ h}\) rozszerza \(\displaystyle{ f ^{-1}}\), a funkcja \(\displaystyle{ h:B \rightarrow \RR}\) jest określona na przedziale, to \(\displaystyle{ h_L\supset \left[ x _{a ^{-} , x _{a ^{+} } } \right] }\), dla każdego \(\displaystyle{ a\in S}\), więc również \(\displaystyle{ B=h_L\supset \bigcup_{a\in S} \left[ x _{a ^{-} }, x _{a ^{+} } \right] .}\)

A zatem również \(\displaystyle{ B\supset A= f_P \cup \bigcup_{a\in S} \left[ x _{a ^{-} } , x _{a ^{+} } \right] .}\)

Niech \(\displaystyle{ x\in A}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ g(x)=h(x).}\)

Rozważmy dwa przypadki:

\(\displaystyle{ 1.}\) \(\displaystyle{ x\not\in f_P}\). Wtedy \(\displaystyle{ x\in \left[ x _{a ^{-} , x _{a} ^{+} } \right]}\), gdzie \(\displaystyle{ a\in S.}\)

Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ h}\) rozszerza funkcję \(\displaystyle{ f ^{-1} }\), funkcja \(\displaystyle{ f ^{-1} }\) jest silnie rosnąca i ponieważ funkcja \(\displaystyle{ h}\) jest słabo rosnąca, to \(\displaystyle{ h(x) \ge a= \bigvee \left\{ f ^{-1} (y)\Bigl| \ y<x _{a} ^{-} \right\} . }\)

I z tych samych powodów: \(\displaystyle{ h(x) \le a= \bigwedge \left\{ f ^{-1} (y) \Bigl| \ y>x _{a} ^{+} \right\} .}\)

Wobec czego \(\displaystyle{ h(x)=a.}\) Tymczasem ponieważ \(\displaystyle{ x\in \left[ x_a ^{-}, x_a ^{+} \right]}\) , gdzie \(\displaystyle{ a\in S}\), to \(\displaystyle{ g(x)=a= h(x).}\)


2. Jeśli \(\displaystyle{ x\in f_P}\), to \(\displaystyle{ g(x)= f ^{-1}(x)}\), a ponieważ funkcja \(\displaystyle{ h}\) rozszerza funkcję \(\displaystyle{ f ^{-1}}\), to \(\displaystyle{ h(x)= f^{-1} (x) = g(x). }\)

Wobec czego funkcja \(\displaystyle{ h}\) jest przedłuzeniem funkcji \(\displaystyle{ g. \square}\) :D


Wykażemy analogiczny fakt dla funkcji silnie malejących.

Niech \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) będzie funkcją silnie malejącą. Wtedy funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest róznowartościowa, a więc możemy rozważać do niej funkcję odwrotną. Wykazemy, że tą funkcję odwrotną \(\displaystyle{ f ^{-1}:f_P \rightarrow \RR}\) mozna rozszerzyć do funkcji słabo malejącej określonej na pewnym przedziale \(\displaystyle{ A\supset f_P.}\)

DOWÓD TEGO FAKTU( :!: NIE ANALOGICZNY, nie lubię dowodów analogicznych):

Niech \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) będzie funkcją silnie malejącą. Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f':\RR \rightarrow \RR}\), daną jako:

\(\displaystyle{ f'(x)= - f\left( x\right) .}\)

Jest to funkcja o przeciwnych wartościach.

Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest silnie malejąca, to funkcja \(\displaystyle{ f'}\) o przeciwnych wartosciach będzie silnie rosnąca- możemy łatwo to wykazać.

Ponieważ \(\displaystyle{ f':\RR \rightarrow \RR}\) jest funkcją silnie rosnącą, to na mocy dowodu powyżej funkcje do niej odwrotną można przedłużyć do najmniejszej funkcji słabo rosnącej \(\displaystyle{ g}\) określonej na pewnym przedziale \(\displaystyle{ A\supset \left( f'\right) _P.}\)

Wtedy zbiór:

\(\displaystyle{ -A=\left\{ -x\Bigl| x\in A \right\}}\),

jest również przedzałłem, gdyż dla przedziału, w zbiorze liczb rzeczywistych, zbiór wszystkich wartości przeciwnych do elementów tego danego przedziału również jest przedziałem - jest to prosty fakt.

I mamy: \(\displaystyle{ -A\supset f_P}\), gdyż:

\(\displaystyle{ -A=\left\{ -x\Bigl| \ x\in A \right\} \stackrel{A\supset \left( f'\right) _P }{\supset } \left\{ -x\Bigl| \ x\in \left( f'\right)_P \right\} = \left\{ - f'(y)\Bigl| \ y\in\left( f'\right)_L=\RR \right\} = \left\{ -f'(x)\Bigl| \ x\in\ \RR \right\} = \left\{ -\left( -f (x) \right) \Bigl| \ x\in\RR\right\}=\\ =\left\{ f(x)\Bigl| \ x\in\RR\right\}= f_P.}\)

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ g':-A \rightarrow \RR}\), daną jako:

\(\displaystyle{ g'(x)= g\left( -x\right).}\)

Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ x\in\left( - A\right) }\), to \(\displaystyle{ x=-y}\), gdzie \(\displaystyle{ y\in A}\), wtedy \(\displaystyle{ -x= -\left( -y\right) = y \in A}\), a zatem \(\displaystyle{ g(y)\in\RR}\), czyli \(\displaystyle{ g(y)= g(-x)= g'(x)\in\RR}\), i funkcja

\(\displaystyle{ g': -A \rightarrow \RR}\) jest dobrze określona.

Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ g'}\) jest słabo malejąca.

Niech \(\displaystyle{ x_1,x_2 \in \left( -A\right)}\), będą takimi liczbami, że \(\displaystyle{ x_1<x_2}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ g'(x_2) \le g'(x_1).}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ x_1,x_2\in \left( -A\right)}\) , to \(\displaystyle{ x_1= -a_1}\), gdzie \(\displaystyle{ a_1\in A}\); i podobnie \(\displaystyle{ x_2= -a_2}\), gdize \(\displaystyle{ a_2\in A}\) . Ponieważ \(\displaystyle{ x_1<x_2}\), to \(\displaystyle{ a_1=-\left( -a_1\right) = -x_1> -x_2 = - \left( -a_2\right) = a_2}\),

czyli \(\displaystyle{ a_1>a_2}\), ponieważ funkcja \(\displaystyle{ g:A \rightarrow \RR}\) jest słabo ro\(\displaystyle{ }\)snąca, to \(\displaystyle{ g\left( a_1\right) \ge g(a_2)}\), a zatem:

\(\displaystyle{ g'(x_1)= g'(-a_1)= g\left( -\left( -a_1\right) \right) = g(a_1) \ge g\left( a_2\right) = g\left( -\left( -a_2\right) \right) = g'\left( -a_2\right) = g'(x_2)}\),

czyli \(\displaystyle{ g'(x_1) \ge g'\left( x_2\right)}\), i funkcja \(\displaystyle{ g'}\) jest słabo malejąca.


Pozostaje pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ g'}\) rozszerza funkcję \(\displaystyle{ f ^{-1}.}\)

Mamy \(\displaystyle{ -A\supset f_P.}\)

Niech \(\displaystyle{ x\in f_P}\). Wtedy \(\displaystyle{ x=f(a)}\), gdzie \(\displaystyle{ a\in\RR}\). Pokazemy, że \(\displaystyle{ f ^{-1}(x)= g'(x).}\)

Mamy: \(\displaystyle{ g'(x)= g\left( -x\right) }\), ponieważ funkcja \(\displaystyle{ g}\) rozszerza funkcję \(\displaystyle{ \left( f' \right) ^{-1}}\), a \(\displaystyle{ x\in f_P}\), więc \(\displaystyle{ \left( -x\right) \in -(f_P)=\left\{ -y\Bigl| \ y\in f_P \right\}}\), a łatwo zauważyć, z definicji funkcji \(\displaystyle{ f'}\), że \(\displaystyle{ (f')_P= -f_P}\), a zatem \(\displaystyle{ (-x)\in \left( f'\right) _P}\), a zatem, z własności relacji odwrotnej: \(\displaystyle{ \left( -x\right) \in \left( f'\right) ^{-1} _{L}}\), a zatem możemy wyliczyć wartość tej funcji na liczbie \(\displaystyle{ -x}\), wiec ponieważ funkcja \(\displaystyle{ g}\) rozszerza funkcję \(\displaystyle{ \left( f'\right) ^{-1}}\), a zatem:

\(\displaystyle{ g'(x)= g(-x)= \left( f' \right) ^{-1} \left( -x\right) =}\)

i ponieważ \(\displaystyle{ f(a)=x}\), więc \(\displaystyle{ f'(a)=-x}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( f' \right) ^{-1} \left( -x\right) =a.}\)

Czyli \(\displaystyle{ g'(x)= a}\). Tymczasem:

\(\displaystyle{ f ^{-1}(x)= f ^{-1}\left( f(a)\right) =a}\).

Czyli \(\displaystyle{ g'(x)= a = f ^{-1} (x)}\),

i z dowolności wyboru elementu \(\displaystyle{ x\in f_P}\), otrzymujemy, że funkcja \(\displaystyle{ g'}\) rozszerza funkcję \(\displaystyle{ f ^{-1}. \square}\) :D


Na koniec wykażemy, zgodnie z zapowiedzią, że:

Jeśli mamy funkcję \(\displaystyle{ f:\ZZ \rightarrow \ZZ}\), funkcję niemalejącą, to rodzina wszystkich przeciwobrazów jednoelementowych podzbiorów zbioru wartości funkcji , tworzy rozkład zbioru \(\displaystyle{ \ZZ}\) na przedzialy, tzn. wykazemy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), dana jako:

\(\displaystyle{ \mathbb{B}= \left\{ \stackrel { \rightarrow } {f ^{-1} } \left\{ y\right\} \Bigl| \ y\in f_P\right\} }\) ,

jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \ZZ}\) na przedziały (przedziały w zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ}\)).

DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy:

\(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{B}= \bigcup_{y\in f_P} \stackrel{ \rightarrow } {f ^{-1} } \left\{ y\right\} = \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( \bigcup_{y\in f_P}
\left\{ y\right\} \right) = \stackrel { \rightarrow }{f ^{-1} }(f_P) \stackrel{f:\ZZ \rightarrow \ZZ}{=}\ZZ.}\)


Czyli \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{B}=\ZZ}\).

Niewątpliwie, przeciwobrazy różnych zbiorów jednoelementowych są rozłączne.

Wobec czego rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \ZZ. }\)

Wykazemy teraz, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną przedziałów.

Niech \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B}.}\) Wykazemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem ( w zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ}\)).
W tym celu weźmy dwa elementy \(\displaystyle{ x_1, x_2\in A}\), oraz weźmy liczbę całkowitą \(\displaystyle{ x}\), taką, że: \(\displaystyle{ x_1<x<x_2}\), i pokazmy, że \(\displaystyle{ x\in A.}\)

Mamy \(\displaystyle{ x_1,x_2\in A =\stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ y\right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ y\in f_P.}\)

A zatem \(\displaystyle{ f(x_1)= y= f(x_2)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x_1<x}\), a funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest niemalejąca, więc \(\displaystyle{ f(x) \ge f(x_1) =y}\).

Podobnnie ponieważ \(\displaystyle{ x<x_2}\), to \(\displaystyle{ y= f(x_2) \ge f(x)}\) . Wobec czego \(\displaystyle{ y=f(x)}\), a zatem \(\displaystyle{ x\in \stackrel { \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{y \right\}= A}\), czyli \(\displaystyle{ x\in A}\), i zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem.

Wobec czego rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną przedziałów \(\displaystyle{ .\square}\)


Wykażemy podobny fakt dla funkcji na zbiorze liczb calkowitych, funkcji słabo malejących.

W tym celu wykazemy pewien ogólniejszy fakt.

Niech \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset \RR}\) będzie niepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. Rozwazmy funkcję \(\displaystyle{ f:A \rightarrow \RR}\), funkcję słabo malejącą. Wykazemy, że rodzina przeciwobrazów \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) dana jako:

\(\displaystyle{ \mathbb{B}= \left\{ \stackrel { \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{y \right\} \Bigl| \ \ y\in f_P \right\} ,}\)

tworzy rozkład zbioru \(\displaystyle{ A}\) na przedziały (przedziały w zbiorze \(\displaystyle{ A}\)).

DOWÓD TEGO FAKTU:

Zauważmy, że jest to rodzina podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ A.}\)

I mamy:

\(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}= \bigcup_{y\in f_P} \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ y\right\} = \stackrel{ \rightarrow } {f ^{-1} } \left( \bigcup_{y\in f_P}
\left\{ y\right\} \right)= \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( f_P\right) \stackrel {f:A \rightarrow \RR}= A.}\)


I, niewątpliwie, przeciwobrazy różnych zbiorów jednoelemntowych sa rozłączne.

Wobec czego rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B} }\) jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ A.}\)

Wykażemy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną przedzałów. Niech \(\displaystyle{ C\in\mathbb{B}}\). Wykażemy, że zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest przedziałem w zbiorze \(\displaystyle{ A.}\)

W tym celu weźmy dwa elementy \(\displaystyle{ c_1,c_2\in C}\), i weźmy element \(\displaystyle{ a\in A}\), taki, że \(\displaystyle{ c_1<a<c_2}\), i pokazmy, że \(\displaystyle{ a\in C.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ C\in\mathbb{B}}\), to \(\displaystyle{ C= \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ y\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ y\in f_P}\), wtedy \(\displaystyle{ c_1, c_2\in C \subset A}\), i z definicji przeciwobrazu otrzymujemy, że: \(\displaystyle{ f(c_1)= y= f(c_2)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ c_1<a}\), a funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest słabo malejąca, więc: \(\displaystyle{ f(a) \le f(c_1)=y.}\)

Podobnie, ponieważ \(\displaystyle{ a<c_2}\), to \(\displaystyle{ y =f(c_2) \le f(a). }\)

Wobec czego \(\displaystyle{ f(a)=y}\), a więc \(\displaystyle{ a\in \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ y \right\} = C}\),

czyli \(\displaystyle{ a\in C}\), i zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest przedziałem.

Wobec czego rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną przedziałów. \(\displaystyle{ \square}\)


Łatwo będzie teraz wykazać nasz fakt, dla funkcji na zbiorze liczb całkowitych, funkcji słabo malejących.

Tzn. rozwazmy funkcję \(\displaystyle{ f:\ZZ \rightarrow \ZZ}\)- funkcję słabo malejącą. Wykażemy, że rodzina przeciwobrazów \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), dana jako:

\(\displaystyle{ \mathbb{B}= \left\{ \stackrel{ \rightarrow } {f ^{-1} } \left\{ y\right\} \Bigl| \ y\in f_P \right\} }\),

tworzy rozkład zbioru \(\displaystyle{ \ZZ}\) na przedziały (w zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ}\)).

Dla dowodu wystarczy zauwazyć, że \(\displaystyle{ f:\ZZ \subset \RR \rightarrow \RR}\) i funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest słabo malejaca, więc w myśl faktu udowodnionego powyżej: rodzina wszystkich przeciwobrazów jednoelementowych podzbiorów zbioru wartosci tej funkcji jest rozkladem zbioru \(\displaystyle{ \ZZ}\) na przedziały (w zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ}\)).\(\displaystyle{ \square}\) :lol: 8-)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22172
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Funkcje niemalejące

Post autor: a4karo »

Wolę piwo
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Funkcje niemalejące

Post autor: Jakub Gurak »

Wczoraj udowodniłem, że jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ A\subset \RR}\), to funkcja \(\displaystyle{ f:A \rightarrow \RR}\) jest silnie rosnąca, dokładnie wtedy, gdy jest słabo rosnąca i jest funkcją różnowartościową. Udowodniłem analogiczny (ale dowód nie jest analogiczny) fakt dla funkcji silnie malejących, tzn. jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ A\subset \RR}\), to funkcja \(\displaystyle{ f:A \rightarrow \RR}\) jest funkcją silnie malejącą, dokładnie wtedy, gdy jest funkcją słabo malejącą i jest funkcją różnowartościową. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.


Niech \(\displaystyle{ A\subset \RR}\), i niech \(\displaystyle{ f:A \rightarrow \RR}\). Wykazemy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest silnie rosnąca, dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ f}\) jest słabo rosnąca i \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją różnowartościową.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Jeśli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest silnie rosnąca, to w szczególności jest słabo rosnąca i jest różnowartościowa (na mocy odpowiednich ogólnych prostych faktów), co dowodzi implikacji w prawo.

Jeśli \(\displaystyle{ f}\) nie jest silnie rosnąca, to na podstawie definicji funkcji silnie rosnącej oraz na mocy prawa zaprzeczania ograniczonemu kwantyfikatorowi ogólnemu (które to prawo działa również dla pustych zakresów kwantyfikatora), więc otrzymujemy, że dla pewnych \(\displaystyle{ a,b\in A}\), takich, że \(\displaystyle{ a<b}\), mamy: \(\displaystyle{ f(b) \le f(a)}\). Wtedy \(\displaystyle{ a \neq b}\),

i jeśli \(\displaystyle{ f(b)= f(a)}\), to funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest różnowartościowa.

A jeśli \(\displaystyle{ f(b) \neq f(a)}\), to \(\displaystyle{ f(b)< f(a)}\), (i mamy \(\displaystyle{ a<b}\)), a więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest słabo rosnąca.\(\displaystyle{ \square}\) :lol:


Wykażemy podony fakt dla funkcji słabo malejących.

Podajmy najpierw pewien lemat.

Lemat 0. Jeśli \(\displaystyle{ g:B\subset \RR \rightarrow \RR}\) jest funkcją róznowartościową, to funkcja \(\displaystyle{ g':B \rightarrow \RR}\), dana jako:

\(\displaystyle{ g'(x)=-g\left( x \right) ,}\)

również jest różnowartościowa (jest to funkcja o 'przeciwnych' wartościach).
DOWÓD TEGO FAKTU::    
Wykażemy teraz, zgodnie z zapowiedzią, że:

Jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ A\subset \RR}\), oraz funkcję \(\displaystyle{ f:A \rightarrow \RR}\), to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest silnie malejąca, dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ f}\) jest słabo malejąca i \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją różnowartościową.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Na początek zaznaczę, że na papierze to trochę przesadziłem robiąc dowód implikacji w prawo na podstawie faktu udowodnionego tutaj powyżej ; to przesada, gdyż można to łatwo uzasadnić wprost:

Jeśli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest silnie malejąca, to w szczególności \(\displaystyle{ f}\) jest słabo malejąca i jest różnowartościowa (na mocy odpowiednich ogólnych prostych faktów), co dowodzi implikacji w prawo.

Aby wykazać implikację w lewo, to załóżmy, że \(\displaystyle{ f}\) jest słabo malejąca, i że jest funkcją różnowartościową. Wtedy funkcja \(\displaystyle{ f':A \rightarrow \RR}\), dana jako:

\(\displaystyle{ f'(x)= - f(x),}\)

czyli funkcja, o przeciwnych wartościach, jest słabo rosnąca ( możemy łatwo to udowodnić), a, na mocy lematu powyżej, funkcja f' jest różnowartościwa. A zatem, na mocy pierwszego z naszych dowodów, otrzymujemy, że funkcja \(\displaystyle{ f'}\) jest silnie rosnąca. Rozważmy \(\displaystyle{ g= (f')' }\)- czyli, jest to funkcja, o 'przeciwnych' wartościach do wartości funkcji \(\displaystyle{ f'.}\)

Wykażemy, że: \(\displaystyle{ g=f}\).

Mamy \(\displaystyle{ g:A \rightarrow \RR}\) i \(\displaystyle{ f:A \rightarrow \RR}\), więc aby pokazać, że te funkcję są równe, weźmy dowolny element \(\displaystyle{ a\in A}\), i pokażmy, że funkcję \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) przyjmują na tym elemencie te same wartości. Mamy:

\(\displaystyle{ g(a)= -f'(a)= - \left( - f(a)\right) = f(a)}\),

i (z dowolności wyboru elementu \(\displaystyle{ a\in A}\)), otrzymujemy, że: \(\displaystyle{ g=f.}\)\(\displaystyle{ }\)

Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f' }\) jest silnie rosnąca, to funkcja \(\displaystyle{ g= (f')',}\) czyli funkcja o wartościach przeciwnych, jest silnie malejaca, a ponieważ \(\displaystyle{ f=g}\), to również funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest silnie malejąca.\(\displaystyle{ \square}\) :lol:


Na koniec wykażemy jeszcze jeden prosty fakt.

Rozważmy przedział \(\displaystyle{ A\subset \RR,}\) w zbiorze liczb rzeczywistych , oraz funkcję \(\displaystyle{ f:A \rightarrow \RR}\), funkcję różnowartościową. Rozważmy przedział \(\displaystyle{ \left( -A\right),}\) złożony z wartości przeciwnych do elementów tego danego przedziału \(\displaystyle{ A}\) , tzn. niech:

\(\displaystyle{ -A=\left\{ -x\Bigl| \ x\in A\right\} .}\)

I rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f' :-A \rightarrow \RR}\), daną jako:

\(\displaystyle{ f'(x)= f\left( -x\right) ,}\)

jest to funkcja powstała po odbiciu względem osi \(\displaystyle{ y}\). Wykażemy, że jest to również funkcja różnowartościowa.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Musimy sprawdzić, czy funkcja \(\displaystyle{ f'}\) jest dobrze określona, gdyż funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest określona tylko na przedziale.

Jeśli \(\displaystyle{ x\in \left( -A\right) }\), to \(\displaystyle{ x=-y}\), gdzie \(\displaystyle{ y\in A}\). Wtedy \(\displaystyle{ -x=-\left( -y\right)= y\in A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f:A \rightarrow \RR}\), to:

\(\displaystyle{ \RR\ni f(y)= f(-x)= f'(x),}\) i funkcja

\(\displaystyle{ f': -A \rightarrow \RR,}\)

jest dobrze określona.

Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ f'}\) jest funkcją różnowartościową. To jednak jest proste, gdyż:

Jeśli \(\displaystyle{ f' (x_1)= f' (x_2)}\) , to, z definicji tej funkcji, otrzymujemy: \(\displaystyle{ f\left( -x_1\right) = f\left( -x_2\right)}\), i ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa , to: \(\displaystyle{ -x_1= -x_2}\), a więc \(\displaystyle{ x_1=x_2}\),

i funkcja \(\displaystyle{ f'}\) jest różnowartościowa\(\displaystyle{ .\square}\) :D
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Funkcje niemalejące

Post autor: Jan Kraszewski »

Jakub Gurak pisze: 15 sie 2022, o 20:55Udowodniłem analogiczny (ale dowód nie jest analogiczny) fakt dla funkcji silnie malejących,
No cóż, można sobie utrudniać życie, jak ktoś lubi, natomiast dowód tego analogicznego faktu jest zupełnie analogiczny - wystarczy (prawie) wszystkie nierówności zamienić na przeciwne.

JK
ODPOWIEDZ