Zadanie z klasami abstrakcji

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
chmurek3508
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 22 mar 2022, o 12:17
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Zadanie z klasami abstrakcji

Post autor: chmurek3508 »

Witam
Nie wiem jak zrobić zadanie nr 6.
Czy mógłby proszę ktoś mi wytłumaczyć na przykładzie ?
Załączniki
zadanie 6.png
Ostatnio zmieniony 22 mar 2022, o 13:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zadanie z klasami abstrakcji

Post autor: Janusz Tracz »

Być może da się sprytniej ale osobiście przyjrzał bym się klasą abstrakcji
\begin{equation}
\begin{split}
[(k,l)]_{\mathcal{R}} & = \left\{ (m,n)\in \ZZ_{6} \times \ZZ_{8} : (k,l)\mathcal{R}(m,n) \right\} \\[1.5ex]
& = \left\{ (m,n)\in \ZZ_{6} \times \ZZ_{8} : 4k+5l=4m+5n \right\} \\[1.5ex]
&= \left\{ (k+5N,l-4N) :N\in \ZZ \ \& \ 0\le k+5N \le 5\ \& \ 0\le l-4N \le 7 \right\} \\[1.5ex]
&= \left\{ (k+5N,l-4N) :N\in \ZZ \ \& \ \tfrac{-k}{5}\le N \le \tfrac{5-k}{5}\ \& \ \tfrac{l-7}{4} \le N \le \tfrac{l}{4} \right\} \\[1.5ex]
&= \left\{ (k+5N,l-4N) :N\in \ZZ \ \& \ \max\left\{\tfrac{-k}{5}, \tfrac{l-7}{4} \right\} \le N \le \min \left\{ \tfrac{5-k}{5},\tfrac{l}{4} \right\} \right\}.
\end{split}
\end{equation}
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zadanie z klasami abstrakcji

Post autor: Jan Kraszewski »

Jak wytłumaczyć przykład na przykładzie?

Przekształć warunek definiujący relację do postaci \(\displaystyle{ 4(k-m)=5(n-l)}\) i zastanów, kiedy ma on szansę zachodzić, gdy \(\displaystyle{ k,m\in\ZZ_6}\) i \(\displaystyle{ n,l\in\ZZ_8}\). Wtedy zobaczysz, jakie (różne) pary liczb są ze sobą w relacji (jest ich niewiele), co pozwoli Ci odpowiedzieć na pytania.

@Janusz Tracz: Uch, brute force...

JK
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zadanie z klasami abstrakcji

Post autor: Janusz Tracz »

Do swojej propozycji rozwiązania dodam jeszcze, że możesz potestować i zobaczyć przykładowo, że charakteryzacja którą napisałem daje

\(\displaystyle{ [(0,0)]_{\mathcal{R}}=\left\{ \left( 0,0\right) \right\} }\)

\(\displaystyle{ [(4,7)]_{\mathcal{R}}=\left\{ \left( 3,7\right) \right\} }\)

\(\displaystyle{ [(0,7)]_{\mathcal{R}}=\left\{ (0,7),\ (5,3)\right\} }\)

Na Twoim miejscy zrobił bym też taki rysunek w którym kolorem zaznaczał bym element w relacji \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\). Taki rysunek zada pewien podział na \(\displaystyle{ \ZZ_6 \times \ZZ_8}\) podział ten będzie odpowiadał podziałowi wyznaczonemu przez relację \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) na klasy abstrakcji. Uzupełnij kolorami kolejne pola:

z6z8.PNG
chmurek3508
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 22 mar 2022, o 12:17
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Re: Zadanie z klasami abstrakcji

Post autor: chmurek3508 »

@Janusz Tracz:
W jaki sposób ma podstawiać te liczby pod \(\displaystyle{ k,l,m,n}\) ?
Tak aby obie strony równania były te same ?
Czy aby dawały jakieś konkretne wartości po swoich stronach ?

Co dokładnie znaczy wyrażenie poniżej ?
\(\displaystyle{ [(0,7)]_R=\{(0,7), (5,3)\}}\)

W jaki sposób do niego dojść ?
Ostatnio zmieniony 22 mar 2022, o 19:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zadanie z klasami abstrakcji

Post autor: Jan Kraszewski »

Janusz Tracz pisze: 22 mar 2022, o 14:38\(\displaystyle{ [(4,7)]_{\mathcal{R}}=\left\{ \left( 3,7\right) \right\} }\)
Tu Ci się ewidentnie palec omsknął...
chmurek3508 pisze: 22 mar 2022, o 19:04 Co dokładnie znaczy wyrażenie poniżej ?
\(\displaystyle{ [(0,7)]_R=\{(0,7), (5,3)\}}\)
Oznacza, że klasa abstrakcji pary \(\displaystyle{ (0,7)}\) jest równa \(\displaystyle{ \{(0,7), (5,3)\}}\). To standardowe oznaczenie, które powinieneś znać.
chmurek3508 pisze: 22 mar 2022, o 19:04W jaki sposób do niego dojść ?
Jeśli chodzi o tę konkretną klasę abstrakcji, to można wprost z definicji klasy abstrakcji:

\(\displaystyle{ [(0,7)]_R=\{(k,l)\in\ZZ_6\times\ZZ_8:(k,l)R(0,7)\}=\{(k,l)\in\ZZ_6\times\ZZ_8:4k+5l=42\}}\)

i to już można sprawdzić na palcach (ograniczając liczbę sprawdzanych przypadków za pomocą prostych obserwacji).

Janusz Tracz podał to jako przykład swojej charakteryzacji - jeśli akceptujesz, że

\(\displaystyle{ [(k,l)]_R = \left\{ (k+5N,l-4N) :N\in \ZZ \ \& \ \max\left\{\tfrac{-k}{5}, \tfrac{l-7}{4} \right\} \le N \le \min \left\{ \tfrac{5-k}{5},\tfrac{l}{4} \right\} \right\},}\)

to

\(\displaystyle{ [(0,7)]_R = \left\{ (0+5N,7-4N) :N\in \ZZ \ \& \ \max\left\{\tfrac{-0}{5}, \tfrac{7-7}{4} \right\} \le N \le \min \left\{ \tfrac{5-0}{5},\tfrac{7}{4} \right\} \right\}=\left\{ (5N,7-4N) :N\in \ZZ \ \& \ 0 \le N \le 1 \right\}=\\=\left\{ (5N,7-4N) :N=0\lor N=1 \right\}=\{(0,7), (5,3)\}.}\)

Tylko że ta procedura jest dość żmudna i odpowiedzenie poprawnie na pytania w zadaniu za jej pomocą wydaje mi się mało efektywne. Natomiast moja wskazówka, choć wymaga pewnej spostrzegawczości, daje natychmiastowy wynik bez konieczności takich zawziętych rachunków (a w zasadzie bez żadnych rachunków).

JK
ODPOWIEDZ