Zbiór skończonych łańcuchów

[marudka]

Dobry wieczór, mam pytanie dotyczące zbioru zawierającego wyłącznie skończone łańcuchy i skończone antyłancuchy.

Czy jeśli zbiór jest zbiorem częściowo uporządkowanym i wszystkie łańcuchy i antyłańcuchy, jakie można w nim wyróżnić, są skończone, to czy zbiór ten może być nieskończony?

Intuicja podpowiada mi, że tak być nie może - jeśli taki zbiór posiada skończenie wiele łańcuchów, a jego moc jest nieskończona, to jakiś antyłańcuch musi być nieskończony. Nie potrafię tego niestety wykazać i nie mam pomysłu gdzie zacząć to zadanie.

[Jan Kraszewski]

Dobra intuicja (choć dość ogólna).

Ładny dowód kontrapozycji tego twierdzenia polega na odpowiednim zadaniu na elementach tego zbioru struktury grafu (w sposób zależny od tego porządku) i skorzystaniu z najprostszej wersji

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Ramsey%27s_theorem#Infinite_graphs

.

JK

PS Albo można to samo zrobić "na palcach"...

[marudka]

Bardzo dziękuję za odpowiedź!

[Jakub Gurak]

Można też rozważać takie dwa prostsze problemy:

Czy zbiór uporządkowany, w którym każdy łańcuch jest skończony musi być skończony? Czy może dodatkowo dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego może istnieć w tym zbiorze uporządkowanym łańcuch mocy \(\displaystyle{ n}\)??

Czy zbiór uporządkowany, w którym każdy antyłańcuch jest skończony musi być skończony? Czy może dodatkowo dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego może tu istnieć antyłańcuch mocy \(\displaystyle{ n}\)??

Rozwiązałem te zadania TUTAJ.

Polecam.

[marudka]

Dziękuję za ciekawe zadanka c: