wyznacz sumę i iloczyn zbiorów

[july04]

Czy mógłby mi ktoś krok po kroku wytłumaczyć jak wyznaczyć następujące zbiory:

Dla zbiorów \(\displaystyle{ A _{n.m}=\left\{ x : m^{2} \le x \le n^{2}+\left( m+1\right) ^{2} \right\} }\) oraz \(\displaystyle{ A _{n.m}=\left\{ x : n- \frac{1}{m+1} \le x \le n+ \frac{1}{m+1} \right\}}\)
wyznaczyć \(\displaystyle{ \bigcup_{n} \bigcap_{m} }\) oraz \(\displaystyle{ \bigcap_{n} \bigcup_{m} }\)

[Jan Kraszewski]

Najpierw ustalasz \(\displaystyle{ n}\) jako parametr i wyznaczasz \(\displaystyle{ B_n= \bigcup_{m\in\NN}A_{mn} }\) i \(\displaystyle{ C_n= \bigcap_{m\in\NN}A_{mn} }\), a potem liczysz \(\displaystyle{ \bigcap_{n\in\NN}B_n}\) i \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\NN}C_n.}\)

JK

[july04]

Powinienem dodać, że \(\displaystyle{ A _{n,m} \subset \mathbb{R}}\) i \(\displaystyle{ n,m \in \mathbb{N}_{+}}\)
Czyli w pierwszym przykładzie dla \(\displaystyle{ \bigcup_{n} \bigcap_{m} A _{n,m} =\langle 1,\infty)}\)
natomiast \(\displaystyle{ \bigcap_{n} \bigcup_{m} A _{n,m} =\varnothing}\)

[Jan Kraszewski]

Czyli w pierwszym przykładzie dla \(\displaystyle{ \bigcup_{n} \bigcap_{m} A _{n,m} =\langle 1,\infty)}\)
natomiast \(\displaystyle{ \bigcap_{n} \bigcup_{m} A _{n,m} =\varnothing}\)

No nie, wręcz przeciwnie: \(\displaystyle{ \bigcup_{n} \bigcap_{m} A _{n,m} =\emptyset}\), a \(\displaystyle{ \bigcap_{n} \bigcup_{m} A _{n,m} =[1,+\infty).}\)

JK

[july04]

Dziękuję, już chyba rozumiem. czyli w przykładzie 2

\(\displaystyle{ A _{n.m}=\left\{ x : n- \frac{1}{m+1} \le x \le n+ \frac{1}{m+1} \right\}}\)
wyznaczyć \(\displaystyle{ \bigcup_{n} \bigcup_{m} = [1,\infty)}\), \(\displaystyle{ \bigcap_{n} \bigcap_{m} = \varnothing}\), \(\displaystyle{ \bigcup_{n} \bigcap_{m} = \NN_{+}}\) i \(\displaystyle{ \bigcap_{n} \bigcup_{m} = \left\langle 0,1\right\rangle }\)

[Jan Kraszewski]

wyznaczyć \(\displaystyle{ \bigcup_{n} \bigcup_{m} = [1,\infty)}\), \(\displaystyle{ \bigcap_{n} \bigcap_{m} = \varnothing}\), \(\displaystyle{ \bigcup_{n} \bigcap_{m} = \NN_{+}}\) i \(\displaystyle{ \bigcap_{n} \bigcup_{m} = \left\langle 0,1\right\rangle }\)

Jak ja nie lubię takich "oszczędności"...

\(\displaystyle{ \bigcup_{n} \bigcup_{m} A_{nm} = [1,\infty)}\) NIE
\(\displaystyle{ \bigcap_{n} \bigcap_{m} A_{nm} = \emptyset}\) TAK
\(\displaystyle{ \bigcup_{n} \bigcap_{m} A_{nm} = \NN_{+}}\) TAK
\(\displaystyle{ \bigcap_{n} \bigcup_{m} A_{nm} = \left\langle 0,1\right\rangle }\) NIE

Zauważ zresztą przy okazji, że \(\displaystyle{ \bigcap_{n} \bigcup_{m} A_{nm} \subseteq \bigcup_{n} \bigcup_{m} A_{nm},}\) więc choćby z tego powodu jest źle.

JK