Poprawność zapisu.

[gr4vity]

Mam sprawdzić czy poniższe równości są tożsamościami, jeżeli nie to podać przykład.

Przykład 1

\(\displaystyle{ A \setminus (B \cup C)=(A \setminus B) \cap (A \setminus C)}\)
Wiem, że ten przykład jest tożsamością natomiast mam problem z zapisem, wyszedłem z prawej strony:
\(\displaystyle{ (x \in A \wedge x\notin B) \wedge (x \in A \cap x\notin C) \Leftrightarrow x \in A \wedge x\notin B \wedge x\notin C}\)

Wiem, że należy skorzystać teraz z prawa De Morgana, natomiast jak zachować poprawność zapisu? Mogłoby być tak?

... \(\displaystyle{ \Leftrightarrow x \in A \wedge \neg (x \in B \vee x \in C) \Leftrightarrow x \in A \setminus (B \cup C)}\)

Przykład 2

\(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \setminus (A \cup B)=C}\)
\(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \subset (A \cup B)}\) zatem \(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \setminus (A \cup B) \neq C}\)
Czy takie coś jest wystarczające, jak lepiej to zrobić? Nie za bardzo rozumiem polecenie " Jeżeli nie są tożsamościami podaj przykłady.

Z góry bardzo dziękuję za pomoc

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ A \setminus (B \cup C)=(A \setminus B) \cap (A \setminus C)}\)
Wiem, że ten przykład jest tożsamością natomiast mam problem z zapisem, wyszedłem z prawej strony:
\(\displaystyle{ (x \in A \wedge x\notin B) \wedge (x \in A \cap x\notin C) \Leftrightarrow x \in A \wedge x\notin B \wedge x\notin C}\)

Zadam standardowe pytanie: a co to jest \(\displaystyle{ x}\)? Poza tym w jednym miejscu masz przekrój zamiast koniunkcji.

Wiem, że należy skorzystać teraz z prawa De Morgana, natomiast jak zachować poprawność zapisu? Mogłoby być tak?

... \(\displaystyle{ \Leftrightarrow x \in A \wedge \neg (x \in B \vee x \in C) \Leftrightarrow x \in A \setminus (B \cup C)}\)

Mogłoby być.

\(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \setminus (A \cup B)=C}\)
\(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \subset (A \cup B)}\) zatem \(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \setminus (A \cup B) \neq C}\)
Czy takie coś jest wystarczające, jak lepiej to zrobić?

To jest przede wszystkim niepoprawne, bo nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \subset (A \cup B)}\) (gdyż \(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \supset (A \cup B)}\)). Poza tym widać, że nie rozumiesz polecenia.

Nie za bardzo rozumiem polecenie " Jeżeli nie są tożsamościami podaj przykłady.

Tożsamość rachunku zbiorów oznacza, że zachodzi dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B,C}\). Jeżeli zatem chcesz pokazać, że pewna równość jest tożsamością, musisz wykonać pewne rozumowanie ogólne. Natomiast jeśli taka równość nie jest tożsamością, to oznacza to, że istnieją zbiory \(\displaystyle{ A,B,C}\), dla których nie ma równości. Istnieją, czyli należy wskazać kontrprzykład, czyli przykład konkretnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B,C}\), dla których nie ma równości.

JK

[gr4vity]

Zadam standardowe pytanie: a co to jest \(\displaystyle{ x}\)?

Sam chciałbym wiedzieć, nie było mi dane dowiedzieć się tego na wykładzie - może dowolny element?

Poza tym w jednym miejscu masz przekrój zamiast koniunkcji.

Źle mi się kliknęło

To jest przede wszystkim niepoprawne, bo nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \subset (A \cup B)}\) (gdyż \(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \supset (A \cup B)}\)). Poza tym widać, że nie rozumiesz polecenia.

A w ten sposób ?

\(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \setminus (A \cup B)=C}\)
\(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in B \vee x \in C) \wedge \neg (x\in A \vee x\in B) \Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B \vee x \in C) \wedge x\notin A \wedge
x \notin B \Leftrightarrow F \vee F \vee (x \in C \wedge x\notin A \wedge x \notin B)}\)
Czyli widzimy, że lewa strona opisuje nam tylko teelementy które należą do zbioru \(\displaystyle{ C}\), ale jednocześnie nie należą do zbioru \(\displaystyle{ A \wedge
B}\)

Tożsamość rachunku zbiorów oznacza, że zachodzi dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B,C}\). Jeżeli zatem chcesz pokazać, że pewna równość jest tożsamością, musisz wykonać pewne rozumowanie ogólne. Natomiast jeśli taka równość nie jest tożsamością, to oznacza to, że istnieją zbiory \(\displaystyle{ A,B,C}\), dla których nie ma równości. Istnieją, czyli należy wskazać kontrprzykład, czyli przykład konkretnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B,C}\), dla których nie ma równości.

Czyli w moim przypadku podanie takich zbiorów: \(\displaystyle{ A=\left\{ 5\right\}, B=\left\{ 4\right\}, C=\left\{ 5,4,3\right\} }\) jest poprawnym przykładem?
Dla takich elementów naszego zbioru wynikiem tego: \(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \setminus (A \cup B)=3 \neq C}\)

Przepraszam bardzo, za niektóre być może błędne napisy, ale jestem zaledwie po pierwszych ćwiczeniach i jestem kompletnie świeży w tych tematach

Dziękuję bardzo za poświęcony czas !

[Jan Kraszewski]

Zadam standardowe pytanie: a co to jest \(\displaystyle{ x}\)?

Sam chciałbym wiedzieć, nie było mi dane dowiedzieć się tego na wykładzie - może dowolny element?

Tak, dowolnie ustalony element. Porządny dowód powinien zaczynać się od "Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x}\)".

A w ten sposób ?
\(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \setminus (A \cup B)=C}\)
\(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in B \vee x \in C) \wedge \neg (x\in A \vee x\in B) \Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B \vee x \in C) \wedge x\notin A \wedge
x \notin B \Leftrightarrow F \vee F \vee (x \in C \wedge x\notin A \wedge x \notin B)}\)
Czyli widzimy, że lewa strona opisuje nam tylko teelementy które należą do zbioru \(\displaystyle{ C}\), ale jednocześnie nie należą do zbioru \(\displaystyle{ A \wedge
B}\)

Jednocześnie nie należą do zbioru \(\displaystyle{ A\cup B}\) (zapis \(\displaystyle{ A \wedge B}\) nie ma sensu, zapomniałeś też o prawie de Morgana). Tyle że ten rachunek niczego nie dowodzi, może być tylko wskazówką przy szukaniu kontrprzykładu (choć do tego wystarczy diagram Venna).

Czyli w moim przypadku podanie takich zbiorów: \(\displaystyle{ A=\left\{ 5\right\}, B=\left\{ 4\right\}, C=\left\{ 5,4,3\right\} }\) jest poprawnym przykładem?

Tak.

Dla takich elementów naszego zbioru wynikiem tego: \(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \setminus (A \cup B)=3 \neq C}\)

Nie, bo \(\displaystyle{ (A \cup B \cup C) \setminus (A \cup B)=\{3\} }\) - klamerki robią różnicę...

JK

[gr4vity]

Jednocześnie nie należą do zbioru \(\displaystyle{ A\cup B}\) (zapis \(\displaystyle{ A \wedge B}\) nie ma sensu, zapomniałeś też o prawie de Morgana). Tyle że ten rachunek niczego nie dowodzi, może być tylko wskazówką przy szukaniu kontrprzykładu (choć do tego wystarczy diagram Venna).

A da się to przekształcić do takiego sposobu żeby ten rachunek pełnił rolę dowodu?

Dobrze rozumiem, że podanie przykładu jest wystarczającym dowodem i te przekształcenia są zbędne? W końcu jeden przykład obala tezę, że równość jest tożsama.

[Jan Kraszewski]

A da się to przekształcić do takiego sposobu żeby ten rachunek pełnił rolę dowodu?

Nie. Nie jesteś w stanie w ogólny sposób udowodnić, że ta równość nie zachodzi, bo to by znaczyło, że NIGDY nie zachodzi, a to nieprawda - są zbiory, dla których ta równość zachodzi.

Dobrze rozumiem, że podanie przykładu jest wystarczającym dowodem i te przekształcenia są zbędne? W końcu jeden przykład obala tezę, że równość jest tożsama.

Tak.

Przekształcenia mogą Ci pomóc znaleźć kontrprzykład, ale to kontrprzykład jest dowodem, że nie ma tożsamości.

Powinieneś zrozumieć podstawową różnicę pomiędzy twierdzeniem ogólnym a egzystencjalnym i sposobami ich dowodzenia.

JK