wykaż, że relacja

[konrad099z]

W zbiorze \(\displaystyle{ \NN\times\NN}\) rozważmy relację określoną następująco:
\(\displaystyle{ (m,n)p(k,l) \Leftrightarrow m+l=k+n}\) dla \(\displaystyle{ (m,n),(k,l)\in \NN\times\NN}\).
Wykaż, że:
Jeśli \(\displaystyle{ (k,l)p(k',l')}\) oraz \(\displaystyle{ (m,n)p(m',l')}\), to \(\displaystyle{ k+n \le m+l \Leftrightarrow k'+n' \le m'+l'.}\)

Szukam pomocy
Pozdrawiam

[Jan Kraszewski]

Z czym masz problem? Rozpisz co oznaczają założenia i przekształć równoważnie, korzystając z tych założeń, nierówność z lewej strony do nierówności z prawej strony. Rachunki są - szczerze mówiąc - dość banalne.

JK

[konrad099z]

Nie mam pomysłu jak z tych założeń mam wykazać nierówność, w jaki sposób przekształcić

[Jan Kraszewski]

A zacząłeś coś robić? Napisałem Ci, co po kolei należy zrobić. Co oznaczają założenia?

No i nie "wykazujesz nierówność", tylko pokazujesz, że dwie nierówności są równoważne.

JK

PS
Tak naprawdę jest to relacja, za pomocą której konstruuje się liczby całkowite, a Twoje zadanie to sprawdzenie poprawności definicji nierówności na tych konstruowanych liczbach...

[konrad099z]

Rozpisałem założenia \(\displaystyle{ k+l'=k'+l}\) oraz \(\displaystyle{ m+n'=m'+n}\).
Mój problem polega na tym, że nie wiem jak je przekształcić, aby wynikała z nich równoważność tych nierówności

[Jan Kraszewski]

Twój problem nie polega na tym, że nie wiesz, bo to akurat dość powszechna sytuacja, która zdarza się wielu osobom. Twój problem polega na tym, że nie próbujesz się dowiedzieć. To nie działa tak, że patrzysz na zadanie i WIESZ (wtedy jest dobrze) albo NIE WIESZ (i wtedy nic nie da się zrobić). Zazwyczaj jest tak, że patrzysz i nie wiesz i wtedy zaczynasz próbować się dowiedzieć... Te próby niekoniecznie są od razu udane, ale summa summarum przybliżają Cię do odpowiedzi.

Masz zatem ustalone liczby naturalne \(\displaystyle{ k,k',l,l',m,m',n,n'}\) i wiesz o nich, że \(\displaystyle{ k+l'=k'+l}\) oraz \(\displaystyle{ m+n'=m'+n}\). Twoim celem jest pokazanie równoważności \(\displaystyle{ \blue{k+n \le m+l }\, \Leftrightarrow \, \green{k'+n' \le m'+l'}.}\) Popatrz zatem na niebieską stronę równoważności. Zauważ, że wszystkie literki są bez "primów", a Ty chciałbyś równoważnie przekształcić tę nierówność do wersji zielonej, gdzie wszystkie literki są z "primami". Wiesz, że możesz użyć założeń - może trzeba te założenia przed użyciem jakoś przekształcić, skoro z niebieskiej strony nie ma żadnych "primów"? Może tę nierówność też warto przekształcić, żeby łatwiej było użyć przekształcone założenia?

Kombinuj, próbuj, może w końcu się uda (a nawet jeśli nie, to będziesz miał lepszą odpowiedź na pytanie "Z czym masz kłopot?"...). Na tym polega matematyka.

JK

[konrad099z]

Udało się. Kombinowałem za bardzo na samym wstępie, już widzę swój problem.
Dziękuję za pomoc.