Zbiory-implikacja

[Tyran]

Dowolne zbiory \(\displaystyle{ A,B,C}\). Która implikacja jest pradziwa?
a) \(\displaystyle{ (A∩C'=\emptyset) \land (B \cup A \neq\emptyset) \implies (B\cup C \neq\emptyset)}\)
b) \(\displaystyle{ (A-B = \emptyset) \land (C-B = \emptyset) \implies (A-C = \emptyset)}\)
Jak rozwiązać zadanie tego typu?
Wiem, że jak pierwsza część zdania wynosi 1, a druga 0 to implikacja jest nieprawdą.

[Jan Kraszewski]

Jak rozwiązać zadanie tego typu?

Zrozumieć, co znaczą te znaczki.

Np. w a) założenie \(\displaystyle{ A\cap C'=\emptyset}\) mówi tak naprawdę, że \(\displaystyle{ A \subseteq C}\), a założenie \(\displaystyle{ B\cup A\ne\emptyset}\) mówi, że któryś ze zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\) jest niepusty. Pytanie brzmi, czy z tych dwóch przesłanek wynika, że jeden ze zbiorów \(\displaystyle{ C,B}\) jest niepusty. Jeżeli uważasz, że tak, to należy przedstawić rozumowanie, które to uzasadnia.

JK

[Tyran]

\(\displaystyle{ A \cap C′}\) równa się \(\displaystyle{ A-C}\), więc:
Albo \(\displaystyle{ A = \emptyset}\), albo \(\displaystyle{ A=C \neq\emptyset}\). Z tego wynika, że zdanie a) wygląda: \(\displaystyle{ 1\wedge1\implies 1}\) , więc jest to prawda.
Jeżeli chodzi o zdanie b), to:
Są dwie możliwości:
Pierwsza: \(\displaystyle{ A=\emptyset}\) i \(\displaystyle{ C=\emptyset}\). Druga: \(\displaystyle{ A=B=C \neq\emptyset}\). Z tego wynika, że zdanie b) wygląda: \(\displaystyle{ 1\wedge1\implies 1}\) , więc jest to prawda.
Dobrze rozumuje?

[Jan Kraszewski]

Zacznij w końcu poprawnie używać \(\displaystyle{ \LaTeX}\)a, bo poprawianie Twoich postów jest uciążliwe - całe wyrażenia matematyczne umieszczasz w pojedynczych tagach [latex][/latex].

Dobrze rozumuje?

Zupełnie źle.

\(\displaystyle{ A \cap C′}\) równa się \(\displaystyle{ A-C}\), więc:
Albo \(\displaystyle{ A = \emptyset}\), albo \(\displaystyle{ A=C \neq\emptyset}\).

Nieprawda.

Z tego wynika, że zdanie a) wygląda: \(\displaystyle{ 1\wedge1\implies 1}\) , więc jest to prawda.

To nie jest poprawny sposób zapisywania rozumowania (abstrahując od tego, że źle zacząłeś).

Jeżeli chodzi o zdanie b), to:
Są dwie możliwości:
Pierwsza: \(\displaystyle{ A=\emptyset}\) i \(\displaystyle{ C=\emptyset}\). Druga: \(\displaystyle{ A=B=C \neq\emptyset}\).

Nieprawda.

Z tego wynika, że zdanie b) wygląda: \(\displaystyle{ 1\wedge1\implies 1}\) , więc jest to prawda.

Uwaga jak poprzednio.

JK

[Tyran]

Może chodzi o coś takiego?:
\(\displaystyle{ x\notin A}\) i \(\displaystyle{ x\notin C}\) i \(\displaystyle{ x\in B}\), więc \(\displaystyle{ x\in B \wedge x\notin C}\), a to się zgadza.

[Jan Kraszewski]

Może chodzi o coś takiego?:
\(\displaystyle{ x\notin A}\) i \(\displaystyle{ x\notin C}\) i \(\displaystyle{ x\in B}\), więc \(\displaystyle{ x\in B \wedge x\notin C}\), a to się zgadza.

Ale co to jest?! Napisałeś trochę znaczków zamiast rozumowania. To dokładnie nic nie znaczy.

Rozumowanie to ciąg kolejnych wnioskowań, który powinien być zapisany w czytelny i zrozumiały sposób. W podpunkcie a) powinno wyglądać to tak:

Z założenia \(\displaystyle{ B\cup A\ne\emptyset}\) wynika, że któryś ze zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\) jest niepusty. Jeżeli niepusty jest zbiór \(\displaystyle{ B}\), to ponieważ \(\displaystyle{ B \subseteq B\cup C}\), więc tym bardziej niepusty jest zbiór \(\displaystyle{ B\cup C}\). Jeżeli zaś niepusty jest zbiór \(\displaystyle{ A}\), to ponieważ warunek \(\displaystyle{ A\cap C'=\emptyset}\) jest równoważny \(\displaystyle{ A \subseteq C}\), więc z tego założenia wnioskujemy, że niepusty jest zbiór \(\displaystyle{ C}\), czyli tym bardziej niepusty jest zbiór \(\displaystyle{ B\cup C}\). Zatem teza jest prawdziwa.

W podpunkcie b) musisz najpierw zdecydować się, czy chcesz dowodzić prawdziwość, czy fałszywość tezy. A podjęcie tej decyzji wymaga zrozumienia, jaką sytuację opisuje to twierdzenie (a nie żonglerki znaczkami).

JK