Mam problem w udowodnieniu tego równania:
\(\displaystyle{ (A \cup B) \setminus (A \cap B) = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) }\)
Przedstawię tok mojego rozumowania:
1. Obieramy dowolny \(\displaystyle{ x \in R }\)
\(\displaystyle{ x \in ((A \cup B) \setminus (A \cap B)) = x \in ((A \setminus B) \cup (B \setminus A))}\)
2. Lewa strona:
\(\displaystyle{ (x \in A \cup x \in B) \wedge \neg (x \in A \cap x \in B))}\) ---> Z definicji różnicy zbiorów
\(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in B) \wedge ( \neg (x \in A) \vee \neg (x \in B))}\) ---> Z definicji sumy zbiorów
3. Prawa strona:
\(\displaystyle{ (x \in A \wedge \neg (x \in B)) \cup (x \in B \wedge \neg (x \in A)) }\) ---> Z def. różnicy zbiorów
\(\displaystyle{ (x \in A \wedge \neg (x \in B)) \vee (x \in B \wedge \neg (x \in A)) }\) ---> Z def. sumy zbiorów
Tutaj zaczyna się problem, według tego co zrobiłem \(\displaystyle{ P \neq L }\) Prosiłbym o pomoc lub też korektę moich błędów. Gdzieś w zeszycie miałem zapisane o czymś takim jak ''Różnica symetryczna zbiorów'', aczkolwiek nie wiem jak mógłbym ją, i czy w ogóle, wykorzystać. Z góry dziękuję.
Czy zachodzi równość dla zbiorów
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 27 lis 2021, o 22:31
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 2 razy
Czy zachodzi równość dla zbiorów
Ostatnio zmieniony 27 lis 2021, o 23:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34228
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
Re: Czy zachodzi równość dla zbiorów
A cóż to jest \(\displaystyle{ R}\) i skąd pomysł, by wziąć dowolny \(\displaystyle{ x}\) właśnie stamtąd?
Źle. Zbiory są równe, a formuły równoważne. Powinni być
\(\displaystyle{ x \in ((A \cup B) \setminus (A \cap B)) \Leftrightarrow x \in ((A \setminus B) \cup (B \setminus A)).}\)
Znów mylisz byty - nie wolno stosować operacji mnogościowych do formuł. Powinno być:Krrystian pisze: ↑27 lis 2021, o 23:00 2. Lewa strona:
\(\displaystyle{ (x \in A \,\red{\cup}\, x \in B) \wedge \neg (x \in A\,\red{\cap}\, x \in B))}\) ---> Z definicji różnicy zbiorów
\(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in B) \wedge ( \neg (x \in A) \vee \neg (x \in B))}\) ---> Z definicji sumy zbiorów
3. Prawa strona:
\(\displaystyle{ (x \in A \wedge \neg (x \in B)) \, \red{\cup}\, (x \in B \wedge \neg (x \in A)) }\) ---> Z def. różnicy zbiorów
\(\displaystyle{ (x \in A \wedge \neg (x \in B)) \vee (x \in B \wedge \neg (x \in A)) }\) ---> Z def. sumy zbiorów
2. Lewa strona (rownoważnie):
\(\displaystyle{ (x \in A\cup B) \wedge \neg (x \in A\cap B))}\) ---> Z definicji różnicy zbiorów
\(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in B) \wedge ( \neg (x \in A) \vee \neg (x \in B))}\) ---> Z definicji sumy i przekroju zbiorów
3. Prawa strona (równoważnie):
\(\displaystyle{ (x \in A \setminus B)) \lor (x \in B\setminus A) }\) ---> Z def. sumy zbiorów
\(\displaystyle{ (x \in A \wedge \neg (x \in B)) \vee (x \in B \wedge \neg (x \in A)) }\) ---> Z def. różnicy zbiorów
No i co z tego? Ciebie nie interesuje \(\displaystyle{ P=L}\), tylko \(\displaystyle{ P \Leftrightarrow L}\), a żeby to uzyskać, trzeba się trochę napracować. Weź lewą stronę, poprzekształcaj ją równoważnie stosując prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy.
Ta równość to po prostu pewna własność różnicy symetrycznej zbiorów:
\(\displaystyle{ A\Delta B= (A \cup B) \setminus (A \cap B) = (A \setminus B) \cup (B \setminus A). }\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 27 lis 2021, o 22:31
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 2 razy
Re: Czy zachodzi równość dla zbiorów
Przyznaje się, nie wiem skąd. Czy mógłby on należeć do jakiegokolwiek zbioru zamiast \(\displaystyle{ R}\)?Jan Kraszewski pisze: ↑27 lis 2021, o 23:18 A cóż to jest \(\displaystyle{ R}\) i skąd pomysł, by wziąć dowolny \(\displaystyle{ x}\) właśnie stamtąd?
Dziękuje za poprawę zapisu.Jan Kraszewski pisze: ↑27 lis 2021, o 23:18 No i co z tego? Ciebie nie interesuje \(\displaystyle{ P=L}\), tylko \(\displaystyle{ P⇔L}\), a żeby to uzyskać, trzeba się trochę napracować. Weź lewą stronę, poprzekształcaj ją równoważnie stosując prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy.
Więc kontynuując:
2. Lewa strona (rownoważnie):
\(\displaystyle{ (x \in A\cup B) \wedge \neg (x \in A\cap B))}\) ---> Z definicji różnicy zbiorów
\(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in B) \wedge ( \neg (x \in A) \vee \neg (x \in B))}\) ---> Z definicji sumy i przekroju zbiorów
\(\displaystyle{ \neg [(x \in A \vee x \in B) \wedge ( \neg (x \in A) \vee \neg (x \in B))]}\) ---> Z prawa De Morgana
\(\displaystyle{ ( \neg (x \in A) \wedge \neg (x \in B)) \vee ( x \in A \wedge x \in B)}\)
Mówiąc szczerze, nie wiem jak mógłbym wykorzystać prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy. Brakuje mi pomysłu. Ogólnie jedyne co mi przychodzi do głowy, to czy jeżeli mamy właśnie to prawo to możemy je użyć właśnie w taki sposób (jeszcze nie spotkałem się z takim "stylem" użycia prawa rozdzielności, gdzie z dwóch stron mamy zapis zbiorów, z czego nie mają jednego elementu wspólnego):
\(\displaystyle{ (\neg (x \in A) \wedge x \in B) \vee (\neg (x \in B) \wedge x \in A) }\)
I wtedy \(\displaystyle{ L \Leftrightarrow P }\)
-
- Administrator
- Posty: 34228
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
Re: Czy zachodzi równość dla zbiorów
Krrystian pisze: ↑28 lis 2021, o 00:11 2. Lewa strona (rownoważnie):
\(\displaystyle{ (x \in A\cup B) \wedge \neg (x \in A\cap B))}\) ---> Z definicji różnicy zbiorów
\(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in B) \wedge ( \neg (x \in A) \vee \neg (x \in B))}\) ---> Z definicji sumy i przekroju zbiorów
\(\displaystyle{ \neg [(x \in A \vee x \in B) \wedge ( \neg (x \in A) \vee \neg (x \in B))]}\) ---> Z prawa De Morgana
A to niby skąd? Zanegowanie formuły nie jest przejściem równoważnym...
Prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania mówi tylko, że \(\displaystyle{ a(b+c)=ab+ac}\), a jakoś nie masz problemów z przekształceniem (na mocy tego prawa) \(\displaystyle{ (a+b)(c+d)=...}\)Krrystian pisze: ↑28 lis 2021, o 00:11Mówiąc szczerze, nie wiem jak mógłbym wykorzystać prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy. Brakuje mi pomysłu. Ogólnie jedyne co mi przychodzi do głowy, to czy jeżeli mamy właśnie to prawo to możemy je użyć właśnie w taki sposób (jeszcze nie spotkałem się z takim "stylem" użycia prawa rozdzielności, gdzie z dwóch stron mamy zapis zbiorów, z czego nie mają jednego elementu wspólnego)
Masz \(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in B) \wedge ( \neg (x \in A) \vee \neg (x \in B))}\) i (formalnie rzecz biorąc) musisz zastosować prawo rozdzielności trzykrotnie (tak samo, jak przy powyższym wyrażeniu algebraicznym):
\(\displaystyle{ \red{(x \in A \vee x \in B)} \wedge ( \neg (x \in A) \vee \neg (x \in B)) \Leftrightarrow \\
(\red{(x \in A \vee x \in B)} \wedge \neg (x \in A) ) \vee (\red{(x \in A \vee x \in B)} \wedge \neg (x \in B)) \Leftrightarrow... }\)
itd.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 27 lis 2021, o 22:31
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 2 razy
Re: Czy zachodzi równość dla zbiorów
Wziąłem sobie do serca rozdzielność koniunkcji względem alternatywy, jak to wyżej Pan uwzględnił w wypowiedzi.Jan Kraszewski pisze: ↑28 lis 2021, o 00:34
A to niby skąd? Zanegowanie formuły nie jest przejściem równoważnym...
Masz \(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in B) \wedge ( \neg (x \in A) \vee \neg (x \in B))}\) i (formalnie rzecz biorąc) musisz zastosować prawo rozdzielności trzykrotnie (tak samo, jak przy powyższym wyrażeniu algebraicznym):
\(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in B) \wedge ( \neg (x \in A) \vee \neg (x \in B)) \Leftrightarrow \\
(x \in A \vee x \in B) \wedge \neg (x \in A) ) \vee (x \in A \vee x \in B) \wedge \neg (x \in B)) \Leftrightarrow \\
[(x \in A \wedge \neg (x \in A)) \vee (x \in B \wedge \neg (x \in A) )] \vee [(x \in A \wedge \neg (x \in B)) \vee (x \in B \vee \neg (x \in B))]\Leftrightarrow \\}\)
Gdzie: \(\displaystyle{ (x \in A \wedge \neg (x \in A)) }\) oraz \(\displaystyle{ (x \in B \vee \neg (x \in B))}\) dla których wartość logiczna jest równa 0, więc mogę je zredukować w tym przypadku, dlatego:
\(\displaystyle{ (x \in B \wedge \neg (x \in A) )\vee (x \in A \wedge \neg (x \in B)) }\)
Dzięki czemu: \(\displaystyle{ L\Leftrightarrow P }\)
-
- Administrator
- Posty: 34228
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
Re: Czy zachodzi równość dla zbiorów
No widzisz, dałeś radę. Przy czym nie tyle "redukujesz", co korzystasz z prawa \(\displaystyle{ p\lor 0 \Leftrightarrow p.}\)Krrystian pisze: ↑28 lis 2021, o 01:24\(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in B) \wedge ( \neg (x \in A) \vee \neg (x \in B)) \Leftrightarrow \\
(x \in A \vee x \in B) \wedge \neg (x \in A) ) \vee (x \in A \vee x \in B) \wedge \neg (x \in B)) \Leftrightarrow \\
[(x \in A \wedge \neg (x \in A)) \vee (x \in B \wedge \neg (x \in A) )] \vee [(x \in A \wedge \neg (x \in B)) \vee (\red{x \in B \vee \neg (x \in B)})]\Leftrightarrow \\}\)
Gdzie: \(\displaystyle{ (x \in A \wedge \neg (x \in A)) }\) oraz \(\displaystyle{ (x \in B \vee \neg (x \in B))}\) dla których wartość logiczna jest równa 0, więc mogę je zredukować w tym przypadku, dlatego:
\(\displaystyle{ (x \in B \wedge \neg (x \in A) )\vee (x \in A \wedge \neg (x \in B)) }\)
Dzięki czemu: \(\displaystyle{ L\Leftrightarrow P }\)
Poza tym masz jedną pomyłkę: zamiast \(\displaystyle{ x \in B \vee \neg (x \in B)}\) powinno być \(\displaystyle{ x \in B \land \neg (x \in B)}\).
JK
PS No i nie wyjaśniłeś, skąd wziąłeś \(\displaystyle{ R}\)...
@edit: poprawa pomyłki.