Podzbiór (przedział) zbioru liniowo uporządkowanego

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Podzbiór (przedział) zbioru liniowo uporządkowanego

Post autor: Jakub Gurak »

Mamy fakt, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest jego podzbiorem, to zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest liniowo uporządkowany przez porządek \(\displaystyle{ \le}\) zawężony do elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\). Udowodniłem przedwczoraj, że \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym gęstym, a zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest dowolnym przedziałem, to zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest uporządkowany w sposób gęsty. A następnie udowodniłem, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym ciągłym, a \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest przedziałem, to przedział \(\displaystyle{ A}\) jest uporządkowany w sposób ciągły. Podobny fakt udowodniłem dla zbiorów dobrze uporządkowanych. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.

Przypomnijmy, w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) nazywamy przedziałem, gdy z każdymi dwoma elementami \(\displaystyle{ x,y\in A}\), każdy element \(\displaystyle{ z\in X}\), taki, że \(\displaystyle{ x<z<y}\) spełnia: \(\displaystyle{ z\in A.}\) (Czyli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem, gdy z każdymi jego dwoma elementami każdy element zbioru liniowego uporządkowanego \(\displaystyle{ X,}\) będący elementem pośrednim, jest elementem tego przedziału \(\displaystyle{ A}\)).

Mamy następujący prosty fakt:

Jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest dowolnym przedziałem, i \(\displaystyle{ Y\subset X}\) jest podzbiorem liniowo uporządkowanym (przez porządek \(\displaystyle{ \le}\) zawężony do elementów zbioru \(\displaystyle{ Y}\), będziemy dalej już oznaczać ten porządek jako \(\displaystyle{ \le _{Y}}\)), to przekrój \(\displaystyle{ A \cap Y}\) jest przedziałem w \(\displaystyle{ \left( Y,\le _Y\right) .}\)
PROSTY DOWODZIK:    
Mamy też taki fakt:

Lemat 0: Jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem uporządkowanym (chyba nawet niekoniecznie liniowo), a \(\displaystyle{ Y\subset X}\) jest podzbiorem uporządkowanym (przez porządek \(\displaystyle{ \le}\) zawężony do elementów zbioru \(\displaystyle{ Y}\), będziemy dalej oznaczać go jako \(\displaystyle{ \le _{Y}}\) ), i gdy mamy zbiór \(\displaystyle{ Z\subset Y}\), to jeśli zbiór \(\displaystyle{ Z}\) ma supremum \(\displaystyle{ \bigvee\limits_{ \left( X, \le \right) } Z,}\) względem porządku na nadzbiorze \(\displaystyle{ X}\), to jeśli \(\displaystyle{ \bigvee\limits_{ \left( X, \le\right)}Z \in Y}\), to \(\displaystyle{ \bigvee\limits_{\left( X, \le \right) } Z =\bigvee \limits_{\left( Y, \le _Y\right) } Z}\) (czyli o ile, to supremum zbioru \(\displaystyle{ Z}\), względem porządku na nadzbiorze \(\displaystyle{ X}\), o ile jest elementem podzbioru uporządkowanego \(\displaystyle{ Y}\), to jest to supremum liczonego zbioru \(\displaystyle{ Z}\), względem porządku w podzbiorze uporządkowanym). To można dość prosto udowodnić ( dowód nie jest zbyt fascynujący, raczej czysto techniczny, ale ten fakt nam się przyda). Podobny fakt można sformułować i udowodnić dla infimum.

Przypomnijmy zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) nazywamy gęstym , gdy dla każdych elementów \(\displaystyle{ x,y\in X}\) takich , że \(\displaystyle{ x<y,}\) istnieje element \(\displaystyle{ z\in X}\), taki, że \(\displaystyle{ x<z<y}\)( czyli, gdy pomiędzy dwoma elementami jest trzeci element pośredni). Typowym przykładem może być zbiór liczb wymiernych z naturalnym porządkiem.

Przypomnijmy twierdzenie, charakteryzację porządków ciągłych.

Zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest ciągły, gdy (jest uporządkowany w sposób gesty, i każdy niepusty podzbiór ograniczony od góry, i gdy każdy taki podzbiór ma supremum). Przykładem może być zbiór liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem.


Przejdźmy do naszych dowodów:

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym gęstym, a \(\displaystyle{ A\subset X}\) dowolnym przedziałem. Wykażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest uporządkowany w sposób gęsty przez \(\displaystyle{ \le _{A}}\), czyli przez porządek \(\displaystyle{ \le}\) zawężony do elementów \(\displaystyle{ A.}\)

Dowód:

Niech \(\displaystyle{ a,b\in A}\), będą takie, że \(\displaystyle{ a<_A b}\). Wtedy \(\displaystyle{ a \neq b}\). Mamy \(\displaystyle{ a,b\in A\subset X}\), więc \(\displaystyle{ a,b\in X}\). Ponieważ porządek \(\displaystyle{ \le}\) rozszerza porządek \(\displaystyle{ \le _{A}}\), więc \(\displaystyle{ a \le b}\) (i mamy \(\displaystyle{ a \neq b}\)), więc \(\displaystyle{ a<b}\). Mamy \(\displaystyle{ a,b\in X}\), a \(\displaystyle{ X}\) jest gęsty, więc otrzymujemy element pośredni \(\displaystyle{ c\in X}\), tzn. taki, że \(\displaystyle{ a<c<b.}\) (Wtedy \(\displaystyle{ a \neq c \neq b}\)). Ponieważ \(\displaystyle{ A\ni a<c<b\in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ c\in A.}\) Mamy \(\displaystyle{ a<c}\), \(\displaystyle{ a,c\in A}\), więc \(\displaystyle{ a<_A c.}\) Mamy \(\displaystyle{ c<_A b}\) i \(\displaystyle{ c,b\in A}\), więc \(\displaystyle{ c<_A b}\). A zatem \(\displaystyle{ a<_A c<_A b}\). Oznacza to, że element \(\displaystyle{ c\in A}\) jest elementem pośrednim względem \(\displaystyle{ \le_A}\). Wobec dowolności wyboru \(\displaystyle{ a,b\in A}\), zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest uporządkowany w sposób gęsty.\(\displaystyle{ \square}\)

Wykażemy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym ciągłym, a zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest przedziałem, to zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ (A, \le _A = \le _{|A})}\) jest ciągły.

Dowód:

Ponieważ \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym ciągłym, a więc i gęstym, a zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest przedziałem, więc na podstawie faktu udowodnionego powyżej otrzymujemy, że zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( A, \le _A \right) }\) jest gęsty.

Aby wykazać, że jest ciągły, pozostaje wykazać, że każdy niepusty podzbiór zbioru \(\displaystyle{ A}\) ograniczony od góry ma supremum. Niech zatem \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq B\subset A}\) będzie zbiorem ograniczonym od góry. Istnieje zatem ograniczenie górne \(\displaystyle{ c\in A}\) zbioru \(\displaystyle{ B}\) (względem \(\displaystyle{ \le _A}\)) . Wtedy \(\displaystyle{ c}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ B}\) względem \(\displaystyle{ \le}\) ( mamy \(\displaystyle{ c\in X}\), i jeśli \(\displaystyle{ b\in B}\), ponieważ \(\displaystyle{ c}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ B}\) względem \(\displaystyle{ \le _A}\), więc \(\displaystyle{ b\le _A c}\), ponieważ porządek \(\displaystyle{ \le}\) rozszerza porządek \(\displaystyle{ \le _A}\) , więc \(\displaystyle{ b \le c}\), i \(\displaystyle{ c}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ B}\) względem \(\displaystyle{ \le .}\)) Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq B}\) jest niepustym zbiorem ograniczonym od góry, względem \(\displaystyle{ \le}\) , i \(\displaystyle{ B\subset X}\), a \(\displaystyle{ X}\) jest uporządkowany w sposób ciągły, więc zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma supremum \(\displaystyle{ a:= \bigvee\limits_{(X, \le) } B.}\) To jeszcze nie koniec dowodu, bo chcemy znaleźć supremum zbioru \(\displaystyle{ B}\), względem \(\displaystyle{ \left( A,\le _A\right) }\), a nie względem \(\displaystyle{ (X, \le )}\). Wykażemy zatem teraz, że: \(\displaystyle{ \bigvee\limits_{(X, \le) } B=a\in A. }\)

Niech \(\displaystyle{ b\in B \neq \left\{ \right\} .}\) Wykażemy teraz, że \(\displaystyle{ b \le a \le c}\) (gdzie \(\displaystyle{ c}\) jest, przypominam, ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ B}\)).

Ponieważ \(\displaystyle{ a=\bigvee\limits_{(X, \le )} B}\), to \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ B}\), mamy \(\displaystyle{ b\in B}\), więc \(\displaystyle{ b \le a. }\)
Mamy, że \(\displaystyle{ c}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ B}\), względem \(\displaystyle{ \le}\), a element \(\displaystyle{ a}\) , jako supremum zbioru \(\displaystyle{ B}\), jest najmniejszym ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ B}\) względem \(\displaystyle{ \le}\), więc \(\displaystyle{ a \le c}\). A zatem:

\(\displaystyle{ A\ni b \le a \le c\in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ a\in A}\), czyli \(\displaystyle{ \bigvee _{(X, \le )} B\in A}\) , zatem na mocy wspomnianego faktu- Lematu 0, otrzymujemy, że : \(\displaystyle{ a=\bigvee\limits_{(X, \le )} B= \bigvee\limits_{(A, \le_A )} B}\), co należało pokazać. A więc, zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( A, \le _A\right)}\) jest ciągły\(\displaystyle{ .\square}\) :D

Podobny fakt mamy dla zbiorów dobrze uporządkowanych, tzn.:

Jeśli \(\displaystyle{ (X, \le )}\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym , a zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest przedziałem, to \(\displaystyle{ (A, \le _{|A}= \le _A )}\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym.

Nie trzeba się nad tym rozczulać, gdyż mamy fakt, ze każdy podzbiór zbioru dobrze uporządkowanego jest dobrze uporządkowany, a przedział \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest podzbiorem zbioru dobrze uporządkowanego \(\displaystyle{ X}\), wystarczy zatem zastosować ten fakt.

Udowodniłem też przedwczoraj, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą rzeczywistą większą lub równą od \(\displaystyle{ 0}\), to liczbę \(\displaystyle{ x}\) można jednoznacznie przedstawić w postaci \(\displaystyle{ x=n+a}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną, a \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą z przedziału \(\displaystyle{ \ \left[0,1 \right).}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:    
Udowodniłem też przedwczoraj, że jeśli \(\displaystyle{ x\in\RR}\) jest liczbą rzeczywistą mniejszą lub równą od zera tym razem, to liczbę \(\displaystyle{ x}\) można jednoznacznie przedstawić w postaci \(\displaystyle{ x=n-a}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest elementem zbioru liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem, a \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right).}\)
PROSTY DOWÓD:    
:lol: 8-)
ODPOWIEDZ