Sigma ciało zbiorów - pytanie

[Milczek]

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciałem (\(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą jak kto woli) zbiorów zbioru \(\displaystyle{ Y}\).

Niech \(\displaystyle{ X \in A}\).
Pytanie, czy da się \(\displaystyle{ X}\) przedstawić jako suma mnogościowa przeliczalnej liczby zbiorów parami rozłącznych \(\displaystyle{ X_{i} \in A}\), czyli \(\displaystyle{ X = \bigcup_{i = 1}^{\infty}X_{i} }\)?

Intuicyjnie wydaje się że tak - \(\displaystyle{ \sigma-ciała}\) są mocno elastyczne w kwestii tego co ze zbiorami w nich można robić.

Mój pomysł jest taki że możemy brać zawsze części wspólne wszystkich zbiorów \(\displaystyle{ X_{i}}\) i odejmować je potem od każdego \(\displaystyle{ X_{i}}\) i zrobić że ta cześć wspólna to jakieś \(\displaystyle{ D}\) i te wszystkie zbiory (różnice \(\displaystyle{ X_{i}-D}\) oraz \(\displaystyle{ D}\)) należą do \(\displaystyle{ \sigma-ciała}\) więc i możemy je zsumować uzyskując \(\displaystyle{ X}\). Tylko nie do końca jestem przekonany do tego argumentu bowiem mamy przeliczalną sumę a więc i ilośc zbiorów co może troche komplikować proces pozbywania się części wspólnej zbiorów....

[Janusz Tracz]

Niech \(\displaystyle{ X \in A}\).
Pytanie, czy da się \(\displaystyle{ X}\) przedstawić jako suma mnogościowa przeliczalnej liczby zbiorów parami rozłącznych \(\displaystyle{ X_{i} \in A}\), czyli \(\displaystyle{ X = \bigcup_{i = 1}^{\infty}X_{i} }\)?

Da się bo

\(\displaystyle{ X=X \cup \varnothing \cup \varnothing \cup \varnothing \, \cup \, \dots }\)

• Zbiór \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ \varnothing}\) są elementami \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała,

• są to zbiory rozłączne bo \(\displaystyle{ X \cap \varnothing=\varnothing}\) oraz \(\displaystyle{ \varnothing \cap \varnothing=\varnothing}\).

A jeśli chcesz aby zbiory \(\displaystyle{ X_i}\) były parami różne to się nie da. Bo dla dowolnego \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ A}\) mamy, że \(\displaystyle{ \varnothing\in A}\), a nie da się zbioru pustego zapisać jako przeliczalnej sumy różnych zbiorów.

PS to jest bardziej teorio miarowe pytanie aniżeli mnogościowe.

[matmatmm]

A jeśli chcesz aby zbiory \(\displaystyle{ X_i}\) były parami różne to się nie da. Bo dla dowolnego \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ A}\) mamy, że \(\displaystyle{ \varnothing\in A}\), a nie da się zbioru pustego zapisać jako przeliczalnej sumy różnych zbiorów.

To chyba za dużo powiedziane. Czasami się da, czasami się nie da. Dla przykładu gdy \(\displaystyle{ Y=\NN, A=2^{\NN}}\), to każdy zbiór nieskończony \(\displaystyle{ X\subset\NN}\) da się przedstawić tak jak chcemy (czyli tak, że zbiory sumowane są różne).