Kod: Zaznacz cały
https://mathforums.com/threads/generating-infinite-sequence-of-0-and-1.359786/#post-654651Proszę o opinię na ten temat.
Dodano po 2 dniach 4 godzinach 5 minutach 43 sekundach:
Może spróbuje napisać to co mam na myśli po polsku, z doniesieniami do literatury i strony (pewnie będzie kilka postów jeden pod drugim.... proszę moderatorów o wyrozumiałość)
1. Mamy dany zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{N_{0}}=\{0,1,2,3,4,...\}}\) (z aksjomatu nieskończoności Guzicki, Zakrzewski "Wykłady ze wstępu do matematyki" s. 335-336)
2. Z aksjomatu wyróżniania (jw, s330-333) mamy dane:
\(\displaystyle{ \mathbb{N}=\{1,2,3,4,...\}}\)
\(\displaystyle{ Y=\{0,1\}}\)
3. Mamy dany zbiór wszystkich funkcji (ciągów) \(\displaystyle{ F=Y^\mathbb{N}}\) (Rasiowa "Wstęp do matematyki współczesnej" s. 40-43)
4 Zbiór \(\displaystyle{ F}\) jest nieskończony, dowód istnieje funkcja \(\displaystyle{ \lambda : \mathbb{N} \to F}\):
\(\displaystyle{ 1 \to (1,0,0,0,...)}\)
\(\displaystyle{ 2 \to (0,1,0,0,...)}\)
\(\displaystyle{ 3 \to (0,0,1,0,...)}\)
itd...
funkcja \(\displaystyle{ \lambda}\) nie jest bijekcją np. ciąg \(\displaystyle{ (1,1,0,0,0,...)}\) nie należy do przeciwdziedziny tej funkcji
5. Elementy zbioru \(\displaystyle{ F}\) będziemy oznaczać przez \(\displaystyle{ (a_{n}),(b_{n}),(c_{n}),...}\) n-ty element ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})}\) będziemy oznaczać przez \(\displaystyle{ a_{n}}\)
6. Mamy daną funkcję inwersji bitowej \(\displaystyle{ I : F \to F}\)
\(\displaystyle{ I((a_{n}))=(b_{n})}\) gdzie:
\(\displaystyle{ b_{n}=\begin{cases} 0 &\text{dla } a_{n} = 1\\1 &\text{dla } a_{n}=0\end{cases}}\) (definicja pochodzi od użytkownika Azzajazz z
Kod: Zaznacz cały
https://mathforums.com/Dodano po 19 godzinach 45 minutach 27 sekundach:
7. Z aksjomatu zbioru potęgowego (Guzicki, Zakrzewski "Wykłady ze wstępu do matematyki" s.334-33) mamy \(\displaystyle{ P(F)}\)
8. Mamy dany zbiór \(\displaystyle{ T=\{t \in P(F) : |t|=\aleph_{0}\}}\)
9. Dla ustalonego \(\displaystyle{ T_{0} \in T}\) tworzymy zbiór \(\displaystyle{ \Gamma_{0}}\) wszystkich bijekcji \(\displaystyle{ \gamma : \mathbb{N} \xrightarrow{1-1} T_{0}}\)
10. Dla różnych \(\displaystyle{ T_{0},T_{1},T_{2},... \in T}\) tworzymy odpowiednie zbiory \(\displaystyle{ \Gamma_{0},\Gamma_{1},\Gamma_{2},...}\)
11. Z aksjomatu sumy (Guzicki, Zakrzewski "Wykłady ze wstępu do matematyki" s. 334) tworzymy zbiór \(\displaystyle{ \Gamma = \Gamma_{0} \cup \Gamma_{1} \cup \Gamma_{2} \cup ...}\)
12. Tworzymy funkcję \(\displaystyle{ c : \Gamma \to F}\)
\(\displaystyle{ c(\gamma_{n})=(c_{n})}\)
\(\displaystyle{ c_{1}}\) jest równe pierwszemu elementowi \(\displaystyle{ \gamma_{n}(1)}\)
\(\displaystyle{ c_{2}}\) jest równe drugiemu elementowi \(\displaystyle{ \gamma_{n}(2)}\)
\(\displaystyle{ c_{3}}\) jest równe trzeciemu elementowi \(\displaystyle{ \gamma_{n}(3)}\)
... (analogicznie do metody przekątniowej Cantora)
Dodano po 23 godzinach 38 minutach 10 sekundach:
13. Mamy dany zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{Z}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}}\) (Guzicki, Zakrzewski "Wykłady ze wstępu do matematyki" s.206-208)
14. Mamy dany zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{Z_{0}}=\{...,-3,-2,-1,1,2,3,...\}}\) (z aksjomatu podzbiorów)
15. Wprowadzamy porządek w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{Z_{0}}}\) tj. tworzymy parę uporządkowaną \(\displaystyle{ [\mathbb{Z_{0}},<]}\) porządek jest taki:
\(\displaystyle{ 1<2<3,...<-3<-2<-1}\) (Opial "Algebra wyższa" s.13-14)
16. Dla pewnego ustalonego \(\displaystyle{ G_{0} \in T}\) i ustalonej bijekcji \(\displaystyle{ \gamma_{0} : \mathbb{N} \xrightarrow{1-1} G_{0}}\) oraz dla każdej liczby \(\displaystyle{ n}\) z zbioru uporządkowanego podanego wyżej tworzymy zbiór \(\displaystyle{ C_{n}}\) gdzie:
elementy zbioru \(\displaystyle{ C_{1}}\) powstają po kolei przez inwersję \(\displaystyle{ \gamma_{0}(1)}\) , \(\displaystyle{ \gamma_{0}(2)}\) , \(\displaystyle{ \gamma_{0}(3)}\) itd
elementy zbioru \(\displaystyle{ C_{2}}\) powstają przez inwersję wszystkich możliwych kombinacji par różnych elementów \(\displaystyle{ \gamma_{0}}\)
elementy zbioru \(\displaystyle{ C_{3}}\) powstają przez inwersję wszystkich możliwych kombinacji trójek różnych elementów \(\displaystyle{ \gamma_{0}}\)
itd...
elementy zbioru \(\displaystyle{ C_{-3}}\) powstają przez inwersję wszystkich elementów \(\displaystyle{ \gamma_{0}}\) a następnie przez inwersję wszystkich możliwych kombinacji trójek różnych elementów \(\displaystyle{ \gamma_{0}}\)
elementy zbioru \(\displaystyle{ C_{-2}}\) powstają przez inwersję wszystkich elementów \(\displaystyle{ \gamma_{0}}\) a następnie przez inwersję wszystkich możliwych kombinacji par różnych elementów \(\displaystyle{ \gamma_{0}}\)
elementy zbioru \(\displaystyle{ C_{-1}}\) powstają przez inwersję wszystkich elementów \(\displaystyle{ \gamma_{0}}\) a następnie przez inwersję wszystkich możliwych kombinacji różnych elementów \(\displaystyle{ \gamma_{0}}\)
zgodnie z Losowanie dla zbiorów nieskończonych moc każdego z tych zbiorów jest równa \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\)
17. Tworzymy zbiór \(\displaystyle{ C = C_{1} \cup C_{2} \cup C_{3} \cup ... \cup C_{-3} \cup C_{-2} \cup C_{-1}}\) (możliwe dzięki aksjomatowi sumy)
18.\(\displaystyle{ |C|= \aleph_{0}}\) moc sumy przeliczalnej liczby przeliczalnych zbiorów jest równa \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\) (Opial "Algebra wyższa" s. 8)
19. Mamy dany zbiór \(\displaystyle{ \{c(\gamma_x) : \gamma_{x} \in C \}}\)
20. Jak udowodnić że zbiór \(\displaystyle{ \{c(\gamma_x) : \gamma_{x} \in C \}}\) jest różny od \(\displaystyle{ F}\)?
