Działania na zbiorach

[ann_u]

Mając dane trzy zbiory \(\displaystyle{ A,B\subset C}\), rozwiąż równanie na zbiorach \(\displaystyle{ (X\cup (C\setminus A))\cap ((C\setminus X)\cup A)=B. }\)

[Jan Kraszewski]

Zastosuj najpierw do lewej strony rozdzielność przekroju względem sumy.

JK

[Jakub Gurak]

Zastosuj najpierw do lewej strony rozdzielność przekroju względem sumy.

JK

Niby jak?? Nie widać jednego, tego samego, powtarzającego się zbioru. Niby jak??

[Jan Kraszewski]

Niby jak?? Nie widać jednego, tego samego, powtarzającego się zbioru. Niby jak??

Normalnie. Nie uczyłeś się, że \(\displaystyle{ (a+b)\cdot(c+d)=ac+ad+bc+bd}\) ? Formalnie oczywiście stosujesz to prawo trzykrotnie, ale to bardzo elementarne przekształcenie.

JK

[ann_u]

\(\displaystyle{ X \cap (C \setminus X) \cup X \cap C \cup (C \setminus A) \cup (C \setminus X) \cap (C \setminus A) }\)
Ciekawi mnie czy da się to zrobić dal dowolnych \(\displaystyle{ A,B \subset C}\), czy trzeba jakieś przypadki rozpatrywać.

[a4karo]

Sprawdź jeszcze raz to, co napisałaś

[ann_u]

Juz chyba mam \(\displaystyle{ X=(A\cap B)\cup (A^c\cap B^c)}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ X \cap (C \setminus X) \cup X \cap C \cup (C \setminus A) \cup (C \setminus X) \cap (C \setminus A) }\)

Zarówno zapis, jak i wynik są niepoprawne. Spróbuj jeszcze raz.

JK

[ann_u]

To niestety nie wiem

[Jan Kraszewski]

Po pierwsze - używaj nawiasów. Działania sumy i przekroju mają równy priorytet (inaczej niż działania algebraiczne), więc kolejność działań zaznaczamy używając nawiasów.

Po drugie - to co napisałaś, nie jest poprawnym zastosowaniem prawa rozdzielności. Popatrz jeszcze raz na

\(\displaystyle{ (a+b)\cdot(c+d)=ac+ad+bc+bd}\)

i pamiętaj o nawiasach!

JK

[Jakub Gurak]

To pomogę trochę.

\(\displaystyle{ B=(X\cup (C\setminus A))\cap ((C\setminus X)\cup A)=\left[ X \cap \left( (C \setminus X) \cup A\right)\right] \cup \left[ \left( C \setminus A\right) \cap \left( \left( C \setminus X\right) \cup A \right) \right]=\\=\left( X \cap \left( C \setminus X\right) \right) \cup \left( X \cap A\right) \cup \left(\left( C \setminus A\right) \cap \left( C \setminus X\right) \right) \cup \left( \left( C \setminus A\right) \cap A \right) =\emptyset \cup \left( X \cap A\right) \cup \left( C \setminus \left( A \cup X\right) \right) \cup \emptyset = \left( X \cap A\right) \cup \left( C \setminus \left( A \cup X\right) \right). }\)

Rozważ teraz dwa przypadki:

1) zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) mają co najmniej jeden wspólny element;

2) zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) nie mają wspólnych elementów, czyli gdy są rozłączne.

Zrób starannie rysunek, i zastanów się jaki musi być zbiór \(\displaystyle{ X}\), aby to wyrażenie oznaczało zawsze zbiór równy zbiorowi \(\displaystyle{ B}\)- rozważ to oddzielnie w tych dwóch przypadkach, użyj działań mnogościowych na zbiorach. Trzeba tu trochę pokombinować, a tak naprawdę odrobinę pomyśleć, co już zostawię Tobie.