Zbiory punktów nieciągłości dla monotonicznej funkcji rzeczywistej

[Jakub Gurak]

Udało mi się ostatnio ukończyć zadanie, polegające na wykazaniu, że każda funkcja niemalejąca \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) ma co najwyżej przeliczalny zbiór punktów nieciągłości, (tzn. takich punktów, w których nie jest ciągła), oraz podobny symetryczny fakt, że funkcja nierosnąca może nieć tylko co najwyżej przeliczalnie wiele punktów nieciągłości. Udało się też dokładnie podać przykład funkcji silnie rosnącej mającej dokładnie przeliczalnie wiele punktów nieciągłości, podobnie dla funkcji silnie malejącej. Podałem też przykład funkcji \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\), dla której każdy punkt jest punktem nieciągłości. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.

Uzasadnijmy najpierw ostatnie (i to będzie wprowadzające w temat, i w dodatku proste):

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\), daną jako:

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0,\ \ \hbox{ dla liczb wymiernych } x ;\\ 1, \hbox { dla liczb niewymiernych.}\end{cases} }\)

Jeśli \(\displaystyle{ x_0\in\RR}\), to \(\displaystyle{ x_0}\) jest punktem nieciągłości, gdyż granica \(\displaystyle{ \lim_{x \to x_0} f(x)}\) nie istnieje, (gdyż ta funkcja 'skacze' z \(\displaystyle{ 0}\) na \(\displaystyle{ 1}\) przechodząc z liczb wymiernych na niewymierne), a więc \(\displaystyle{ x_0}\) jest punktem nieciągłości, i dla tej funkcji każdy punkt jest punktem nieciągłości.

Łatwo podać przykłady funkcji silnie rosnącej nie mającej punktów nieciągłości (a więc ciągłej), np. funkcja liniowa \(\displaystyle{ f(x)= x}\), jak również przykłady funkcji silnie rosnących mających kolejno \(\displaystyle{ 1,2,\ldots}\) punktów nieciągłości. Ale wtedy to, jest to skończona ilość punktów nieciągłości. Podamy teraz przykład funkcji silnie rosnącej mającej przeliczalnie wiele nieskończenie wiele punktów nieciągłości.

Tą funkcję określamy jako funkcję \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR,}\) daną jako :

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} x,\hbox { dla } x \le 0; \\ x+\left[ x\right], \hbox{ dla } x>0 . \end{cases} }\)

Gdzie dla \(\displaystyle{ x\in\RR _{+},}\) przez \(\displaystyle{ \left[ x\right]}\) oznaczamy największą liczbę naturalną silnie mniejszą od \(\displaystyle{ x.}\) Oto jej wykres.

Wykażemy, że ta funkcja jest silnie rosnąca.

Niech \(\displaystyle{ x,y\in\RR_+}\), będą takie, że \(\displaystyle{ x<y.}\) Wtedy \(\displaystyle{ x+[x]<y+\left[ x\right].}\) Ponieważ \(\displaystyle{ x<y}\), to \(\displaystyle{ \mathop {O}_{\NN} (x)=\left\{n\in\NN : n<x \right\} \subset \mathop {O}_{\NN} (y)= \left\{ n\in\NN: \ n<y\right\} }\), i dalej, gdyż ogólnie

Ukryta treść:    

W zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ (X, \le)}\) jeśli zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) ma element największy \(\displaystyle{ a}\), a \(\displaystyle{ B\subset X}\) jest nadzbiorem zbioru \(\displaystyle{ A}\) mającym element największy \(\displaystyle{ b}\), to \(\displaystyle{ b \ge a.}\) Innymi słowy w nadzbiorze element największy może się tylko zwiększyć, nie może się zmniejszyć. Podobny fakt zachodzi dla elementów najmniejszych, w zbiorze liniowo uporządkowanym, jeśli podzbiór tego zbioru ma element najmniejszy, to ten element najmniejszy w innym nadzbiorze może się tylko zmniejszyć, nie może się zwiększyć.

Bardzo prosty dowód pierwszego faktu:

Element największy \(\displaystyle{ A}\) należy do \(\displaystyle{ A}\)- \(\displaystyle{ a\in A}\), ponieważ \(\displaystyle{ A\subset B}\), to \(\displaystyle{ a\in B}\), ponieważ \(\displaystyle{ b}\) jest największy w \(\displaystyle{ B}\), to \(\displaystyle{ b \ge a. \square }\)

Mamy \(\displaystyle{ O(x)\subset O(y)}\), więc na mocy faktu powyżej, dla elementów największych \(\displaystyle{ [x]=\mathop {max}_{\NN} O(x)\le \mathop {max}_{\NN} O(y)=\left[ y\right] }\), więc \(\displaystyle{ \left[ x\right] \le \left[ y\right] }\), a więc \(\displaystyle{ f(x)=x+\left[ x\right] <y+[y]= f(y)}\), a więc \(\displaystyle{ f(x)<f(y).}\) \(\displaystyle{ }\)

Jeśli \(\displaystyle{ x,y \le 0}\), i \(\displaystyle{ x<y,}\) to oczywiście \(\displaystyle{ f(x)<f(y).}\)

A jeśli \(\displaystyle{ x \le 0}\), to \(\displaystyle{ f(x) \le 0}\), a jeśli \(\displaystyle{ y>0}\), to \(\displaystyle{ f(y)>0}\), więc \(\displaystyle{ f(y)>f(x).}\)

Możemy zatem wnioskować z tego wszystkiego, ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest silnie rosnąca w \(\displaystyle{ \RR_+}\), ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest silnie rosnąca w \(\displaystyle{ \RR_- \cup \left\{ 0\right\} }\), i w \(\displaystyle{ \RR_- \cup \left\{ 0\right\}}\) przyjmuje zawsze wartości silnie mniejsze niż w \(\displaystyle{ \RR_+}\), więc możemy stąd wnioskować, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest silnie rosnąca.

Wykażemy teraz, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in\NN_+}\) mamy, że \(\displaystyle{ n}\) jest punktem nieciągłości funkcji \(\displaystyle{ f.}\) Gdyż \(\displaystyle{ \lim_{ x\to n_- } f(x)\stackrel {n>0}{=} \lim_{ x\to n_-}\left( x+\left[ x\right] \right) =n+[n]= n+(n-1)=2n-1}\), podczas gdy

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to n_+} f(x)= n+\left[ n\right] ^{+}= n+n=2n \neq 2n-1.}\)

Wobec czego nie istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{ x\to n} f(x)}\), i \(\displaystyle{ n}\) jest punktem nieciągłości funkcji \(\displaystyle{ f.}\)

Wykażemy teraz, że każda funkcja niemalejąca ma co najwyżej przeliczalny zbiór punktów nieciągłości, tzn.

Jeśli \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) jest funkcją niemalejącą, a \(\displaystyle{ S=\left\{ x\in\RR: \ f \hbox{ nie jest ciągła w punkcie } x\right\}}\) jest zbiorem punktów nieciągłości, to zbiór \(\displaystyle{ S}\) jest co najwyżej przeliczalny.


Dowód:

Niech \(\displaystyle{ a\in S}\), będzie punktem nieciągłości. Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest niemalejąca, więc istnieje granica dolna \(\displaystyle{ \lim_{ x\to a ^{-} }=:a_-}\), oraz (z tego samego powodu) istnieje granica górna \(\displaystyle{ \lim_{ x\to a^+} f(x)=:a_+.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ a}\) jest punktem nieciągłości, więc \(\displaystyle{ a_- \neq a_+}\)( gdyby byłoby \(\displaystyle{ a_-=a_+}\), to jest to równe granicy \(\displaystyle{ \lim_{ x\to a} f(x)}\), więc z nieciągłości otrzymujemy, że \(\displaystyle{ f(a) \neq \lim_{ x\to a} f(x)=a_-=a_+;}\) ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest niemalejąca, to \(\displaystyle{ f(a)>a_-}\), a więc również \(\displaystyle{ f(a)>a_+}\), co nie może mieć miejsca dla funkcji niemalejącej- sprzeczność).

Wobec czego \(\displaystyle{ a_- \neq a_+}\), a więc \(\displaystyle{ a_-<a_+}\) lub \(\displaystyle{ a_->a_+.}\)

Nie może być \(\displaystyle{ a_->a_+}\), gdyż wtedy wartości funkcji musiałyby się zmniejszyć (polecam zrobić sobie prosty rysunek)- sprzeczność. A zatem \(\displaystyle{ a_- <a_+}\), i ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest niemalejąca, to \(\displaystyle{ a_- \le f(a) \le a_+}\).

I teraz rozważmy funkcję \(\displaystyle{ g:S \rightarrow P(\RR)}\) która punktowi nieciągłości \(\displaystyle{ a\in S}\) przypisuje przedział otwarty \(\displaystyle{ (a_-,a_+).}\) Zauważmy, że jest to zbiór niepusty.

Wykażemy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ a,b\in S}\), oraz \(\displaystyle{ a<b}\), to przedział \(\displaystyle{ (a_-,a_+)}\) poprzedza przedział \(\displaystyle{ (b_-,b_+)}\), tzn. każdy element zbioru \(\displaystyle{ (a_-,a_+)}\) jest silnie mniejszy od każdego elementu zbioru \(\displaystyle{ (b_-,b_+).}\)

Niech \(\displaystyle{ x\in (a_-, a_+)}\); niech \(\displaystyle{ y\in (b_-,b_+)}\), pokażemy, że \(\displaystyle{ x<y.}\)

Zauważmy, że ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest niemalejąca, to nie może być \(\displaystyle{ a_+>b_-}\), gdyż wtedy wartości funkcji musiałyby się zmniejszyć- sprzeczność; wobec czego musi być \(\displaystyle{ a_+ \le b_-.}\)

A zatem \(\displaystyle{ x<a_+ \le b_- <y}\), a więc \(\displaystyle{ x<y}\), i przedział \(\displaystyle{ (a_-,a_+)}\) poprzedza przedział \(\displaystyle{ (b_-,b_+).}\)

Wykażemy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ a,b\in S}\), oraz \(\displaystyle{ a \neq b}\), to przypisane im przedziały \(\displaystyle{ \left( a_-,a_+\right)}\); oraz \(\displaystyle{ (b_-,b_+)}\) są rozłączne.

Przypuśćmy nie wprost, że nie są rozłączne. Niech \(\displaystyle{ x\in \left( a_-, a_+\right) \cap \left( b_-,b_+\right) \neq \left\{ \right\} . }\)
Ponieważ \(\displaystyle{ a \neq b}\), to \(\displaystyle{ a<b}\) lub \(\displaystyle{ b<a.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ a<b}\), to na mocy poprzednio udowodnionego faktu otrzymujemy, że przedział \(\displaystyle{ (a_-, a_+)}\) poprzedza przedział \(\displaystyle{ (b_-,b_+).}\) Ponieważ \(\displaystyle{ x\in (a_-,a_+)}\) oraz \(\displaystyle{ x\in (b_-,b_+)}\), i ponieważ każdy element zbioru \(\displaystyle{ (a_-,a_+)}\) jest silnie mniejszy od każdego elementu zbioru \(\displaystyle{ (b_-, b_+),}\) więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x<x}\)- sprzeczność.

W przypadku \(\displaystyle{ b<a}\), to w sposób analogiczny, w sposób symetryczny, otrzymujemy sprzeczność. Wobec czego przedziały te muszą być rozłączne.

Skoro wartościami funkcji są niepuste przedziały otwarte i rozłączne, to może ich być tylko co najwyżej przeliczalnie wiele (słynny, ciekawy fakt). A zatem zbiór wartości \(\displaystyle{ g_P}\) funkcji \(\displaystyle{ g}\) jest co najwyżej przeliczalny.

Zauważmy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ a,b\in S}\), i \(\displaystyle{ a \neq b}\), to zbiory \(\displaystyle{ g(a)=\left( a_-,a_+\right) ; g(b)=\left( b_-,b_+\right)}\) już wiemy, że są rozłączne (i niepuste), a zatem różne, czyli \(\displaystyle{ g(a) \neq g(b).}\) Zatem funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest różnowartościowa. A zatem \(\displaystyle{ g:S \mathop{\stackrel {1-1}{\rightarrow}}_ {NA} g_P}\) jest bijekcją. A zatem zbiór \(\displaystyle{ S}\) jest równoliczny z \(\displaystyle{ g_P}\), który to zbiór jest co najwyżej przeliczalny. A zatem, to oznacza, że również zbiór \(\displaystyle{ S}\) jest co najwyżej przeliczalny \(\displaystyle{ .\square}\)


Wykażemy teraz podobne fakty dla funkcji nierosnących i silnie malejących. W tym celu podajmy najpierw lemat:

Lemat 1. Jeśli mamy funkcje \(\displaystyle{ f_0:\RR \rightarrow \RR}\), oraz liczbę \(\displaystyle{ x_0\in\RR}\), to \(\displaystyle{ f_0}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ x_0}\), wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja \(\displaystyle{ g_0:\RR \rightarrow \RR,}\) dana jako: \(\displaystyle{ g_0(x)= -f_0(x)}\), gdy taka funkcja \(\displaystyle{ g_0}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ x_0.}\)

Dowód lematu:    

Pokażmy najpierw implikację ze strony lewej do prawej.

Jeśli \(\displaystyle{ f_0}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ x_0}\), to istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{ x\to x_0} f_0(x)=f_0(x_0).}\) Możemy zatem wyznaczyć granicę: \(\displaystyle{ \lim_{ x\to x_0} g_0(x)= \lim_{ x\to x_0} \left( -f_0 (x)\right) =- \lim_{ x\to x_0} f_0(x)= -f_0(x_0)=g_0(x_0).}\) A zatem funkcja \(\displaystyle{ g_0}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ x_0}\).

Aby pokazać implikację w drugą stronę, załóżmy, że dla funkcji \(\displaystyle{ f_0:\RR \rightarrow \RR}\), i dla \(\displaystyle{ x_0\in\RR,}\) funkcja \(\displaystyle{ g_0:\RR \rightarrow \RR,}\) dana jako:

\(\displaystyle{ g_0(x)=-f_0(x),}\)

jest ciągła w \(\displaystyle{ x_0}\), i pokażmy, że funkcja \(\displaystyle{ f_0}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ x_0.}\)

W dowodzie skorzystamy z udowodnionej powyżej implikacji.

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ h_0:\RR \rightarrow \RR,}\) daną jako: \(\displaystyle{ h_0(x)=-g_0(x).}\)

Na mocy implikacji powyżej taka funkcja jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ x_0.}\) Wykażemy, że \(\displaystyle{ h_0=f_0}\). To jednak jest proste, gdyż dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in\RR}\), mamy \(\displaystyle{ h_0(x)=-\left( -f_0(x)\right)= f_0(x).}\) A więc \(\displaystyle{ h_0=f_0}\). Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ h_0}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ x_0}\), więc to oznacza, że również funkcja \(\displaystyle{ f_0}\), jako ta sama funkcja, jest ciągła w \(\displaystyle{ x_0.\square}\)

Łatwo podać przykłady funkcji silnie malejącej ciągłej, jak również mającej dokładnie jeden, dwa,trzy ... punktów nieciągłości. Podamy teraz przykład funkcji silnie malejącej mającej przeliczalnie wiele punktów nieciągłości.

Dla podanej wcześniej funkcji \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR}\) silnie rosnącej, mającej przeliczalnie wiele punktów nieciągłości, rozważmy funkcję \(\displaystyle{ g:\RR \rightarrow \RR}\), daną jako:

\(\displaystyle{ g(x)=-f(x)= \begin{cases} -\left( x+[x]\ \right) , \hbox{ dla } x>0; \\ -x, \hbox{ dla }x \le 0.\end{cases} }\)

Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ x,y \in \RR, x<y}\), mamy \(\displaystyle{ f(y)>f(x)}\) (bo \(\displaystyle{ f}\) jest silnie rosnąca), a zatem \(\displaystyle{ g(y)=-f(y)<-f(x)=g(x)}\), a zatem \(\displaystyle{ g}\) jest silnie malejąca.

Niech \(\displaystyle{ B}\) będzie zbiorem punktów nieciągłości funkcji \(\displaystyle{ g}\). Wykażemy, że \(\displaystyle{ B=\NN_+.}\) W tym celu weźmy \(\displaystyle{ x\in\RR.}\) Wtedy:

\(\displaystyle{ x\in\NN_+ \Longleftrightarrow x \hbox{ punktem nieciągłości funkcji f} \stackrel { \textbf{ Lemat 1}} { \Longleftrightarrow } x \hbox{ punktem nieciągłosci funkcji } g \Longleftrightarrow x\in B.}\)

A zatem \(\displaystyle{ B=\NN_+}\), a więc zbiór punktów nieciągłości funkcji \(\displaystyle{ g}\) jest przeliczalny.

Wykażemy na koniec, że jeśli funkcja \(\displaystyle{ g:\RR \rightarrow \RR}\) jest nierosnąca, a \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem punktów nieciągłości tej funkcji, to zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest co najwyżej przeliczalny.

Dowód:

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR,}\) daną jako: \(\displaystyle{ f(x)=-g(x).}\) Wykażemy, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją niemalejącą.

Niech \(\displaystyle{ x<y}\). Ponieważ \(\displaystyle{ g}\) jest nierosnąca, więc \(\displaystyle{ g(y) \le g(x)}\), a zatem \(\displaystyle{ f(x)=-g(x) \le -g(y)=f(y)}\), a zatem \(\displaystyle{ f}\) jest niemalejąca.

A zatem, na mocy jednego z udowodnionych faktów powyżej, zbiór \(\displaystyle{ S_f}\) punktów nieciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\), jest co najwyżej przeliczalny. Wykażemy teraz, że \(\displaystyle{ B_g=S_f}\). To jednak łatwo udowodnić przejściami równoważnymi na mocy lematu 1, a zatem \(\displaystyle{ B_g=S_f}\). Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ S_f}\) jest co najwyżej przeliczalny, więc również zbiór \(\displaystyle{ B_g}\) jest co najwyżej przeliczalny \(\displaystyle{ .\square}\)