Losowanie dla zbiorów nieskończonych

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
MichalMozejko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 18 cze 2021, o 10:43
Płeć: Mężczyzna
wiek: 36

Losowanie dla zbiorów nieskończonych

Post autor: MichalMozejko »

Mam pytaniy:
Mamy dany dowolny zbiór o mocy \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\)

Losujemy z niego zero elementów - istnieje tylko jedna możliwość zbiór pusty \(\displaystyle{ \emptyset}\) czyli:
\(\displaystyle{ {\aleph_{0}\choose 0}=1}\) - czy to ma sens matematyczny?

Losujemy z niego jeden element - mamy \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\) możliwości, czyli
\(\displaystyle{ {\aleph_{0}\choose 1}=\aleph_{0}}\) - czy to ma sens matematyczny?

Losujemy z niego dwa elementy, najpierw losujemy jeden (\(\displaystyle{ \aleph_{0}}\) możliwości), z pozostałych \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\) elementów także wybieramy jeden z \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\) elemntów, mamy przeliczalną sumę przeliczalnych elementów, czyli:
\(\displaystyle{ {\aleph_{0}\choose 2}=\aleph_{0}}\) - czy to ma sens matematyczny?

analogiczne rozumowania przeprowadzamy dla 3,4,5 itd elementów, ogólnie:
\(\displaystyle{ {\aleph_{0}\choose n}=\aleph_{0} ,\ n \in \mathbb{N}}\) - czy to ma sens matematyczny?

Sprawa komplikuje się gdy losujemy \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\) elementów np.: gdy z zbioru liczb naturalnych losujemy cały zbiór liczb naturalnych
to:
\(\displaystyle{ {\aleph_{0}\choose \aleph_{0}}=1}\) - czy to ma sens matematyczny?

Zasadnicze pytanie brzmi - czy:
\(\displaystyle{ {\aleph_{0}\choose \aleph_{0}}}\) może być większe od \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\)??
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Losowanie dla zbiorów nieskończonych

Post autor: Jan Kraszewski »

MichalMozejko pisze: 28 lip 2021, o 16:24 Mam pytaniy:
Mamy dany dowolny zbiór o mocy \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\)

Losujemy z niego zero elementów - istnieje tylko jedna możliwość zbiór pusty \(\displaystyle{ \emptyset}\) czyli:
\(\displaystyle{ {\aleph_{0}\choose 0}=1}\) - czy to ma sens matematyczny?

Losujemy z niego jeden element - mamy \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\) możliwości, czyli
\(\displaystyle{ {\aleph_{0}\choose 1}=\aleph_{0}}\) - czy to ma sens matematyczny?

Losujemy z niego dwa elementy, najpierw losujemy jeden (\(\displaystyle{ \aleph_{0}}\) możliwości), z pozostałych \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\) elementów także wybieramy jeden z \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\) elemntów, mamy przeliczalną sumę przeliczalnych elementów, czyli:
\(\displaystyle{ {\aleph_{0}\choose 2}=\aleph_{0}}\) - czy to ma sens matematyczny?

analogiczne rozumowania przeprowadzamy dla 3,4,5 itd elementów, ogólnie:
\(\displaystyle{ {\aleph_{0}\choose n}=\aleph_{0} ,\ n \in \mathbb{N}}\) - czy to ma sens matematyczny?
Sens matematyczny ma, ale nie używa się takich oznaczeń. "Losowanie" \(\displaystyle{ k}\) elementów (\(\displaystyle{ k\in\NN}\)) ze zbioru mocy \(\displaystyle{ \aleph_0}\) to po prostu pytanie o liczbę \(\displaystyle{ k}\)-elementowych podzbiorów tego zbioru, czyli o moc zbioru oznaczanego jako \(\displaystyle{ [\aleph_0]^k}\). I istotnie \(\displaystyle{ \left| \left[ \aleph_0\right]^k \right|= \begin{cases} 1&\text{gdy }k=0 \\ \aleph_0&\text{gdy }k\in\NN^+. \end{cases} }\)
MichalMozejko pisze: 28 lip 2021, o 16:24 Sprawa komplikuje się gdy losujemy \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\) elementów np.: gdy z zbioru liczb naturalnych losujemy cały zbiór liczb naturalnych
to:
\(\displaystyle{ {\aleph_{0}\choose \aleph_{0}}=1}\) - czy to ma sens matematyczny?
To nie ma sensu dlatego, że zbiór mocy \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\) ma continuum podzbiorów mocy \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\).

Jeżeli masz ustalony zbiór, z którego "losujesz", to nie możesz ustalać, co zostanie "wylosowane"... Przecież oczywistym jest, że jeśli "losujesz" cokolwiek z czegokolwiek i założysz wcześniej, jaki ma być wynik "losowania", to możesz osiągnąć go tylko na jeden sposób.
MichalMozejko pisze: 28 lip 2021, o 16:24 Zasadnicze pytanie brzmi - czy:
\(\displaystyle{ {\aleph_{0}\choose \aleph_{0}}}\) może być większe od \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\)??
Jeżeli \(\displaystyle{ {\aleph_{0}\choose \aleph_{0}}}\) zinterpretujemy jako moc zbioru nieskończonych podzbiorów zbioru mocy \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\), to \(\displaystyle{ {\aleph_{0}\choose \aleph_{0}}=\mathfrak c}\).

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Losowanie dla zbiorów nieskończonych

Post autor: Jakub Gurak »

\(\displaystyle{ \left| \left[ \aleph_0\right]^k \right|= \begin{cases} 1&\text{gdy }k=0 \\ \textbf{1}&\text{gdy }k\in\NN^+. \end{cases}}\)
JK
To chyba pomyłka??
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Losowanie dla zbiorów nieskończonych

Post autor: Jan Kraszewski »

Jakub Gurak pisze: 28 lip 2021, o 20:06 To chyba pomyłka??
Istotnie, typowy błąd "kopiuj-wklej".

Już poprawiłem.

JK
ODPOWIEDZ