Zbiór liczb całkowitych z naturalnym porządkiem

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Zbiór liczb całkowitych z naturalnym porządkiem

Post autor: Jakub Gurak »

W ostatnim tygodniu badałem zbiory liniowo uporządkowane typu zbioru liczb całkowitych ze zwykłym porządkiem. Zwłaszcza, jak wyglądają przedziały, też przedziały początkowe i reszty w takich zbiorach. Udowodniłem na przykład, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \ZZ}\) z naturalnym porządkiem, a \(\displaystyle{ A\subset X}\) niepustym i różnym od całego zbioru przedziałem początkowym, to \(\displaystyle{ A}\) jest postaci: \(\displaystyle{ A=\overline {O(x) }=\left\{ y\in X: \ y \le x \right\}}\) , gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\), oraz \(\displaystyle{ A=O(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\)( nie tym samym końcem, przesuniętym o jednostkę w prawo). Podobne zależności udowodniłem dla reszty, każda niepusta i różna od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\) reszta może być w obydwu postaciach reszty. Udowodniłem też, że każdy przedział \(\displaystyle{ A\subset X}\) nie będący przedziałem początkowym ani resztą może być w postaci niepustego przedziału domkniętego, jak i może być w postaci niepustego przedziału otwartego, jak i przedziału domknięto-otwartego , jak i przedziału otwarto-domkniętego. Tutaj jest pełna swoboda przechodzenia z jednej postaci przedziałów na inne, co było zresztą moją motywacją aby zbadać dokładniej takie zbiory. Zauważmy bowiem, że jeśli w zbiorze liczb całkowitych mamy przedział \(\displaystyle{ A:=\left[ a,b\right]=\left\{ x\in\ZZ: a \le x \le b\right\}}\) , gdzie \(\displaystyle{ a,b\in\ZZ}\), \(\displaystyle{ a \le b}\) , to \(\displaystyle{ A=\left( a-1, b+1\right) }\), jak i \(\displaystyle{ A=\left[ a,b+1\right) }\), jak i \(\displaystyle{ A=\left( a-1,b\right]. }\) Udało się to uogólnić na zbiory podobne do zbioru liczb całkowitych. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.

Zacznijmy od spostrzeżenia, że w zbiorze liczb całkowitych ze zwykłym porządkiem, każdy niepusty podzbiór \(\displaystyle{ \ZZ}\) ograniczony z góry ma element największy.

Dowód wynika z zasady minimum dla liczb naturalnych i zasady maksimum, (oraz faktu, że zbiór liczb całkowitych składa się ze zbioru liczb naturalnych wraz z zerem i zbioru liczb całkowitych ujemnych- liczb przeciwnych do liczb naturalnych dodatnich).

Dowód:

Niech \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset \ZZ}\) będzie niepustym zbiorem ograniczonym z góry. Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony z góry, zatem \(\displaystyle{ A}\) ma ograniczenie górne \(\displaystyle{ x\in \ZZ}\). Rozważmy teraz dwa przypadki:

jeśli \(\displaystyle{ A}\) przecina zbiór liczb naturalnych, tzn. \(\displaystyle{ A \cap \NN \neq \left\{ \right\}}\), to oczywiście \(\displaystyle{ A \cap \NN \subset \NN.}\) Ponieważ element \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ x \ge b}\), dla każdego \(\displaystyle{ b\in A}\), więc również \(\displaystyle{ x \ge b}\), dla każdego \(\displaystyle{ b\in A\cap \NN }\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ x\in\NN}\), w przeciwnym razie byłoby \(\displaystyle{ x\in\ZZ_-}\). Niech \(\displaystyle{ b\in A \cap \NN \neq \left\{ \right\} .}\) Zatem, na podstawie wyprowadzonej ogólnej nierówności \(\displaystyle{ x \ge b}\), ale wtedy \(\displaystyle{ b\in\NN }\), \(\displaystyle{ x\in\ZZ_-}\) i \(\displaystyle{ x}\) jest większe lub równe od \(\displaystyle{ b}\), co jest oczywistą sprzecznością. Zatem \(\displaystyle{ x\in\NN}\), i \(\displaystyle{ x}\) jest większe lub równe od każdego elementu \(\displaystyle{ A\cap \NN}\) . Zatem \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A \cap \NN.}\) Zatem niepusty zbiór \(\displaystyle{ A\cap\NN}\) jest ograniczony z góry. Zatem, na mocy zasady maksimum dla liczb naturalnych, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A \cap \NN}\) ma liczbę największą \(\displaystyle{ a\in A \cap \NN}\). wtedy również \(\displaystyle{ a}\) jest największy w \(\displaystyle{ A}\). Aby to pokazać, to: mamy \(\displaystyle{ a\in A.}\) Weźmy \(\displaystyle{ b\in A}\), i pokażmy, ze \(\displaystyle{ a \ge b}\). Jeśli \(\displaystyle{ b\in\NN}\), to \(\displaystyle{ b\in A\cap \NN}\), ponieważ \(\displaystyle{ a}\) jest największy w \(\displaystyle{ A \cap \NN}\), to \(\displaystyle{ a \ge b. }\)
Jeśli \(\displaystyle{ b\not\in\NN}\), to \(\displaystyle{ b\in \ZZ_-}\), mamy \(\displaystyle{ a\in\NN}\), zatem \(\displaystyle{ a \ge b}\), i \(\displaystyle{ a}\) jest największy w \(\displaystyle{ A}\)-

Jeśli \(\displaystyle{ A \cap \NN=\left\{ \right\} =\emptyset}\), to \(\displaystyle{ A\subset\ZZ_-}\), i rozważmy zbiór \(\displaystyle{ -A=\left\{ -x \Bigl| \ \ x\in A\right\}.}\) Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ x\in A}\), to \(\displaystyle{ x\in\ZZ_-}\), zatem \(\displaystyle{ -x\in\NN_+}\), co dowodzi, że \(\displaystyle{ -A\subset \NN_+,}\) ponieważ \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\), to łatwo się przekonać, że również \(\displaystyle{ -A \neq \left\{ \right\} }\), zatem \(\displaystyle{ -A}\) jest niepustym podzbiorem zbioru liczb naturalnych, zatem z zasady minimum ma liczbę najmniejszą \(\displaystyle{ b\in-A}\). Wtedy \(\displaystyle{ b=-a}\), gdzie \(\displaystyle{ a\in A}\). Wtedy \(\displaystyle{ a}\) jest największy w \(\displaystyle{ A }\). Aby to pokazać: weźmy \(\displaystyle{ c\in A,}\) i pokażmy, ze \(\displaystyle{ a \ge c.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ c\in A}\), to \(\displaystyle{ -c\in -A}\). A ponieważ element \(\displaystyle{ b}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ -A}\), to \(\displaystyle{ -a=b \le -c}\), skąd \(\displaystyle{ c \le a}\), czyli \(\displaystyle{ a \ge c}\), i \(\displaystyle{ a}\) jest największy w \(\displaystyle{ A.\square}\)

Uogólnijmy na zbiory podobne do zbioru liczb całkowitych, tzn. udowodnijmy, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le _X\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \left( \ZZ, \le\right) }\) ze zwykłym porządkiem, a \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset X}\) niepustym podzbiorem ograniczonym z góry, to \(\displaystyle{ A}\) ma element największy.

Dowód:

Ponieważ \(\displaystyle{ \left( X, \le _X\right) }\) jest podobny do \(\displaystyle{ \left( \ZZ, \le\right) }\), więc istnieje podobieństwo \(\displaystyle{ f:\left( X, \le _X\right) \rightarrow \left( \ZZ, \le\right) }\). Rozważmy obraz \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f} (A)\subset \ZZ.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\} }\) jest zbiorem niepustym, to również obraz \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f} (A)}\) jest niepusty. Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony z góry, więc ma ograniczenie górne, niech \(\displaystyle{ x}\) będzie tym ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ f(x)\in\ZZ}\) jest ograniczeniem górnym obrazu \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f} (A)}\). Niech \(\displaystyle{ y\in \stackrel { \rightarrow }{f} (A).}\) Wtedy \(\displaystyle{ y=f(a)}\), gdzie \(\displaystyle{ a\in A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\), więc \(\displaystyle{ x \ge a}\), a zatem z własności podobieństwa \(\displaystyle{ f(x) \ge f(a)=y}\). Z dowolności wyboru elementu \(\displaystyle{ y}\), otrzymujemy, że \(\displaystyle{ f(x)}\) jest ograniczeniem górnym obrazu \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f} (A)}\). Zatem obraz \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f} (A)}\) jest ograniczony z góry, i niepusty, ( i \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f} (A)}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ \ZZ}\)), więc na mocy faktu dowiedzionego powyżej obraz \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f} (A)}\) ma element największy \(\displaystyle{ b}\). Wtedy \(\displaystyle{ b\in\stackrel { \rightarrow }{f} (A),}\) zatem \(\displaystyle{ b=f(c)}\), gdzie \(\displaystyle{ c\in A}\). Wówczas \(\displaystyle{ c}\) jest największy w \(\displaystyle{ A}\). Aby to pokazać weźmy \(\displaystyle{ a\in A}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ c \ge _X a.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ a\in A}\), to \(\displaystyle{ f(a) \in \stackrel { \rightarrow }{f} (A)}\), a \(\displaystyle{ b}\) jest największy w \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f} (A)}\), zatem \(\displaystyle{ f(c)=b \ge f(a)}\), co z własności podobieństwa daje, że \(\displaystyle{ c \ge _X a}\). A zatem element \(\displaystyle{ c}\) jest największy w A.

Wykażemy jeszcze, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le _X\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \left( \ZZ, \le\right) }\) , a \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset X}\) niepustym zbiorem ograniczonym z dołu, to \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy..

Chwilę, aby to udowodnić będziemy potrzebować jeszcze dwóch prostych faktów.

Po pierwsze porządek odwrotny do naturalnego na zbiorze liczb całkowitych jest do niego podobny.

Dla dowodu wystarczy rozważyć funkcję \(\displaystyle{ f:\left( \ZZ, \le\right) \rightarrow \left( \ZZ, \le ^{-1}\right) }\), określoną jako :

\(\displaystyle{ f(x)=-x.}\)

Łatwo sprawdzić, że taka funkcja jest podobieństwem- dla przykładu sprawdźmy różnowartościowość. Niech \(\displaystyle{ x,y\in \ZZ}\) będą takie, że \(\displaystyle{ f(x)= f(y)}\), wtedy, z definicji tej funkcji, oznacza to, że \(\displaystyle{ -x=-y}\), a zatem \(\displaystyle{ -(-x)=-(-y)}\), czyli \(\displaystyle{ x=y}\). Zatem \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa.

Bardzo łatwo sprawdzić, że jest 'na', i łatwo sprawdzić, że jest monotoniczna, wobec czego jest podobieństwem, i zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( Z, \le\right) }\) jest podobny do \(\displaystyle{ \left( \ZZ, \le ^{-1}\right) .}\)

Drugi fakt mówi, że jeśli zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ \left( X, \le _X\right) ;\left( Y, \le _Y\right)}\) są podobne, to odpowiadające im porządki odwrotne są podobne \(\displaystyle{ \left( X, \le _X^{-1} \right) \approx (Y, \le _Y ^{-1})}\), gdzie \(\displaystyle{ \approx}\) oznacza stosunek podobieństwa).
Prosty, lecz trochę żmudny dowód:    
Przejdźmy do zapowiedzianego dowodu:

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le _X\right) }\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \left( \ZZ, \le\right) }\) , a \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset X}\) niepustym zbiorem ograniczonym z dołu. Wykażemy, że \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy.

Dowód:

Zauważmy najpierw, że porządek odwrotny \(\displaystyle{ \left( X, \le _X ^{-1}\right) }\) jest również podobny do \(\displaystyle{ \left( \ZZ, \le\right) }\) , gdyż ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\)- \(\displaystyle{ (X, \le _X) \approx (\ZZ, \le ),}\) to na mocy faktu powyżej\(\displaystyle{ \left( X, \le^{-1} \right) \approx\left( \ZZ, \ge\right) \approx \left( \ZZ, \le \right). }\). A zatem \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony z dołu, to ma ograniczenie dolne. Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ \le _X}\). Wtedy \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A }\) względem \(\displaystyle{ \le _X ^{-1}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A}\) jest niepustym zbiorem ograniczonym z góry (w \(\displaystyle{ \left( X, \le _X ^{-1}\right) }\) , który to zbiór jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\) ), więc na mocy twierdzenia udowodnionego jeszcze przed zapowiedzią tego faktu, więc otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A}\) ma element największy \(\displaystyle{ a\in A}\), względem \(\displaystyle{ \le _X ^{-1}}\), a zatem \(\displaystyle{ a}\) jest elementem najmniejszym \(\displaystyle{ A}\), względem \(\displaystyle{ \le _X. \square}\) :D

Te fakty nam się przydadzą. Przejdźmy do właściwszych dowodów.


Wykażemy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \ZZ}\), a \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A}\) niepustym i różnym od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\) przedziałem początkowym, to \(\displaystyle{ A}\) jest postaci \(\displaystyle{ A=\overline {O(x)}= \left\{ y\in X: \ y \le x\right\}}\) , gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\), oraz \(\displaystyle{ A}\) jest postaci \(\displaystyle{ A=O(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest pewnym elementem zbioru \(\displaystyle{ X.}\)

Dowód:

Ponieważ \(\displaystyle{ A \neq X}\), to \(\displaystyle{ X\not\subset A}\), więc \(\displaystyle{ X}\) jest niepusty (gdyż \(\displaystyle{ \emptyset}\) jest podzbiorem każdego zbioru, w szczególności \(\displaystyle{ \emptyset \subset A }\) ), wiec \(\displaystyle{ X \neq \emptyset}\) i \(\displaystyle{ X\not\subset A}\), więc zaprzeczając definicji inkluzji otrzymujemy, że istnieje element \(\displaystyle{ x\in X}\), taki, że \(\displaystyle{ x\not\in A}\). Wtedy \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\). Aby to pokazać weźmy \(\displaystyle{ a\in A}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ x \ge a}\). Gdyby byłoby \(\displaystyle{ x\not \ge a}\), to \(\displaystyle{ x<a\in A}\), a \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym, więc wnioskujemy, że również \(\displaystyle{ x\in A}\)- a mamy \(\displaystyle{ x\not\in A}\)- sprzeczność. Wobec czego musi być \(\displaystyle{ x \ge a}\), i \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A.}\)

Zatem \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym zbiorem ograniczonym od góry( oraz \(\displaystyle{ A\subset X}\), a \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\)), więc na mocy jednego z dowiedzionych faktów, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A}\) ma element największy \(\displaystyle{ a\in A}\). Wtedy \(\displaystyle{ a\in X}\), i wtedy \(\displaystyle{ A=\overline {O(a)}.}\)

Musimy jednak tą równość zbiorów udowodnić.

Niech \(\displaystyle{ b\in\overline{O(a)}}\). Wtedy \(\displaystyle{ b\in X, b \le a.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ b \le a\in A}\), a \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem pocżątkowym, \(\displaystyle{ b\in X}\), więc również \(\displaystyle{ b\in A}\), co dowodzi, że \(\displaystyle{ \overline {O(a)}\subset A.}\)

Aby pokazać inkluzję w druga stronę, to niech \(\displaystyle{ b\in A}\), wtedy \(\displaystyle{ b\in X}\), ale \(\displaystyle{ a }\) jest największy w \(\displaystyle{ A,}\) skąd \(\displaystyle{ a \ge b}\), a zatem \(\displaystyle{ b\in \overline{O(a)} }\), i \(\displaystyle{ A=\overline{O(a)}, a\in X}\), co kończy pierwszą część dowodu. Druga część jest już dalej prosta, (gdy wykorzystamy pierwszą część :) ).

Skoro \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\), to niech \(\displaystyle{ f :X \rightarrow \ZZ}\) będzie podobieństwem. Wtedy \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją. Mamy \(\displaystyle{ a\in X}\), niech \(\displaystyle{ n:=f(a)+1\in \ZZ}\), ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją, to niech \(\displaystyle{ b\in X}\) będzie takim elementem, że \(\displaystyle{ f(b)=n}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ A=O(b)}\), gdzie mamy \(\displaystyle{ b\in X.}\)

Wystarczy zatem pokazać, że \(\displaystyle{ O(b)=\overline {O(a)}.}\)

Ponieważ obydwa zbiory są podzbiorami zbioru \(\displaystyle{ X}\), więc wystarczy pokazać, aby pokazać równość tych dwóch zbiorów, więc wystarczy pokazać, że dowolny element \(\displaystyle{ y\in X,}\) on należy do zbioru po lewej stronie równości, dokładnie wtedy, gdy należy do zbioru po prawej. Niech zatem \(\displaystyle{ y\in X}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ y\in O(b) \Leftrightarrow y<b,}\) i dalej, ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jako podobieństwo jest różnowartościowa (i z samego podobieństwa), więc to oznacza dokładnie, że \(\displaystyle{ \Leftrightarrow f(y)<f(b)=n \Leftrightarrow f(y) \le n-1=f(a) \Leftrightarrow y \le a \Leftrightarrow y\in \overline{O(a)}}\).

A zatem \(\displaystyle{ O(b)=\overline {O(a)}. \square }\):D

Wykażemy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \ZZ}\), a \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A \subset X}\) jest niepustą i różną od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\) resztą, to \(\displaystyle{ A=\left[ x, \rightarrow \right] =\left\{ y\in X: \ y \ge x\right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\), oraz \(\displaystyle{ A=\left( x, \rightarrow \right)=\left\{ y\in X: y>x\right\}}\) , gdzie \(\displaystyle{ x\in X.}\)

Dowód:

Zauważmy najpierw, że porządek odwrotny na \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\). Gdyż, ponieważ \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\), to \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) jest podobny do \(\displaystyle{ \left( Z, \ge\right) }\) a on jest podobny do \(\displaystyle{ \left( \ZZ, \le _\ZZ \right).}\) Zatem \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest resztą w \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) , to w \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym. Mamy również \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\), i \(\displaystyle{ A \neq X.}\) Stosując poprzednio udowodnione twierdzenie otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A=\overline {O(x)} }\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ A=\left\{ y\in X: y \le ^{-1} x\right\} =\left\{ y\in X: \ x\le y\right\}=\left[ x, \rightarrow \right]) , x\in X.}\)

Stosując ten sam fakt jeszcze raz otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A=O(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X.}\) Wtedy:

\(\displaystyle{ A=\left\{ y\in X: y< ^{-1} x \right\} \stackrel {y \neq x}{=} \left\{ y\in X: y>x\right\} =\left( x, \rightarrow \right) }\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X.}\)

Udowodnijmy jeszcze, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \ZZ}\), a \(\displaystyle{ A\subset X}\) przedziałem nie będącym przedziałem początkowym ani resztą, to \(\displaystyle{ A}\) można przedstawić w poniższych postaciach:

\(\displaystyle{ A=\left[ a,b \right]=\left\{ x\in X: \ a \le x \le b\right\} , \hbox{ gdzie }a,b\in X, a \le b;}\)
\(\displaystyle{ A=\left( a,b\right)=\left\{ x\in X: \ a <x < b\right\} \hbox{ gdzie }a,b\in X, a<b;}\)
\(\displaystyle{ A=\left[ a,b\right)\hbox{ gdzie }a,b\in X, a<b;}\)
\(\displaystyle{ A=\left( a,b\right]\hbox{ gdzie }a,b\in X, a<b.}\)

Dowód:

Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) nie jest przedziałem początkowym, to \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\} }\) ( gdyż zbiór pusty jest zawsze przedziałem początkowym), a zatem zaprzeczając definicji przedziału początkowego otrzymujemy, że istnieje \(\displaystyle{ a\in A}\) oraz istnieje \(\displaystyle{ b\in X, b<a}\), i takie, że \(\displaystyle{ b\not\in A}\). Wtedy \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ A}\). Aby to pokazać, weźmy \(\displaystyle{ c\in A}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ b \le c}\). Gdyby byłoby \(\displaystyle{ b\not \le c}\), to \(\displaystyle{ b>c}\), i \(\displaystyle{ A\ni a>b>c\in A}\), a \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ b\in A}\), a mamy \(\displaystyle{ b\not\in A}\)- sprzeczność. Wobec czego musi być \(\displaystyle{ b \le c}\), i \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ A}\). Zatem zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony z dołu, i \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty, mamy \(\displaystyle{ A\subset X}\), a \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\), zatem na mocy jednego z dowiedzionych twierdzeń powyżej otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy \(\displaystyle{ x\in A}\). Wykażemy teraz podobnie, że \(\displaystyle{ A}\) ma element największy.

Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) nie jest resztą, i ponieważ \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\) , więc zaprzeczając definicji reszty otrzymujemy, ze istnieje \(\displaystyle{ a\in A,}\) oraz istnieje \(\displaystyle{ b\in X, b>a}\), i takie, że \(\displaystyle{ b\not\in A.}\) Wtedy \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A}\). Aby to wykazać: weźmy \(\displaystyle{ c\in A}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ b \ge c}\). Przypuśćmy, że tak nie jest. Wtedy \(\displaystyle{ b<c}\), i \(\displaystyle{ A\ni a<b<c\in A }\), a \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ b\in A}\), a mamy \(\displaystyle{ b\not\in A}\)- sprzeczność. Wobec czego musi być \(\displaystyle{ b \ge c}\), i \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Zatem zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony z góry, i \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\) , ale \(\displaystyle{ A\subset X}\), a \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\), więc na mocy jednego z dowiedzionych twierdzeń zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma element największy \(\displaystyle{ y\in A}\); wiemy już, że \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy \(\displaystyle{ x\in A}\).

Mamy \(\displaystyle{ x \le y}\). Pokażemy prosto, że \(\displaystyle{ A= \left[ x,y\right] }\) gdzie \(\displaystyle{ x,y \in X, x \le y}\).

Aby wykazać tą równość zbiorów, pokażemy inkluzję w obydwie strony.

Niech \(\displaystyle{ z\in A}\), wtedy \(\displaystyle{ z\in X}\), ponieważ \(\displaystyle{ x}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ A}\), więc \(\displaystyle{ x \le z}\), ponieważ \(\displaystyle{ y}\) jest największy w \(\displaystyle{ A}\), więc \(\displaystyle{ y \ge z}\), a zatem \(\displaystyle{ z\in \left[ x,y\right]}\) , co dowodzi inkluzji w jedną stronę.

Aby wykazać inkluzję w drugą stronę, to niech \(\displaystyle{ z\in\left[ x,y\right]}\) , wtedy \(\displaystyle{ z\in X}\), i \(\displaystyle{ x \le z \le y}\), a zatem \(\displaystyle{ A\ni x \le z \le y\in A}\), a \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ z\in A}\), co należało pokazać.

Zatem \(\displaystyle{ A=\left[ x,y\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y\in X, x \le y.}\)

Pozostaje przedstawić przedział \(\displaystyle{ A}\) w pozostałych trzech postaciach.

Ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\), to niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow \ZZ}\) będzie podobieństwem. Wtedy \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją. Oznaczmy \(\displaystyle{ n:=f(x); m:=f(y)}\), wtedy \(\displaystyle{ n,m\in\ZZ}\), więc również \(\displaystyle{ \left( n-1\right) , \left( m+1\right) \in \ZZ}\), ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją, to niech \(\displaystyle{ x_{-1}}\), będzie takim elementem \(\displaystyle{ X}\), że \(\displaystyle{ f(x_{-1})=n-1\in\ZZ}\), niech \(\displaystyle{ y_{+1}}\) będzie takim elementem \(\displaystyle{ X}\), że \(\displaystyle{ f(y_{+1})=m+1\in\ZZ}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ A=(x_{-1}, y_{+1})}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{-1}, y_{+1}\in X}\),\(\displaystyle{ x_{-1}< y_{+1}}\).

(Łatwo, korzystając z własności podobieństwa, pokazać nierówność słabą: \(\displaystyle{ x_{-1} \le y_{+1}}\). Nierówność będzie również silna, gdyż gdyby byłoby \(\displaystyle{ x_{-1}=y_{+1}}\), to \(\displaystyle{ n-1=f(x_{-1}) =f(y_{+1})=m+1}\), skąd \(\displaystyle{ n=m+2}\), i \(\displaystyle{ n>m}\), a z podobieństwa wynika, że \(\displaystyle{ n \le m}\)- sprzeczność. Wobec czego wszystko jest tu dobrze określone).

Wykażemy, że \(\displaystyle{ \left( x_{-1}, y_{+1}\right)=\left[ x,y\right].}\) Ponieważ zarówno zbiór po lewej, jak i zbiór po prawej stronie równości są podzbiorami zbioru \(\displaystyle{ X}\), więc wystarczy pokazać, że dowolny element \(\displaystyle{ z\in X}\), ten element należy do zbioru po lewej stronie równości, dokładnie wtedy, gdy należy do zbioru po prawej stronie. Niech więc \(\displaystyle{ z\in X.}\) Wtedy:

\(\displaystyle{ z\in \left( x_{-1}, y_{+1}\right) \Leftrightarrow x_{-1}<z<y_{+1}}\), dalej ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jako podobieństwo jest różnowartościowa (oraz z samego podobieństwa), więc to zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ n-1=f(x_{-1}) <f(z)< f(y_{+1})=m+1 \Leftrightarrow f(x)=n \le f(z) \le m= f(y) \Leftrightarrow x \le z \le y \Leftrightarrow z\in \left[ x,y\right].}\)

A zatem \(\displaystyle{ (x_{-1}, y_{+1})=\left[ x,y\right]=A, x_{-1}, y_{+1}\in X, x_{-1}< y_{+1}.}\)

Pozostaje przedstawić zbiór \(\displaystyle{ A}\) w pozostałych dwóch postaciach. W tym celu wykażemy, że \(\displaystyle{ A=\left[ x, y_{+1}\right), A=\left( x_{-1}, y\right] }\),
Poprawność określenia :P:    

Aby pokazać pierwszą równość zbiorów, wykażemy, że \(\displaystyle{ \left[ x, y_{+1}\right) =\left[ x,y\right].}\) Ponieważ zarówno zbiór po lewe stronie równości, jak i zbiór po prawej, są podzbiorami zbioru \(\displaystyle{ X}\), więc wystarczy pokazać, że dowolny element \(\displaystyle{ z\in X}\), on należy do zbioru po lewej stronie równości, dokładnie wtedy, gdy należy do zbioru po prawej. Niech więc \(\displaystyle{ z\in X}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ z\in \left[ x, y+1\right) \Leftrightarrow x \le z< y_{+1} }\), co na mocy różnowartościowości \(\displaystyle{ f}\) jako podobieństwa, znaczy dokładnie to samo co:

\(\displaystyle{ n=f(x) \le f(x)<f(y_{+1})=m+1 \Leftrightarrow f(x) \le f(z) \le m=f(y) \Leftrightarrow x \le z \le y \Leftrightarrow z\in \left[ x,y\right] .}\)

A zatem \(\displaystyle{ \left[ x, y_{+1}\right)=\left[ x,y\right] =A, x<y_ {+1}.}\)

Pozostaje pokazać, że \(\displaystyle{ A=\left( x_{-1}, y\right].}\) W tym celu należy pokazać, że \(\displaystyle{ \left( x_{-1}, y\right]=\left[ x,y\right].}\) Podobnie, jak powyżej, można to pokazać, co kończy dowód. \(\displaystyle{ \square }\) :lol:

Na koniec rozdzielmy w zbiorze liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \ZZ}\), rozdzielmy przedziały początkowe od reszt, czyli uzasadnijmy, że te rodziny zbiorów u nas są rozłączne. W tym celu wykażemy ogólny fakt, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\) niepustym i różnym od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\) przedziałem początkowym, to \(\displaystyle{ A}\) nie jest resztą.

Innymi słowy, w zbiorze liniowo uporządkowanym niepusty i różny od całego zbioru podzbiór nie może być jednocześnie przedziałem początkowym i resztą (cały zbiór jest przedziałem początkowym (nieistotnym), i cały zbiór jest resztą (nieistotną)). Dowód:
Ukryta treść:    
Zatem, podsumowując, w zbiorze liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \ZZ,}\) jak mamy niepusty i różny od całego zbioru przedział, to albo jest on przedziałem początkowym, wtedy jest on w postaci domkniętego przedziału początkowego, jak i w postaci zwykłego przedziału początkowego, albo jest on resztą, wtedy jest on w obydwu postaciach reszty, albo nie jest ani przedziałem początkowym ani resztą, i wtedy jest on w postaci przedziału domkniętego, jak i w postaci przedziału otwartego, jak i w postaci przedziału domknięto-otwartego, jak i otwarto-domkniętego. Myślę, że to ciekawe. Można by jeszcze spróbować jakoś pokazać, jak można przechodzić z jednej postaci przedziału na inną (zapewne przesuwając końce o jednostkę), ale może nie będę się nad tym trudził. :D

Na koniec podam fakt, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \ZZ}\), a para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), to przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) daje skok.
Wyjaśnienie, i dowód:    
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiór liczb całkowitych z naturalnym porządkiem

Post autor: Jakub Gurak »

Udowodniłem we wtorek wieczorem (i dzień wcześniej), że jeśli do zbioru liczb całkowitych dodamy dwa elementy, jeden jako najmniejszy i drugi jako największy, oznaczmy ten zbiór jako \(\displaystyle{ \overline \ZZ}\), to jeśli weźmiemy dowolny podzbiór \(\displaystyle{ A\subset \overline \ZZ}\), to zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony z góry i z dołu, zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma supremum (nie do końca formalnie to udowodniłem ) i \(\displaystyle{ A}\) ma infimum. Udowodniłem też przedwczoraj, że jeśli rozważymy zbiór liczb naturalnych wraz z dodanym jednym elementem \(\displaystyle{ T}\) jako największym, to jeśli weźmiemy dowolny podzbiór \(\displaystyle{ A\subset\NN \cup \left\{ T\right\}}\), to zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony z góry i \(\displaystyle{ A}\) ma supremum . Podobne rozważania przeprowadziłem dla zbioru liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem (i wraz z dodanym jednym elementem \(\displaystyle{ T}\) jako najmniejszym). Udowodniłem też we wtorek fakt, mówiący, że jeśli w zbiorze liczb całkowitych mamy przedział domknięty (lub otwarty lub domknięto-otwarty lub otwarto-domknięty- wszystko jedno- ważne, że ograniczony, wszystko jedno- bowiem zbiór liczb całkowitych ma tą własność, że jest pełna swoboda przechodzenia z jednej z takich postaci przedziałów na inną drugą taką postać), to suma porządkowa trzech zbiorów: zbioru liczb całkowitych ujemnych, tego przedziału i zbioru liczb naturalnych jest typu zbioru liczb całkowitych \(\displaystyle{ \ZZ.}\) Wykazałem też ostatnio taki fakt (smutny raczej fakt ), że suma porządkowa dwóch zbiorów typu \(\displaystyle{ \ZZ}\) może nie być typu \(\displaystyle{ \ZZ}\), niestety. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.


Przypomnijmy może najpierw prosty fakt, że jeśli zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) ma element największy \(\displaystyle{ x\in X}\) , to każdy zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest ograniczony od góry (przez element największy). Podobnie jeśli w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest element najmniejszy, to każdy zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest ograniczony od dołu (przez element najmniejszy)- są to proste fakty.

Przypomnijmy jeszcze, że jeśli w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest element najmniejszy \(\displaystyle{ a\in X}\), to \(\displaystyle{ a}\) jest supremum pustego podzbioru. Podobnie jeśli w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest element największy \(\displaystyle{ b\in X}\), to \(\displaystyle{ b}\) jest infimum pustego podzbioru.

Przypomnijmy jeszcze, że w zbiorze uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jeśli każdy podzbiór ma supremum, to każdy podzbiór ma infimum.
PIĘKNY SZKIC DOWODU:    

Przejdźmy do naszych problemów.

Rozważmy zbiór liczb całkowitych \(\displaystyle{ \ZZ}\). I rozważmy dwa różne elementy \(\displaystyle{ T_- , T_+}\) spoza zbioru \(\displaystyle{ \ZZ}\). Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ \overline\ZZ=\ZZ \cup \left\{ T_-, T_+\right\}}\) , z porządkiem powstałym po dodaniu do naturalnego porządku na \(\displaystyle{ \ZZ}\) elementu \(\displaystyle{ T_-}\) jako najmniejszego i po dodaniu elementu \(\displaystyle{ T_+}\) jako największego. Weźmy dowolny podzbiór \(\displaystyle{ A\subset\overline {\ZZ}.}\) Wykażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony z góry i z dołu, oraz że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma supremum i \(\displaystyle{ A}\) ma infimum.

DOWÓD:

Mamy, że zbiór \(\displaystyle{ \left( \ZZ, \le\right) }\) z naturalnym porządkiem jest zbiorem liniowo uporządkowanym, zbiór \(\displaystyle{ \left\{ T_-\right\} }\) i zbiór \(\displaystyle{ \left\{ T_+\right\} }\) są liniowo uporządkowane (zbiory jednoelementowe są liniowo uporządkowane przez identyczność na tym zbiorze). Zauważmy, że zbiory \(\displaystyle{ \left\{ T_-\right\}}\), \(\displaystyle{ \left\{ T_+\right\}}\) i \(\displaystyle{ \ZZ}\) są zbiorami rozłącznymi, gdyż \(\displaystyle{ T_- \neq T_+, T_- \not\in \ZZ, T_+\not\in\ZZ.}\) Wobec czego możemy rozważać sumę porządkową \(\displaystyle{ \left\{ T_- \right\}\oplus \ZZ\oplus\left\{ T_+\right\}}\), która jest liniowym porządkiem na \(\displaystyle{ \left\{ T_-\right\} \cup \ZZ \cup \left\{ T_+\right\} = \ZZ \cup \left\{ T_-,T_+\right\} =:\overline{\ZZ}.}\)

Niech \(\displaystyle{ A\subset \overline {\ZZ}.}\)

Mamy, że element \(\displaystyle{ T_-}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ \overline {\ZZ}}\) , zatem, na mocy wspomnianego faktu: element \(\displaystyle{ T_-}\) jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ A}\), i zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony z dołu. Podobnie, ponieważ element \(\displaystyle{ T_+}\) jest elementem największym w \(\displaystyle{ \ZZ}\), to \(\displaystyle{ T_+}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A}\), i zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony z góry.

Wykażemy teraz, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma supremum.

Jeśli \(\displaystyle{ A=\emptyset}\), ponieważ \(\displaystyle{ T_-}\) jest elementem najmniejszym, to jest to supremum pustego podzbioru, czyli jest to supremum zbioru \(\displaystyle{ A.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ A=\left\{ a\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ a\in \overline \ZZ }\), to \(\displaystyle{ a}\) jest supremum tego zbioru jednoelementowego \(\displaystyle{ \left\{ a\right\}}\) - (nie jest to zbyt ciekawy fakt, ale jest taki fakt, i teraz znalazł zastosowanie), czyli jest to supremum zbioru \(\displaystyle{ A}\)- \(\displaystyle{ a=\bigvee A.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ A}\) ma co najmniej dwa elementy. Rozważmy najpierw sytuację gdy \(\displaystyle{ T_+\in A}\), wtedy ponieważ element \(\displaystyle{ T_+}\) jest największy w \(\displaystyle{ \overline\ZZ}\), to również \(\displaystyle{ T_+}\) będzie elementem największym w \(\displaystyle{ A}\), a zatem \(\displaystyle{ T_+}\) będzie supremum zbioru \(\displaystyle{ A}\), czyli \(\displaystyle{ T_+= \bigvee A.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ T_+\not\in A}\), ponieważ \(\displaystyle{ A\subset \ZZ \cup \left\{ T_-,T_+\right\}}\) , i zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma co najmniej dwa elementy, więc istnieje element \(\displaystyle{ a\in A \cap \ZZ}\). Ustalmy taki element. I:

Jeśli każdy element \(\displaystyle{ b\in A}\) jest mniejszy od \(\displaystyle{ 0}\). To rozważmy zbiór:

\(\displaystyle{ A_0=\left\{ b\in A: \ \ a \le b<0\right\} .}\)

Wykażemy, że \(\displaystyle{ A_0\subset \ZZ_-}\) (czyli chodzi o to, że \(\displaystyle{ T_-\not\in A_0}\)).
DOWÓD TEGO FAKTU::    
Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ B_0}\), złożony z liczb całkowitych przeciwnych do liczb z \(\displaystyle{ A_0}\), tzn. rozważmy zbiór:

\(\displaystyle{ B_0=\left\{ -b\Bigl| \ \ b\in A_0\right\} .}\)

Jeśli \(\displaystyle{ b\in A_0}\), to \(\displaystyle{ b\in \ZZ_-}\), a zatem \(\displaystyle{ (-b) \in\NN}\), więc \(\displaystyle{ B_0\subset \NN}\). Ponieważ \(\displaystyle{ a\in\ZZ_-}\), to \(\displaystyle{ m:=(-a)\in\NN}\).

Ja teraz stwierdzam, że \(\displaystyle{ B_0\subset (m+1)\sim (m+1)\in\NN}\), czyli, że \(\displaystyle{ B_0}\) jest podzbiorem zbioru wszystkich liczb naturalnych mniejszych lub równych od \(\displaystyle{ m}\). ,

Aby pokazać taką inkluzję, to niech \(\displaystyle{ x\in B_0.}\) Wtedy \(\displaystyle{ x=-b}\), gdzie \(\displaystyle{ b\in A_0}\), wtedy, z definicji zbioru \(\displaystyle{ A_0}\), mamy: \(\displaystyle{ a\le b}\), a zatem \(\displaystyle{ x=-b \le -a=m}\), a więc \(\displaystyle{ x \le m}\), a ponieważ \(\displaystyle{ x\in B_0\subset \NN}\), a więc \(\displaystyle{ x\in (m+1)}\), i \(\displaystyle{ B_0\subset (m+1).}\)

Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ (m+1)}\) jest zbiorem skończonym, więc zbiór \(\displaystyle{ B_0 }\), jako podzbiór zbioru skończonego, jest zbiorem skończonym.

Wykażemy, że zbiór \(\displaystyle{ B_0}\) jest równoliczny ze zbiorem \(\displaystyle{ A_0}\). Wystarczy określić funkcję \(\displaystyle{ b\in A_0 \rightarrow (-b) \in B_0.}\) Jak łatwo sprawdzić, taka funkcja jest różnowartościowa i 'na', zatem jest bijekcją, i zbiór \(\displaystyle{ A_0 }\) jest równoliczny ze zbiorem \(\displaystyle{ B_0.}\)

Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ B_0}\) jest zbiorem skończonym, więc również zbiór \(\displaystyle{ A_0}\) jest skończony.

Łatwo się przekonać (z definicji zbioru \(\displaystyle{ A_0}\)), że: \(\displaystyle{ a\in A_0}\), a zatem zbiór \(\displaystyle{ A_0}\) jest niepusty. Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ \ZZ_-}\) z naturalnym porządkiem jest liniowo uporządkowany, a zbiór \(\displaystyle{ A_0}\) jest niepustym skończonym jego podzbiorem, więc \(\displaystyle{ A_0}\) ma element najmniejszy i największy, więc również \(\displaystyle{ A_0}\) ma element największy \(\displaystyle{ b\in A_0.}\)

Wykażemy, że wtedy element \(\displaystyle{ b}\) jest największy w całym zbiorze \(\displaystyle{ A}\).

Mamy \(\displaystyle{ b\in A_0}\), więc \(\displaystyle{ b\in A.}\) Weźmy \(\displaystyle{ c\in A}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ b \ge c}\). Jeśli \(\displaystyle{ c=T_-}\), to ponieważ \(\displaystyle{ T_-}\) jest elementem najmniejszym względem naszego porządku, więc \(\displaystyle{ c=T_- \le b.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ c \neq T_-}\), to \(\displaystyle{ c\in \ZZ_-}\). Mamy \(\displaystyle{ b \in \ZZ_-. }\)Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ b\not \ge c}\), wtedy \(\displaystyle{ b<c}\). Mamy \(\displaystyle{ b\in A_0}\), i \(\displaystyle{ c\in A_0}\) (łatwo to uzasadnić), ponieważ element \(\displaystyle{ b}\) jest największy w \(\displaystyle{ A_0}\), więc \(\displaystyle{ c\le b}\), a \(\displaystyle{ b<c}\)-sprzeczność. Wobec czego musi być \(\displaystyle{ b \ge c}\), i \(\displaystyle{ b}\) jest największy w \(\displaystyle{ A}\), a więc tym bardziej \(\displaystyle{ b}\) jest supremum zbioru \(\displaystyle{ A}\), czyli: \(\displaystyle{ b= \bigvee A. }\)


Rozważmy teraz przypadek gdy (gdyż \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem niepustym), więc pozostaje rozważyć przypadek gdy pewien element \(\displaystyle{ b\in A}\): nie jest mniejszy od \(\displaystyle{ 0}\), czyli \(\displaystyle{ b \ge 0}\).

Wtedy rozważmy zbiór \(\displaystyle{ A_0:=\NN \cap A}\).

Jeśli zbiór \(\displaystyle{ A_0}\) jest zbiorem skończonym, wtedy \(\displaystyle{ b\in\NN \cap A}\) (mamy \(\displaystyle{ T_+\not\in A}\), więc element \(\displaystyle{ b\in A}\) jest różny od elementu \(\displaystyle{ T_+}\)), a więc zbiór \(\displaystyle{ A_0}\) jest niepustym skończonym podzbiorem zbioru liczb naturalnych, a zatem zbiór \(\displaystyle{ A_0}\) ma element największy \(\displaystyle{ n\in A_0.}\)

Wtedy liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) jest największa również w całym zbiorze \(\displaystyle{ A}\).

Istotnie, mamy \(\displaystyle{ n\in A_0}\), więc \(\displaystyle{ n\in A}\). Weźmy \(\displaystyle{ b\in A}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ b \le n}\). Przypuśćmy, że tak nie jest. Wtedy \(\displaystyle{ n<b}\), ponieważ \(\displaystyle{ n\in\NN}\), \(\displaystyle{ }\)a \(\displaystyle{ b>n}\), to \(\displaystyle{ b\in\NN}\) ( \(\displaystyle{ b\in A}\), a \(\displaystyle{ T_+\not\in A}\)). Wiec \(\displaystyle{ b\in\NN \cap A=A_0}\), ponieważ liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) jest największa w \(\displaystyle{ A_0}\), więc \(\displaystyle{ b \le n}\), a \(\displaystyle{ b>n}\)- sprzeczność. Wobec czego musi być \(\displaystyle{ b \le n}\), i liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) jest elementem największym \(\displaystyle{ A}\), a więc tym bardziej jest jego supremum: \(\displaystyle{ n= \bigvee A.}\)


Jeśli \(\displaystyle{ A_0}\) jest zbiorem nieskończonym, ponieważ \(\displaystyle{ A_0=\NN \cap A\subset \NN}\), i zbiór \(\displaystyle{ A_0}\) jest podobny do samego siebie, czyli do zbioru \(\displaystyle{ A_0\subset \NN}\), i jest zbiorem nieskończonym, to na mocy faktu który udowodniłem TUTAJ zbiór \(\displaystyle{ A_0}\) musi być podobny do \(\displaystyle{ \NN}\), i wtedy \(\displaystyle{ T_+= \bigvee A. }\)
NIEZBYT FORMALNA PRÓBA DOWODU:    
Wobec czego (w każdym przypadku) zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma supremum, i każdy zbiór \(\displaystyle{ A\subset \overline \ZZ}\) ma supremum.

Pozostał nam do wykazania fakt z infimum, opisze to tu dokładniej, co tu się naprawdę dzieje.

Tworzymy ten zbiór \(\displaystyle{ \overline \ZZ=\ZZ \cup \left\{ T_-,T_+\right\}}\), czyli zbiór \(\displaystyle{ \ZZ }\) z dodanym elementem \(\displaystyle{ T_-}\) jako najmniejszym i \(\displaystyle{ T_+}\) jako największym. Bierzemy dowolny podzbiór \(\displaystyle{ A\subset \overline\ZZ,}\) i pokazujemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma infimum. Jak wykazałem przed chwilą w \(\displaystyle{ \overline \ZZ}\) każdy podzbiór ma supremum, więc w myśl tego faktu wspomnianego na początku tego postu, każdy podzbiór ma infimum, więc również zbiór \(\displaystyle{ A\subset \overline\ZZ}\) ma infimum. \(\displaystyle{ \square}\)


Przejdźmy do dalszych problemów:

Rozważmy zbiór liczb naturalnych z dodanym jednym elementem \(\displaystyle{ T}\) jako największym, tzn. ustalamy element \(\displaystyle{ T}\) spoza zbioru \(\displaystyle{ \NN}\), i tworzymy sumę porządkową \(\displaystyle{ \NN\oplus\left\{ T\right\}}\), która jest dobrym porządkiem na \(\displaystyle{ \NN \cup \left\{ T\right\}.}\) Rozważmy dowolny podzbiór \(\displaystyle{ A\subset \NN \cup \left\{ T\right\}}\). Wykażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony z góry, i zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma supremum.

Dowód:

Element \(\displaystyle{ T}\) jest w tym zbiorze elementem największym, a \(\displaystyle{ A\subset \NN \cup \left\{ T\right\} }\), który to zbiór \(\displaystyle{ \NN \cup \left\{ T\right\}}\) jest liniowo uporządkowany, więc \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony z góry (przez element największy \(\displaystyle{ T}\)).


Pozostaje wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma supremum.

Jeśli \(\displaystyle{ A=\emptyset}\), ponieważ \(\displaystyle{ 0}\) jest elementem najmniejszym tego porządku, to to \(\displaystyle{ 0}\) jest supremum pustego podzbioru, czyli \(\displaystyle{ 0= \bigvee \emptyset= \bigvee A.}\)

Jeśli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty, i jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest skończony, to \(\displaystyle{ A}\) jako skończony niepusty podzbiór zbioru liniowo uporządkowanego, to \(\displaystyle{ A}\) ma element największy \(\displaystyle{ a\in A}\), który tym bardziej jest jego supremum.

Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest nieskończony, to \(\displaystyle{ A \setminus \left\{ T\right\}\subset \NN}\) oraz zbiór \(\displaystyle{ A \setminus\left\{ T\right\}}\) jest nieskończony , więc \(\displaystyle{ A \setminus \left\{ T\right\}}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \NN}\) na mocy tego samego faktu z poprzedniego linku, i wtedy \(\displaystyle{ \bigvee A=T. \square}\)
PODOBNE ROZWAŻANIA DLA ZBIORU LICZB CAŁKOWITYCH UJEMNYCH::    

Wykażemy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ A\subset \ZZ}\) jest przedziałem nie będącym przedziałem początkowym ani resztą, to suma trzech typów porządkowych: zbioru liczb całkowitych ujemnych, zbioru typu przedziału \(\displaystyle{ A}\) i zbioru liczb naturalnych jest zbiorem typu zbioru liczb całkowitych \(\displaystyle{ \ZZ.}\)

Dowód:

Rozważmy zbiory: \(\displaystyle{ \ZZ_- \times \left\{ 0\right\}}\), \(\displaystyle{ A \times \left\{ 1\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 0\right\}}\)- zbiory liniowo uporządkowane. Zauważmy, że te trzy zbiory są rozłączne.

Możemy zatem rozważać ich sumę porzadkową: \(\displaystyle{ \left( \ZZ_- \times \left\{ 0\right\}\right) \oplus \left( A \times \left\{ 1\right\} \right) \oplus \left( \NN \times \left\{ 0\right\} \right) }\), która jest liniowym porządkiem na \(\displaystyle{ \left( \ZZ_- \times \left\{ 0\right\} \right) \cup \left( A \times \left\{ 1\right\} \right) \cup \left( \NN \times \left\{ 0\right\} \right) = \left( \ZZ \times \left\{ 0\right\} \right) \cup \left( A \times \left\{ 1\right\} \right).}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem w \(\displaystyle{ \ZZ}\) nie będącym przedziałem początkowym ani resztą, to \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci przedziału domkniętego \(\displaystyle{ A=\left[ a,b\right]=\left\{ x\in\ZZ: a \le x \le b\right\}}\) , gdzie \(\displaystyle{ a,b\in\ZZ}\), \(\displaystyle{ a \le b}\), na mocy dowodu z postu powyżej.

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f:\left( \ZZ \times \left\{ 0\right\}\right) \cup \left( A \times \left\{ 1\right\} \right) \rightarrow \ZZ}\) (zauważmy, że dziedziną tej funkcji jest suma dwóch zbiorów par uporządkowanych, a więc jest to zbiór par). Określmy tą funkcję jako:

\(\displaystyle{ f\left( \left( x,y\right) \right)= \begin{cases} x-a, \hbox{ gdy } x\in A, \\ x+(b-a)+1,\hbox{ gdy } x\in\NN, \\ x, \hbox{ gdy } x\in\ZZ_-.\end{cases}}\)

Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ A \times \left\{ 1\right\}\sim A \sim [(b-a)+1]= \left\{ n\in\NN: n \le b-a\right\} =:Y_1}\), dla dowodu drugiej równoliczności (pierwsza jest dość oczywista), wystarczy określić funkcję \(\displaystyle{ f_1:A \rightarrow Y_1}\), jako: \(\displaystyle{ f_1(x)= x-a}\), i łatwo sprawdzić, że ta funkcja jest dobrze określona i jest bijekcją. A zatem \(\displaystyle{ A\sim Y_1}\), mamy \(\displaystyle{ A \times \left\{ 1\right\} \sim A}\), więc \(\displaystyle{ A \times \left\{ 1\right\}\sim Y_1. }\)

Mamy \(\displaystyle{ \NN\sim \NN \times \left\{ 0\right\}}\), Łatwo zauważyć, że funkcja \(\displaystyle{ f_2:\NN \rightarrow Y_2:= \left\{ m\in\NN: m>b-a\right\},}\) dana jako: \(\displaystyle{ f_2(n)= n+(b-a)+1}\), jest dobrze określoną bijekcją. A zatem \(\displaystyle{ \NN\sim Y_2}\), mamy \(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 0\right\}\sim \NN}\), więc \(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 0\right\} \sim Y_2}\).

I oczywiście \(\displaystyle{ \ZZ_-\sim \ZZ_- \times \left\{ 0\right\},}\) dzięki bijekcji \(\displaystyle{ f_3:\ZZ_- \times \left\{ 0\right\} \rightarrow \ZZ_-,}\) danej jako: \(\displaystyle{ f_3(x,0)=x.}\)

Zauważmy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest sumą takich trzech bijekcji, zbiory \(\displaystyle{ A \times \left\{ 1\right\}}\) , \(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 0\right\} }\) i \(\displaystyle{ \ZZ_- \times \left\{ 0\right\}}\) są rozłączne oraz zbiory \(\displaystyle{ Y_1, Y_2\subset \NN}\) i \(\displaystyle{ \ZZ_- }\) są rozłączne. W związku z czym suma takich trzech bijekcji, czyli \(\displaystyle{ f=f_1 \cup f_2 \cup f_3}\) jest bijekcją ze sumy dziedzin \(\displaystyle{ (A \times \left\{ 1\right\}) \cup \left( \NN \times \left\{ 0\right\} \right) \cup (\ZZ_- \times \left\{ 0\right\} ) =(\ZZ \times \left\{ 0\right\} ) \cup \left( A \times \left\{ 1\right\} \right)}\) w sumę przeciwdziedzin \(\displaystyle{ Y_1 \cup Y_2 \cup \ZZ_-=\NN \cup \ZZ_-=\ZZ.}\)

Pozostaje pokazać monotoniczność.

Weźmy pary \(\displaystyle{ (x_1,y_1); (x_2,y_2)}\) z dziedziny tej funkcji \(\displaystyle{ f}\) takie, że \(\displaystyle{ (x_1,y_1) \le \left( x_2,y_2 \right)}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ f(x_1,y_1) \le f(x_2, y_2).}\)

Rozważmy kilka przypadków:

1. \(\displaystyle{ x_1\in \ZZ_-, x_2\in\ZZ_-}\). Wtedy \(\displaystyle{ x_1 \le x_2}\), oraz \(\displaystyle{ y_1=0=y_2.}\) I wtedy \(\displaystyle{ f(x_1,y_1) =f(x_1,0) =x_1 \le x_2= =f(x_2,0)=f(x_2, y_2).}\)

2. \(\displaystyle{ x_1, x_2\in \NN}\). Wtedy \(\displaystyle{ x_1 \le _\NN x_2}\), i \(\displaystyle{ y_1=0=y_2}\). I wtedy: \(\displaystyle{ f(x_1,0)= x_1+(b-a)+1 \mathop { \le } _{x_1 \le x_2} x_2+\left( b-a\right)+1= f(x_2,0)}\) , więc \(\displaystyle{ f(x_1,y_1) \le f(x_2, y_2).}\)

3. \(\displaystyle{ x_1, x_2\in A}\)- ten przypadek sprawdzamy analogicznie jak poprzednie dwa.

4-5. \(\displaystyle{ x_1\in \ZZ_-. x_2\in \NN \cup A}\). Wtedy \(\displaystyle{ y_1=0}\). I wtedy \(\displaystyle{ f(x_2,y_2)\in \NN}\) (łatwo się o tym przekonać), więc \(\displaystyle{ f(x_2,y_2) \ge 0>x_1= f(x_1,0).}\)

6. \(\displaystyle{ x_1\in A, x_2\in \NN}\). Wtedy \(\displaystyle{ y_1=1, y_2=0}\).

Wtedy, z definicji sumy porządkowej, każdy element \(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 0\right\}}\) jest większy od każdego elementu \(\displaystyle{ \left( \ZZ_- \times \left\{ 0\right\} \right) \cup \left( A \times \left\{ 1\right\}\right) }\), więc również \(\displaystyle{ (x_1,1) < (x_2,0).}\)

Mamy \(\displaystyle{ f(x_1, 1)=x_1-a}\). Mamy \(\displaystyle{ x_1\in A=\left[ a,b\right]}\), więc \(\displaystyle{ a \le x_1 \le b}\). Mamy \(\displaystyle{ f(x_2,0) =x_2+(b-a)+1}\). Zatem \(\displaystyle{ f(x_1,1)=x_1-a \le b-a}\). I mamy: \(\displaystyle{ f(x_2,0)=x_2+(b-a)+1 \mathop { \ge }_{x_2\in\NN} (b-a)+1= (b+1)-a>x_1-a= f(x_1,1)}\), czyli \(\displaystyle{ f(x_1,1)< f(x_2,0)}\), co należało pokazać.

Pozostaje zauważyć, że pozostałe trzy przypadki są niemożliwe na podstawie definicji sumy porządkowej i antysymetrii porządku.

A zatem \(\displaystyle{ f}\) jest monotoniczna. Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest monotoniczną bijekcją pomiędzy \(\displaystyle{ \left( \ZZ \times \left\{ 0\right\} \right) \cup \left( A \times \left\{ 1\right\} \right)}\) a zbiorem \(\displaystyle{ \ZZ}\), czyli pomiędzy dwoma zbiorami liniowo uporządkowanymi, więc \(\displaystyle{ f}\) jest podobieństwem, i te dwa zbiory są podobne. A zatem \(\displaystyle{ \ZZ_-\oplus A\oplus \NN \approx \ZZ. \square}\) :lol: 8-)


Na koniec wykażemy, że suma porządkowa dwóch zbiorów typu \(\displaystyle{ \ZZ}\) nie musi być typu \(\displaystyle{ \ZZ}\), niestety( a nawet wręcz nie będzie typu \(\displaystyle{ \ZZ}\), niestety).

Niech \(\displaystyle{ \left( X_1, \le _{1}\right) ; \left( X_2, \le _2\right) }\) będą zbiorami liniowo uporządkowanymi, tak, że zbiory \(\displaystyle{ X_1,X_2}\) są rozłączne, i zbiór \(\displaystyle{ X_1}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\), oraz zbiór \(\displaystyle{ X_2}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\). Wykażemy, że suma porządkowa \(\displaystyle{ X_1\oplus X_2}\) nie jest podobna do \(\displaystyle{ \ZZ}\), niestety.

Dowód:

Zauważmy że mamy , ponieważ w \(\displaystyle{ \ZZ}\) nie ma liczby największej, więc w zbiorze podobnym \(\displaystyle{ X_1}\) nie ma elementu największego. Podobnie, ponieważ w \(\displaystyle{ \ZZ}\) nie ma liczby najmniejszej, więc również w \(\displaystyle{ X_2}\) nie ma elementu najmniejszego. Para zbiorów \(\displaystyle{ (X_1,X_2 )}\) tworzy przekrój Dedekinda w \(\displaystyle{ X_1 \cup X_2}\) ze sumą porządkową, gdyż udowadniałem kiedyś taki prosty fakt. Przypuśćmy nie wprost, że suma porządkowa \(\displaystyle{ X_1\oplus X_2}\) jest podobna do \(\displaystyle{ \ZZ}\). Wtedy, na mocy ostatniego faktu w poście powyżej, w \(\displaystyle{ X_1\oplus X_2}\) każdy przekrój daje skok, więc nasz przekrój \(\displaystyle{ (X_1,X_2 )}\) daje skok. A zatem w \(\displaystyle{ X_1}\) jest element największy, więc również w \(\displaystyle{ (X_1 , \le_1)}\) jest element największy, więc również w zbiorze podobnym \(\displaystyle{ \ZZ}\) jest element największy-sprzeczność. Wobec czego \(\displaystyle{ (X_1\oplus X_2) \not \approx \ZZ}\)- suma porządkowa \(\displaystyle{ X_1\oplus X_2}\) nie jest podobna do \(\displaystyle{ \ZZ}\), niestety. \(\displaystyle{ \square}\) :lol:
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiór liczb całkowitych z naturalnym porządkiem

Post autor: Jakub Gurak »

Udowodniłem, w ostatnie niedzielne popołudnie, że (podobnie jak w zbiorze liczb całkowitych) również w zbiorze liczb rzeczywistych można 'włożyć w środek' przedział otwarty( będzie można się zastanowić czy w zbiorze liczb rzeczywistych można włożyć w środek przedział domknięty albo czy można włożyć w środek przedział domknięto-otwarty- to też jest ciekawe, ale jeszcze tego nie badałem). Udowodniłem to też w środę innym (mniej formalnym) sposobem. Udowodniłem też dzień wcześniej we wtorek, że suma trzech typów porządkowych: zbioru typu porządku odwrotnego na zbiorze liczb naturalnych, zbioru typu skończonego zbioru liniowo uporządkowanego oraz zbioru typu zbioru liczb naturalnych jest zbiorem typu zbioru liczb całkowitych \(\displaystyle{ \ZZ}\). Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.


Wykażemy, że suma trzech typów porządkowych: zbioru typu zbioru liczb rzeczywistych ujemnych wraz z zerem, przedziału otwartego \(\displaystyle{ (a,b)\subset \RR}\) (gdzie \(\displaystyle{ a<b}\)) oraz zbioru liczb rzeczywistych nieujemnych- wtedy ich suma jest zbiorem typu zbioru liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \RR}\).
DOWÓD TEGO FAKTU::    
Podamy jeszcze jeden dowód tego faktu. Wykorzystamy prawo:

Jeśli \(\displaystyle{ \beta}\) jest typem porządkowym zbioru liczb rzeczywistych: to:

\(\displaystyle{ \beta +1+ \beta = \beta.}\)

(Jest to zadanie z książki: K.Kuratowski, A. Mostowski. Teoria Mnogości. Nie lubię tej książki, bo to nie jest książką o ogólnej teorii mnogości, tam są bardzo specjalistyczne treści, ale parę elementarnych faktów wyczytałem). Polecam zrobić sobie rysunek, wtedy ten fakt stanie się faktem oczywistym.

Dowód będzie nie formalny, bo odczytam z wykresów znanych funkcji, że są to funkcje podobieństwa pomiędzy dwoma odpowiednio danymi zbiorami.

Zauważmy, że zbiór liczb rzeczywistych jest podobny do zbioru liczb rzeczywistych dodatnich. W tym celu użyjemy bardzo specjalistycznej funkcji \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR _{+}}\), danej jako :

\(\displaystyle{ f(x)=2 ^{x}.}\)

(Wbrew pozorom, to nie jest taka prosta funkcja, gdyż jest to funkcja wykładnicza o wykładniku rzeczywistym, a nie naturalnym, więc z punktu widzenia teorii mnogości nie jest to wcale takie proste :lol: . Ale skoro uczy się studentów jak wyglądają wykresy takich funkcji, to własności tych funkcji, które można odczytać z ich wykresów, chyba zostały już zbadane. Ale ja nie wiem, za to głowy już nie dam, to już nie jest teoria mnogości, to analiza matematyczna, także to będzie dowód mniej formalny).

Widać, że jest to bijekcja rosnąca, więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest podobieństwem, i \(\displaystyle{ \RR \approx \RR_+. }\)

Zauważmy, że zbiór \(\displaystyle{ \RR}\) jest podobny do zbioru liczb rzeczywistych ujemnych. Jako podobieństwo określamy funkcję \(\displaystyle{ g:\RR \rightarrow \RR_-}\), daną jako:

\(\displaystyle{ g(x)= \begin{cases} x, \hbox{ dla } x \le -1;\\ \frac{-1}{x+2},\hbox{ dla } x \ge -1. \end{cases} }\)

Czyli prowadzimy prostą \(\displaystyle{ y=x}\) do punktu \(\displaystyle{ (-1,-1)}\), a potem hiperbolę do osi \(\displaystyle{ x}\). Widać, że jest to bijekcja rosnąca, a więc jest podobieństwem i \(\displaystyle{ \RR \approx \RR_-.}\)

Dalej, odcinek otwarty \(\displaystyle{ \left( -1,1\right)}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \RR}\), wystarczy rozważyć funkcję \(\displaystyle{ g:\left( -1,1\right) \rightarrow \RR}\), daną jako:

\(\displaystyle{ g(x)= \frac{x}{1-\left( x ^{2}=x \cdot x \right) } .}\)

I oczywiście odcinek otwarty \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ a<b}\), jest podobny do odcinka otwartego \(\displaystyle{ \left( -1,1\right)}\) poprzez funkcję liniową łączącą punkt o współrzędnych \(\displaystyle{ (a,-1)}\) z punktem o współrzędnych \(\displaystyle{ (b,1).}\)


Możemy zatem przeprowadzić nasz nieformalny dowód:

Dowód:

\(\displaystyle{ \left( \RR_- \cup \left\{ 0\right\} \right) \oplus \left( a,b\right) \oplus \left( \RR_+ \cup \left\{ 0\right\} \right)=\left( \underbrace {\RR_-}_{ \approx \RR}\oplus \left\{ 0\right\}\right)\oplus \underbrace {\left( a,b\right)}_{ \approx \left( -1,1\right) } \oplus \left( \left\{ 0\right\} \oplus \underbrace {\RR_+}_{ \approx \RR}\right) \approx \left( \RR\oplus \left\{ 0\right\} \oplus \underbrace {\left( -1,1\right)}_{ \approx \RR} \right) \oplus \left\{ 0\right\} \oplus \RR \approx \\ \approx \left(\underbrace {\RR\oplus \left\{ 0\right\}\oplus\RR}_{ \approx \RR} \right)\oplus \left\{ 0\right\} \oplus \RR \approx \RR\oplus\left\{ 0\right\}\oplus \RR \approx \RR,}\)

a więc:

\(\displaystyle{ \left( \RR_- \cup \left\{ 0\right\}\right)\oplus \left( a,b\right) \oplus \left( \RR_+ \cup \left\{ 0\right\} \right) \approx \RR.\square}\) Chyba piękne?? 8-)


Udowodnimy jeszcze, że jeśli \(\displaystyle{ \left( A, \le _A\right) }\) jest skończonym zbiorem liniowo uporządkowanym, i jeśli rozważymy na zbiorze liczb naturalnych porządek odwrotny do zwykłego, to suma porządkowa takiego zbioru liczb naturalnych z porządkiem odwrotnym oraz tego skończonego zbioru \(\displaystyle{ A}\) i zbioru liczb naturalnych ze zwykłym porządkiem, wtedy suma porządkowa jest podobna do zbioru liczb całkowitych \(\displaystyle{ \ZZ.}\)

Dowód:

Zauważmy najpierw, że zbiór \(\displaystyle{ \left( \NN, \ge := \le ^{-1} \right)}\) jest podobny do zbioru liczb całkowitych ujemnych \(\displaystyle{ \left( \ZZ_-, \le .\right) }\) Dla dowodu wystarczy rozważyć funkcję:

\(\displaystyle{ f:\NN \rightarrow \ZZ_-,}\) daną jako :

\(\displaystyle{ f(n)=-n-1.}\)

Łatwo jest pokazać, że jest to dobrze określona bijekcja. I jest monotoniczna,

gdyż jeśli (dla \(\displaystyle{ n_1, n_2\in\NN}\)), jeśli \(\displaystyle{ n_1 \le ^{-1} n_2}\), to:

\(\displaystyle{ n_1 \ge n_2}\), wtedy \(\displaystyle{ -n_1 \le -n_2}\), i dalej

\(\displaystyle{ f(n_1)=-n_1-1 \le -n_2-1=f(n_2)}\),

czyli \(\displaystyle{ f(n_1) \le f(n_2)}\), i funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest monotoniczna.

Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją monotoniczną pomiędzy \(\displaystyle{ \ZZ_-\subset \ZZ}\) zbiorem liniowo uporządkowanym, a \(\displaystyle{ \NN}\) ( :!: z porządkiem odwrotnym ) też jest to zbiór liniowo uporządkowany, gdyż zwykły porządek na zbiorze liczba naturalnych jest liniowy, a tu mamy do niego porządek odwrotny, a porządek odwrotny do liniowego jest liniowy na tym samym zbiorze, wobec czego \(\displaystyle{ (\NN, \ge)}\) jest również zbiorem liniowo uporządkowanym, a więc \(\displaystyle{ f}\) jest podobieństwem, i \(\displaystyle{ \left( \NN, \ge \right) \approx\left( \ZZ_-, \le\right) .}\)

Teraz:

Jeśli \(\displaystyle{ A=\emptyset}\), to:

\(\displaystyle{ \left( \NN, \ge \right) \oplus \emptyset \oplus \left( \NN, \le\right) =\left( \NN, \ge\right) \oplus \left( \NN, \le \right) \approx \ZZ_-\oplus\NN =\ZZ. }\)

Jeśli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty, to:

Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest skończony, to \(\displaystyle{ A}\) jest równoliczny z pewną liczbą naturalną von Neumanna, tzn. \(\displaystyle{ A\sim n}\), gdzie \(\displaystyle{ n\in\NN}\). Rozważmy zbiór:

\(\displaystyle{ \left\{ -1,-2,\ldots, -n\right\} =\left[ -n,-1\right]\sim A.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ (-n), -1\in\ZZ}\), to ten zbiór \(\displaystyle{ \left[ -n,-1\right]}\) jest przedziałem w \(\displaystyle{ \ZZ}\), (bo zbiory w takiej postaci są zawsze przedziałami), więc jest to przedział w zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ}\), przedział nie będącym przedziałem początkowym ani resztą. W związku z czym, na mocy dowodu w poście powyżej, suma porządkowa \(\displaystyle{ \ZZ_-\oplus \left[ -n,-1\right] \oplus \NN}\) jest podobna do \(\displaystyle{ \ZZ.}\)

Mamy \(\displaystyle{ \ZZ_- \approx \left( \NN, \ge = \le ^{-1} \right)}\), oraz ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest równoliczny z przedziałem \(\displaystyle{ \left[ -n,-1\right]}\) ( przedziałem w zbiorze liczb całkowitych), i \(\displaystyle{ A}\) jest skończony, zatem ponieważ każde dwa skończone zbiory liniowo uporządkowane i równoliczne są podobne (również można wyczytać ten fakt w książce: Kuratowski, Mostowski. Teoria Mnogości ), a zatem zatem zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \left[ -n,-1\right] }\). Wobec czego:

\(\displaystyle{ (\NN, \ge ) \oplus \left( A, \le _A\right) \oplus \NN \approx \ZZ_-\oplus \left[ -n,-1\right] \oplus \NN \approx \ZZ}\), a więc

\(\displaystyle{ \left( \NN, \ge\right) \oplus \left( A, \le _A\right) \oplus\left( \NN, \le \right) \approx \left( \ZZ, \le\right) }\) .

Wobec czego otrzymujemy, jeśli typ zbioru liczb całkowitych oznaczymy przez \(\displaystyle{ \alpha }\), a typ porządku odwrotnego do porządku liniowego o typie \(\displaystyle{ \beta,}\) oznaczymy jako \(\displaystyle{ \beta ^{-1}}\), to mamy równość typów porządkowych: \(\displaystyle{ \omega ^{-1}+n+\omega= \alpha .\square}\) :D

Tu formalnie jest niezręczność- formalnie nie możemy rozważać sumy porządkowej \(\displaystyle{ \ZZ_-\oplus \left[ -n,-1\right]\oplus \NN}\), gdyż zbiory \(\displaystyle{ \ZZ_-}\) oraz \(\displaystyle{ \left[ -n,-1\right]}\) nie są rozłączne ( chociażby \(\displaystyle{ -1}\) jest wspólnym elementem ). Ale ponieważ w tezie jest tylko mowa o podobieństwie, a nie problem zbiory urozłącznić (czyli przerobić na inne, tak aby otrzymane zbiory już były rozłączne), i tak żeby były podobne do wejściowych zbiorów, a w użytym fakcie w dowodzie w poście powyżej, tam już chyba to uwzględniłem, więc chyba się wytłumaczyłem, i chyba mi wybaczycie tą występującą tu niedogodność. Przepraszam.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiór liczb całkowitych z naturalnym porządkiem

Post autor: Jakub Gurak »

Zauważmy, że w zbiorze liczb całkowitych ograniczone od góry podzbiory mają liczby największe i ograniczone od dołu zbiory mają liczby najmniejsze. Zauważmy, że podobne własności ma zbiór liczb naturalnych- ograniczone od góry podzbiory mają liczby największe i niepuste podzbiory mają liczby najmniejsze; i zauważmy, że w zbiorze skończonym, niepuste podzbiory, są skończone i niepuste, a zatem mają elementy najmniejsze i największe. Łącząc te fakty, wysnułem spostrzeżenie, że dowolny zbiór liniowo uporządkowany podobny do pewnego podzbioru zbioru liczb całkowitych ma takie dwie własności, co przedwczoraj udowodniłem. Zauważmy jeszcze, że nie w każdym zbiorze liniowo uporządkowanym tak musi być. Wystarczy rozważyć zbiór liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem- zbiór liniowo uporządkowany, oraz odcinek otwarty \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)\subset \RR}\), wtedy ten odcinek \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\) nie ma liczby największej (\(\displaystyle{ 1}\) byłoby liczbą największą, ale \(\displaystyle{ 1}\) jest wyrzucone ze zbioru, wobec czego ten zbiór nie ma elementu największego), i \(\displaystyle{ 2}\) jest ograniczeniem górnym tego zbioru, a więc zbiór \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\) jest niepustym zbiorem ograniczonym od góry nie mającym elementu największego, co dowodzi, że ogólnie zbiór liniowo uporządkowany nie musi mieć tej własności. Również zbiór liniowo uporządkowany nie musi mieć tej drugiej własności- wystarczy rozważyć znowu zbiór liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem- zbiór liniowo uporządkowany, i rozważyć znowu odcinek otwarty \(\displaystyle{ \left(0,1 \right)\subset \RR}\)- wtedy taki odcinek nie ma liczby najmniejszej (\(\displaystyle{ 0}\) byłoby liczbą najmniejszą, ale \(\displaystyle{ 0}\) jest wyrzucone ze zbioru , wobec czego ten zbiór nie ma liczby najmniejszej ) , i \(\displaystyle{ -1}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\) , a więc odcinek \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\) jest niepustym zbiorem ograniczonym z dołu nie mającym elementu najmniejszego, co dowodzi, że w ogólności, zbiór liniowo uporządkowany tej własności również nie musi mieć. Natomiast zbiory typu podzbiorów zbioru liczb całkowitych mają takie dwie własności, gdyż to przedwczoraj udowodniłem. Przedstawię teraz dowód tego faktu.


Podajmy najpierw trzy lematy:

LEMAT 1. Rozważmy zbiór liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem \(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\), oraz dowolny niepusty podzbiór \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\). Wykażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma element największy.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Pokażemy najpierw, że zbiór \(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\) jest podobny do zbioru \(\displaystyle{ \left( \NN, \ge: = \le ^{-1} \right)}\).

Wystarczy określić funkcję \(\displaystyle{ f:\NN \rightarrow \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\), daną jako:

\(\displaystyle{ f(n)= -n.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ n\in\NN}\), to \(\displaystyle{ n\in\ZZ}\), a więc \(\displaystyle{ \left( -n\right) \in \ZZ}\), mamy \(\displaystyle{ n \ge 0}\), a więc \(\displaystyle{ \left( -n\right) \le 0}\), i \(\displaystyle{ \left( -n\right) \in \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\},}\) i funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest dobrze określona.

Łatwo pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa i 'na' oraz, że jest monotoniczna. Ponieważ jest to funkcja pomiędzy \(\displaystyle{ \left( \NN, \ge\right) }\) ( :!: z porządkiem odwrotnym do zwykłego , ale zwykly porządek na zbiorze liczb naturalnym oczywiście jest liniowy, a porządek odwrotny do liniowego jest liniowy na tym samym zbiorze, wobec czego \(\displaystyle{ \left( \NN, \ge\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym), a pomiędzy \(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\) - zbiorem liniowo uporządkowanym, wobec czego funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest podobieństwem, i zbiór \(\displaystyle{ \left( \NN, \ge\right) }\) jest podobny do zbioru \(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}.}\)

Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ -A}\), dany jako:

\(\displaystyle{ -A=\left\{ -n\Bigl| \ \ n\in A \right\}.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ n\in A\subset \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \subset \ZZ}\),

to \(\displaystyle{ n\in\ZZ}\), wtedy również \(\displaystyle{ -n \in \ZZ}\), i mamy \(\displaystyle{ n \le 0}\), a więc \(\displaystyle{ -n \ge 0}\), a więc \(\displaystyle{ \left( -n\right)\in\NN}\), i \(\displaystyle{ \left( -A\right) \subset \NN}\).

Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty, więc również zbiór \(\displaystyle{ \left( -A\right)}\) jest niepusty, i jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych, a więc, na podstawie zasady minimum, zbiór \(\displaystyle{ \left( -A\right)}\) ma liczbę najmniejszą \(\displaystyle{ n\in \left( -A\right)}\). Wtedy \(\displaystyle{ n}\) jest elementem największym zbioru \(\displaystyle{ \left( -A \right)}\), względem porządku odwrotnego \(\displaystyle{ \left( \NN, \ge \right). }\)

Pokażemy (dla powyższego podobieństwa \(\displaystyle{ f}\) miedzy tymi dwoma zbiorami liniowo uporządkowanymi), że element \(\displaystyle{ f(n)}\) jest największy w \(\displaystyle{ A}\).
Mamy \(\displaystyle{ n\in \left( -A\right)}\), a wiec \(\displaystyle{ n=-m}\), gdzie \(\displaystyle{ m\in A}\), wtedy \(\displaystyle{ f(n)=-n=-\left( -m\right) =m\in A}\), czyli \(\displaystyle{ f(n)\in A}\). Aby wykazać, że element \(\displaystyle{ f(n)}\) jest największy w \(\displaystyle{ A}\), to weźmy \(\displaystyle{ a\in A}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ f(n) \ge a}\). Ponieważ \(\displaystyle{ a\in A}\), to \(\displaystyle{ -a\in \left( -A\right)}\), a \(\displaystyle{ n}\) jest elementem największym zbioru \(\displaystyle{ \left( -A\right)}\) względem porządku odwrotnego \(\displaystyle{ \left( \NN, \ge= \le ^{-1} \right) }\), a więc \(\displaystyle{ \left( -a\right) \le ^{-1} n}\), i ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest podobieństwem, więc \(\displaystyle{ f(-a) \le f(n)}\), czyli z definicji tegoż podobieństwa : \(\displaystyle{ a=-\left( -a\right) \le f(n)}\), czyli \(\displaystyle{ f(n) \ge a}\), i element \(\displaystyle{ f(n)}\) jest największy w \(\displaystyle{ A}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma element największy.\(\displaystyle{ \square}\)

Podajmy jeszcze jeden lemat:

LEMAT 2.

Jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\), czyli do zbioru liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem, a \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset X}\) niepustym podzbiorem ograniczonym z dołu, to zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy.
DOWÓD TEGO FAKTU::    
I jeszcze jeden lemat:

LEMAT 3: Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\) ograniczonym z dołu , to zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy.
DOWÓD TEGO FAKTU::    

Rozważmy zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) podobny do pewnego podzbioru \(\displaystyle{ A\subset \ZZ}\) ( z naturalnym porządkiem na tym podzbiorze). Wykażemy, że zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) ma dwie własności:

1) Jeśli \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq B}\) jest niepustym podzbiorem ograniczonym od góry, to \(\displaystyle{ B}\) ma element największy; i po drugie

2) Jeśli \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq B \subset X}\) jest niepustym podzbiorem ograniczonym od dołu, to zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma element najmniejszy.


DOWÓD TEGO FAKTU:

Ponieważ \(\displaystyle{ X \approx A\subset \ZZ}\), więc na mocy twierdzenia, które udowodniłem TUTAJ , możliwe są tylko cztery przypadki:

1. Zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest skończony, albo
2. \(\displaystyle{ X \approx \NN}\) (z naturalnym porządkiem na liczbach naturalnych), albo
3. \(\displaystyle{ X \approx \ZZ _{-} \cup \left\{ 0\right\}}\)( zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do zbioru liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem), albo
4. \(\displaystyle{ X \approx \ZZ.}\)

Rozważmy je.

1) Jeśli zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem skończonym, a \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq B\subset X}\) niepustym podzbiorem ograniczonym od góry, to \(\displaystyle{ B}\) jest skończony podzbiorem liniowo uporządkowanego, i niepustym, a zatem zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma element największy (jest to prosty fakt, łatwo można go udowodnić indukcyjnie). Zatem zbiór \(\displaystyle{ X}\) ma własność pierwszą.

b) Jeśli \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq B}\) jest niepustym podzbiorem ograniczonym od dołu, wtedy ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest skończony, to również \(\displaystyle{ B}\) jest skończonym i niepustym podzbiorem zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ X}\), a zatem zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma element najmniejszy. Zachodzi więc również własność druga.


Rozważmy teraz przypadek 4).


Wtedy \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do zbioru liczb całkowitych, i wtedy niepuste podzbiory ograniczone od dołu mają elementy najmniejsze, na mocy jednego z lematów udowodnionym w pierwszym poście tego wątku, spełniona jest więc własność druga.

Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do zbioru \(\displaystyle{ \ZZ}\), więc również niepuste podzbiory ograniczone od góry mają elementy największe, na mocy jednego z lematów udowodnionego w tym samym poście co poprzednio użyty lemat. Spełniona jest więc własność pierwsza.


Rozważmy teraz przypadek 2).

Wtedy zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do zbioru \(\displaystyle{ \NN}\), istnieje więc podobieństwo \(\displaystyle{ f:X \rightarrow \NN}\). Rozważmy \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq B\subset X}\) niepusty podzbiór ograniczony od góry. Ponieważ ten zbiór jest ograniczony od góry, istnieje więc ograniczenie górne \(\displaystyle{ x\in X}\) zbioru \(\displaystyle{ B}\). Rozważmy obraz tego zbioru \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f}(B)\subset \NN}\). Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest niepusty, więc jego obraz również jest niepusty- wystarczy wyciągnąć z niepustego zbioru \(\displaystyle{ B}\) element \(\displaystyle{ b\in B}\), i wtedy \(\displaystyle{ f(b)\in \stackrel { \rightarrow }{f} (B)}\), a więc ten obraz jest niepusty.

Wykażemy, że element \(\displaystyle{ f(x)\in\NN}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f}(B)}\). W tym celu weźmy element \(\displaystyle{ y\in \stackrel { \rightarrow }{f} \left( B\right)}\). Wtedy \(\displaystyle{ y=f(b)}\), gdzie \(\displaystyle{ b\in B}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ B}\), więc \(\displaystyle{ b\le x}\), a ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest podobieństwem, więc z monotoniczności otrzymujemy: \(\displaystyle{ y=f(b) \le f(x)}\), czyli \(\displaystyle{ y \le f(x), }\) i element \(\displaystyle{ f(x)}\) jest ograniczeniem górnym obrazu \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f}(B)}\), a więc ten obraz jest ograniczony z góry.
Ale ten obraz jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych niepustym i ograniczonym od góry, a zatem na podstawie zasady maksimum dla liczb naturalnych, zbiór \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f} (B) }\) ma liczbę największą \(\displaystyle{ y\in \stackrel{ \rightarrow }{f}(B)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ y\in \stackrel{ \rightarrow }{f}(B)}\), więc \(\displaystyle{ y=f(b)}\), gdzie \(\displaystyle{ b\in B}\).
Wykażemy, że wtedy element \(\displaystyle{ b}\) jest elementem największym \(\displaystyle{ B}\). Mamy \(\displaystyle{ b\in B}\). Aby wykazać, że jest to element największy zbioru \(\displaystyle{ B}\), weźmy \(\displaystyle{ a\in B}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ a\le b}\). Wtedy \(\displaystyle{ f(a)\in \stackrel { \rightarrow }{f}(B)}\), ponieważ element \(\displaystyle{ y}\) jest największy w obrazie \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow } {f}(B)}\), więc \(\displaystyle{ f(a) \le y=f(b)}\), i ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest podobieństwem, więc z monotoniczności (w drugą stronę), więc \(\displaystyle{ a \le b}\),i z dowolności wyboru \(\displaystyle{ a\in B}\), otrzymujemy, że element \(\displaystyle{ b}\) jest największy w \(\displaystyle{ B}\), i zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma element największy.

Aby pokazać drugą własność, to niech \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq B\subset X}\) będzie niepustym podzbiorem ograniczonym od dołu. Ponieważ \(\displaystyle{ X \approx \NN}\), więc istnieje podobieństwo \(\displaystyle{ f:X \rightarrow \NN}\). Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f}(B)\subset \NN.}\) Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest niepusty, więc jego obraz \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f} (B)}\) również jest niepusty. A jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ \NN}\), a więc z zasady minimum obraz \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f}(B)}\) ma liczbę najmniejszą \(\displaystyle{ n\in \stackrel{ \rightarrow }{f}(B)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ n\in \stackrel{ \rightarrow }{f}(B)}\), więc \(\displaystyle{ n=f(b)}\), gdzie \(\displaystyle{ b\in B}\).
Pokażemy, że element \(\displaystyle{ b}\) jest elementem najmniejszym zbioru \(\displaystyle{ B}\). Mamy \(\displaystyle{ b\in B.}\) Aby pokazać, że element \(\displaystyle{ b}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ B}\), weźmy zatem \(\displaystyle{ a\in B}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ b \le a}\). Wtedy \(\displaystyle{ f(a)\in \stackrel { \rightarrow }{f}(B).}\) Ponieważ \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą najmniejszą zbioru \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f}(B)}\), a więc \(\displaystyle{ f(b)=n \le f(a)}\), i ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest podobieństwem, więc otrzymujemy \(\displaystyle{ b \le a}\), i element \(\displaystyle{ b}\) jest elementem najmniejszym zbioru \(\displaystyle{ B}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma element najmniejszy.


Pozostaje rozważyć przypadek 3).

Wtedy zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do zbioru liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem. Jeśli zatem \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq B\subset X}\) jest niepustym podzbiorem ograniczonym od dołu, to zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma element najmniejszy, na mocy Lematu 2. Spełniona jest więc własność druga.
JESZCZE JEDEN DOWÓD TEGO FAKTU, BARDZIEJ PRZYSTĘPNY::    
Aby wykazać własność pierwszą, to niech \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq B\subset X}\) będzie niepustym podzbiorem ograniczonym od góry. Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\), istnieje więc podobieństwo \(\displaystyle{ f:X \rightarrow \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} .}\) Rozważmy obraz \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f} \left( B\right)\subset \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\). Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest niepusty, wiec jego obraz również jest niepusty. I ten obraz jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem \(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\) . A zatem obraz \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f} (B)}\) ma liczbę największą \(\displaystyle{ y\in \stackrel{ \rightarrow }{f} (B) }\), na mocy Lematu 1. Ponieważ \(\displaystyle{ y\in \stackrel{ \rightarrow }{f}(B)}\), to \(\displaystyle{ y=f(b)}\), gdzie \(\displaystyle{ b\in B}\). Pokażemy, że element \(\displaystyle{ b}\) jest największy w \(\displaystyle{ B}\). Mamy \(\displaystyle{ b\in B}\). Aby wykazać, że element \(\displaystyle{ b}\) jest największy w \(\displaystyle{ B}\), to weźmy \(\displaystyle{ a\in B}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ a \le b}\). Ponieważ \(\displaystyle{ a\in B}\), to \(\displaystyle{ f(a)\in\stackrel{ \rightarrow }{f}(B)}\). Mamy, że element \(\displaystyle{ y}\) jest największy w obrazie \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f}(B)}\), a więc \(\displaystyle{ f(a) \le y=f(b)}\), a ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest podobieństwem, a więc \(\displaystyle{ a \le b}\), i element \(\displaystyle{ b}\) jest największy w \(\displaystyle{ B}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma element największy.\(\displaystyle{ \square}\)

Na mocy przytoczonego faktu, są to wszystkie przypadki, co kończy dowód\(\displaystyle{ .\square }\) :lol:


Jeszcze mam jeden zaległy dowód do zaprezentowania.

Można dość łatwo pokazać, że jeśli mamy dwa zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ \left( A, \le _A\right) ; \left( B, \le _B\right)}\) gdzie zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są rozłączne (wtedy możemy rozważać sumę porządkową na zbiorze \(\displaystyle{ A \cup B}\)), i jeśli mamy przedział początkowy \(\displaystyle{ C\subset A}\), względem zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ A}\), to zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest przedziałem początkowym w \(\displaystyle{ A \cup B}\) względem sumy porządkowej.
DOWÓD TEGO FAKTU::    
Przypomnę, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) podzbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) nazywamy resztą, gdy z każdym elementem \(\displaystyle{ a\in A}\), każdy element \(\displaystyle{ x\in X}\), taki, że \(\displaystyle{ a<x}\), spełnia: \(\displaystyle{ x\in A}\).

Czyli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest resztą, gdy z każdym swoim elementem zawiera również każdy element zbioru liniowo uoorządkowanego \(\displaystyle{ X,}\) który jest od niego większy. Więc jest to zbiór od pewnego momentu zbioru liniowo uporządkowanego do jego końca.

Przypomnę może prawo zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ A ,B}\), gdy zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są rozłączne:

\(\displaystyle{ \left( A\oplus B \right) ^{-1}= B ^{-1}\oplus A ^{-1}.}\)

Czyli porządek odwrotny do sumy porządkowej jest sumą porządkową porządków odwrotnych ( :!: ale w odwrotnej kolejności)- jest to dość elementarny fakt.

I przypomnę, że jeśli w zbiorze liniowo uporządkowanym mamy resztę, to w porządku odwrotnym jest ona przedziałem początkowym, a jeśli w zbiorze liniowo uporządkowanym mamy przedział początkowy, to w porządku odwrotnym jest on resztą- jest to prosty fakt.


I wykażemy, że jeśli mamy dwa zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ \left( A, \le _A\right) ; \left( B, \le _B\right)}\) , gdzie zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są rozłączne (wtedy na zbiorze \(\displaystyle{ A \cup B}\) możemy rozważać sumę porządkową tych dwóch porządków), i jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ C\subset B}\) będący resztą w \(\displaystyle{ \left( B, \le _B\right) }\), to zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest resztą w \(\displaystyle{ A \cup B}\) ze sumą porządkową.

Można to również udowodnić w sposób symetryczny jak dla przedziałów początkowych, a można też zrobić to ciekawiej.

CIEKAWSZY DOWÓD:

Zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest resztą w \(\displaystyle{ \left( B, \le _B\right)}\) , a zatem w porządku odwrotnym \(\displaystyle{ \left( B, \le _B ^{-1}\right) }\) zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest przedziałem początkowym. Rozważmy zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( A, \le _A ^{-1}\right) }\). I rozważmy sumę porządkową na zbiorze \(\displaystyle{ B \cup A=A \cup B}\) porządków \(\displaystyle{ \le _B ^{-1}}\) i \(\displaystyle{ \le _A ^{-1}.}\) Stosując zatem udowodniony powyżej fakt dla przedziałów początkowych otrzymujemy, że zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest przedziałem początkowym w \(\displaystyle{ B \cup A=A \cup B}\) względem \(\displaystyle{ \left( \le _{B ^{-1}\oplus A ^{-1} }\right) =\left( \le _{A\oplus B} \right) ^{-1}}\). A zatem zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest resztą w \(\displaystyle{ A \cup B}\) względem \(\displaystyle{ \left( \left( \le _{A\oplus B}\right) ^{-1}\right) ^{-1}= \left( \le _{A\oplus B}\right) .\square}\) :P
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbiór liczb całkowitych z naturalnym porządkiem

Post autor: Jan Kraszewski »

Jakub Gurak pisze: 20 mar 2022, o 22:05Łącząc te fakty, wysnułem spostrzeżenie, że dowolny zbiór liniowo uporządkowany podobny do pewnego podzbioru zbioru liczb całkowitych ma takie dwie własności, co przedwczoraj udowodniłem.
Ale wiesz, że izomorfizm porządkowy zachowuje wszystkie własności porządkowe?

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiór liczb całkowitych z naturalnym porządkiem

Post autor: Jakub Gurak »

Jakub Gurak pisze: 26 lip 2021, o 21:38\(\displaystyle{
}\)
Na koniec podam fakt, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \ZZ}\), a para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), to przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) daje skok.
Możemy zatem zauważyć, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \ZZ}\), to w \(\displaystyle{ X}\) żaden przekrój nie daje luki.

Zauważmy najpierw, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest dowolnym zbiorem liniowo uporządkowanym, a para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), to jeśli przekrój ten daje skok, to przekrój ten nie daje luki, gdyż:

jeśli przekrój \(\displaystyle{ \left( A,B\right) }\) daje skok, to w \(\displaystyle{ A}\) jest element największy, a stąd wnioskujemy, że przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) nie daje luki.\(\displaystyle{ \square}\)

I podobnie prosto możemy uzasadnić, że jeśli przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) daje lukę w \(\displaystyle{ X}\), to ten przekrój nie daje skoku.


Przejdźmy do dowodu naszego faktu:

DOWÓD:

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \ZZ}\), a para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\). Wykażemy, że przekrój ten nie daje luki.

Ponieważ w zbiorze \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) podobnym do \(\displaystyle{ \ZZ}\), każdy przekrój daje skok, na mocy zacytowanego faktu, więc również nasz przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) daje skok, a udowodniony ogólny fakt o związku między przekrojami dającymi skok a przekrojami dającymi lukę, dzięki niemu otrzymujemy, że: przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) nie daje luki\(\displaystyle{ .\square }\)
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiór liczb całkowitych z naturalnym porządkiem

Post autor: Jakub Gurak »

Wiemy, że suma porządkowa dwóch zbiorów liniowo uporządkowanych typu zbioru liczb całkow\(\displaystyle{ }\)itych \(\displaystyle{ \ZZ}\), wtedy suma porządkowa niestety nie musi być typu \(\displaystyle{ \ZZ}\). Jednak, nawet w takich zbiorach, zauważyłem pewną własność, którą przedwczoraj udowodniłem. Udowodniłem, że jeśli mamy dwa rozłączne zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ X_1}\), \(\displaystyle{ X_2}\), typu zbioru liczb całkowitych \(\displaystyle{ \ZZ}\), to w \(\displaystyle{ X_1 \cup X_2}\) ze sumą porządkową: każdy element ma następnik, i każdy element ma poprzednik. Przedstawię teraz dowód tego ciekawego faktu.


Przypomnijmy, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) element \(\displaystyle{ y}\) jest poprzednikiem elementu \(\displaystyle{ x}\), gdy \(\displaystyle{ y}\) jest elementem największym zbioru \(\displaystyle{ \left\{ z\in X: z<x\right\} .}\)

Czyli jest to największy element silnie mniejszy od \(\displaystyle{ x}\), element bezpośrednio poprzedzający element \(\displaystyle{ x.}\)

Podobnie, w zbiorze \(\displaystyle{ \left( X, \le \right) }\), element \(\displaystyle{ y}\) jest następnikiem elementu \(\displaystyle{ x}\), gdy \(\displaystyle{ y}\) jest najmniejszym elementem silnie większym od \(\displaystyle{ x}\).

Bardzo prosta obserwacja:

Jeśli w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) element \(\displaystyle{ y}\) jest następnikiem elementu \(\displaystyle{ x}\), to element \(\displaystyle{ x}\) jest poprzednikiem elementu \(\displaystyle{ y}\), a jeśli element \(\displaystyle{ y}\) jest poprzednikiem elementu \(\displaystyle{ x}\), to \(\displaystyle{ x}\) jest następnikiem elementu \(\displaystyle{ y}\)- te dwa fakty można łatwo udowodnić.

Wykażemy teraz:

LEMAT 0. W zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) element \(\displaystyle{ y}\) jest następnikiem elementu \(\displaystyle{ x}\), dokładnie wtedy, gdy y jest poprzednikiem elementu \(\displaystyle{ x}\) względem porządku odwrotnego \(\displaystyle{ \le ^{-1}}\).
DOWÓD TEGO FAKTU::    
Wykażemy teraz:

Lemat 1. W zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) podobnym do zbioru \(\displaystyle{ \ZZ}\), wtedy w \(\displaystyle{ X:}\) każdy element \(\displaystyle{ x\in X}\) ma poprzednik.
DOWÓD TEGO FAKTU::    
Wykażemy teraz:

LEMAT 2: Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \ZZ}\), to w \(\displaystyle{ X:}\) każdy element ma następnik.

Przypomnijmy, porządek naturalny na \(\displaystyle{ \ZZ}\) jest podobny do porządku do niego odwrotnego- jest to prosty fakt.

DOWÓD LEMATU 2:

Niech \(\displaystyle{ x\in X.}\)

Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do zbioru \(\displaystyle{ \ZZ}\), to również odpowiadające porządki odwrotne są podobne, czyli: \(\displaystyle{ \left( X, \le _X ^{-1} \right) \approx \left( \ZZ, \le ^{-1} \right) \approx \ZZ}\),

czyli: \(\displaystyle{ \left( X, \le _X ^{-1} \right) \approx \ZZ.}\)

Ponieważ, jak wykazałem przed chwilą, w zbiorze podobnym do \(\displaystyle{ \ZZ}\): każdy element ma poprzednik, więc element \(\displaystyle{ x}\) ma poprzednik \(\displaystyle{ y'}\), względem \(\displaystyle{ \le _{X} ^{-1}}\), a wtedy, na mocy Lematu 0: element \(\displaystyle{ y'}\) jest następnikiem \(\displaystyle{ x}\), względem \(\displaystyle{ \left( \left( \le _{X} \right) ^{-1} \right) ^{-1} = \left( \le _X\right) .\square}\)

Wykażemy teraz:

Lemat 3: Jeśli mamy dwa rozłączne zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ \left( X_1, \le _1\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( X_2, \le _2\right)}\) , i w zbiorze \(\displaystyle{ X_1:}\) każdy element ma następnik, i w zbiorze \(\displaystyle{ X_2:}\) każdy element ma następnik, to również w zbiorze \(\displaystyle{ X_1 \cup X_2}\) ze sumą porządkową \(\displaystyle{ \le _1\oplus \le _2}\), również tu: każdy element ma następnik.
DOWÓD TEGO FAKTU::    
I teraz chyba ostatni lemat.

Lemat 4. Jeśli mamy dwa rozłączne zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ \left( X_1, \le _1\right) }\); i \(\displaystyle{ \left( X_2, \le _2\right) }\); i w zbiorze \(\displaystyle{ X_1:}\) każdy element ma poprzednik, oraz w zbiorze \(\displaystyle{ X_2:}\) każdy element ma poprzednik, to również w \(\displaystyle{ X_1 \cup X_2}\) ze sumą porządkowa: tu również każdy element ma poprzednik.

Przypomnijmy prawo dwóch (rozłącznych) zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ A,B}\). Wtedy mamy:

\(\displaystyle{ \left( A\oplus B\right) ^{-1}= B ^{-1}\oplus A ^{-1}}\),

porządek odwrotny do sumy porządkowej jest sumą porządkową porządków odwrotnych ( :!: ale w odwrotnej kolejności) - jest to prosty fakt.

DOWÓD LEMATU 4:

Niech \(\displaystyle{ x\in X_1 \cup X_2. }\)

Wykażemy najpierw, że w porządku odwrotnym \(\displaystyle{ \left( X_1, \le _1 ^{-1} \right) }\) każdy element ma następnik. Niech \(\displaystyle{ x\in X_1.}\) Wtedy, na podstawie naszych założeń, element \(\displaystyle{ x}\) ma poprzednik \(\displaystyle{ y}\) względem \(\displaystyle{ \le _1}\), a więc \(\displaystyle{ y}\) jest następnikiem elementu \(\displaystyle{ x}\) względem \(\displaystyle{ \le ^{-1}}\), i w \(\displaystyle{ \left( X_1, \le_{1} ^{-1} \right)}\) każdy element ma następnik.

W podobnie prosty sposób uzasadniamy, że w porządku odwrotnym \(\displaystyle{ \left( X_2, \le _2 ^{-1} \right)}\) każdy element ma następnik.

Mamy zatem dwa rozłączne zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ \left( X_2, \le _{2} ^{-1} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( X_1, \le _{1} ^{-1} \right)}\), i w obydwu z nich, mają taką własność, ze każdy element ma następnik. Stosując zatem powyżej udowodniony lemat, otrzymujemy, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X_2 \cup X_1, \le _{2} ^{-1}\oplus \le _{1} ^{-1} \right)}\): każdy element ma następnik.

Niech \(\displaystyle{ x \in X_1 \cup X_2= X_2 \cup X_1}\). Wtedy element \(\displaystyle{ x}\) ma następnik \(\displaystyle{ y}\) względem \(\displaystyle{ \left( \le _2 ^{-1} \oplus \le _1 ^{-1} \right) .}\) Wtedy \(\displaystyle{ x}\) jest poprzednikiem y względem porządku do niego odwrotnego, czyli względem: \(\displaystyle{ \left( \le _{2} ^{-1} \oplus \le _{1} ^{-1} \right) ^{-1}= \left( \le _1 ^{-1} \right) ^{-1}\oplus \left( \le _{2} ^{-1} \right) ^{-1}= \left( \le _{1} \oplus \le _2\right) . \square}\) :lol:


Możemy zatem rozwiązać nasz problem, tzn.:

Rozważmy dwa rozłączne zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ \left( X_1, \le _1\right) ; \left( X_2, \le _2\right) }\) podobne do zbioru \(\displaystyle{ \ZZ}\). Rozważmy sumę porządkową \(\displaystyle{ \le _1\oplus \le _2}\) na \(\displaystyle{ X_1 \cup X_2}\). Wykażemy, że każdy element \(\displaystyle{ x\in X_1 \cup X_2}\) ma następnik, i każdy element zbioru \(\displaystyle{ X_1 \cup X_2}\) ma poprzednik.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X_1}\) jest podobny do zbioru \(\displaystyle{ \ZZ}\), to na mocy Lematu 1: każdy element zbioru \(\displaystyle{ X_1}\) ma poprzednik. Ponieważ \(\displaystyle{ X_2 \approx \ZZ}\), więc podobnie każdy element zbioru \(\displaystyle{ X_2}\) ma poprzednik; ponieważ są to dwa rozłączne zbiory liniowo uporządkowane w których (obydwu) każdy element ma poprzednik, to, na mocy Lematu 4: również w \(\displaystyle{ X_1 \cup X_2}\) ze sumą porządkową każdy element ma poprzednik, co kończy połowę tego dowodu.

Drugą połowę można udowodnić analogicznie wykorzystując Lemat 2 i Lemat 3. Można też inaczej, ciekawiej to zrobić:

Zauważmy, że:

\(\displaystyle{ \left( \le _1\oplus \le _2\right) = \left( \le _{1} ^{-1}\right) ^{-1} \oplus \left( \le _{2} ^{-1}\right) ^{-1} = \left( \le _{2} ^{-1} \oplus \le _{1} ^{-1} \right) ^{-1} .}\)

Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X_2}\) jest podobny do zbioru \(\displaystyle{ \ZZ}\), to \(\displaystyle{ \left( X_2, \le _2 ^{-1} \right) \approx \left( \ZZ, \le ^{-1} \right) \approx \ZZ}\), a więc \(\displaystyle{ \left( X_2, \le _2 ^{-1} \right) \approx \ZZ}\). Ponieważ \(\displaystyle{ X_1 \approx \ZZ}\), to podobnie \(\displaystyle{ \left( X_1, \le ^{-1} _1 \right) \approx \ZZ.}\)

Ponieważ są to zbiory podobne do \(\displaystyle{ \ZZ}\), to w \(\displaystyle{ \left( X_2, \le _2 ^{-1}\right): }\) każdy element ma poprzednik; i zbiór \(\displaystyle{ \left( X_1, \le ^{-1} _1 \right)}\) również ma tą własność. Ponieważ są to dwa zbiory liniowo uporządkowane rozłączne w których każdy element ma poprzednik, więc na mocy Lematu 4: w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X_2 \cup X_1, \le _{2} ^{-1}\oplus \le _{1} ^{-1} \right)}\), tutaj: każdy element ma poprzednik.

Niech \(\displaystyle{ x\in X_1 \cup X_2=X_2 \cup X_1}\). Wtedy element \(\displaystyle{ x}\) ma poprzednik \(\displaystyle{ y}\) względem \(\displaystyle{ \left( \le _2 ^{-1} \oplus \le _1 ^{-1} \right)}\) , a więc \(\displaystyle{ y}\) jest następnikiem elementu \(\displaystyle{ x}\) względem porządku doń odwrotnego, czyli względem \(\displaystyle{ \left( \le _2 ^{-1}\oplus \le _1 ^{-1} \right) ^{-1}=\left( \le _1\oplus \le _2\right)}\) ,

i każdy element zbioru \(\displaystyle{ X_1 \cup X_2}\) ma następnik.\(\displaystyle{ \square}\) :lol:


I zauważmy, że jeśli mamy \(\displaystyle{ n}\), gdzie \(\displaystyle{ n \ge 1}\), mamy \(\displaystyle{ n}\) zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ X_1, X_2,\ldots, X_n \approx \ZZ }\) typu zbioru \(\displaystyle{ \ZZ}\)- zbiorów rozłącznych, wtedy w \(\displaystyle{ X_1 \cup X_2 \cup \ldots \cup X_n}\) ze sumą porządkową \(\displaystyle{ X_1 \oplus X_2\oplus\ldots\oplus X_n}\), wtedy: każdy element ma następnik i ma poprzednik- łatwo, przez indukcję, możemy to udowodnić. :D
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiór liczb całkowitych z naturalnym porządkiem

Post autor: Jakub Gurak »

Wczoraj na dobranoc udowodniłem sobie, że jeśli mamy \(\displaystyle{ n}\) rozłącznych zbiorów linio\(\displaystyle{ }\)wo uporządkowanych \(\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots, X_n \approx \ZZ}\) typu zbioru liczb całkowitych \(\displaystyle{ \ZZ}\), to jeśli rozważymy sumę porządkową takich zbiorów i porządek odwrotny do tej sumy , to te dwa porządki są tego samego typu, tzn. są podobne. Łatwo też dzisiaj udowodniłem, że jeśli mamy dwa rozłączne zbiory \(\displaystyle{ X_1,X_2 \approx \RR}\) typu zbioru liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \RR}\), to suma porządkowa takich zbiorów i porządek odwrotny do tej sumy , to te dwa porządki są podobne. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.


Przypomnijmy, że jak mamy dwa rozłączne zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ A,B}\) , to:

\(\displaystyle{ \left( A\oplus B\right) ^{-1}= B ^{-1}\oplus A ^{-1}}\),

tzn. porządek odwrotny do sumy porządkowej jest sumą porządkową porządków odwrotnych , ale w odwrotnej kolejności- jest to dość podstawowy fakt.

Stąd łatwo, przez indukcję można udowodnić (korzystając z łączności sumy porządkowej) prawo zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots X_n}\) ( na zbiorach rozłącznych) :

\(\displaystyle{ \left( X_1 \oplus X_2\oplus \ldots \oplus X_n \right) ^{-1} = X_n ^{-1}\oplus X _{n-1} ^{-1}\oplus \ldots \oplus X_2 ^{-1}\oplus X_1 ^{-1}}\),

czyli porządek odwrotny do sumy porządkowej zbiorów \(\displaystyle{ X_1, X_2,\ldots, X_n}\) jest sumą porządkową porządków odwrotnych- ale w odwrotnej kolejności- łatwo, poprzez indukcję, możemy to udowodnić.

Zauważmy jeszcze, że porządek naturalny na zbiorze liczb całkowitych i porządek do niego odwrotny- te dwa porządki są podobne, czyli \(\displaystyle{ \ZZ \approx \ZZ ^{-1}-}\) jest to dość oczywisty fakt.


Przejdźmy do naszego zadania.

Rozważmy \(\displaystyle{ n}\) zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots, X_n \approx \ZZ}\) typu zbioru liczb całkowitych \(\displaystyle{ \ZZ.}\) Wykazemy, że:

\(\displaystyle{ X_1\oplus X_2\oplus \ldots \oplus X_n \approx \left( X_1\oplus X_2\oplus \ldots \oplus X_n\right) ^{-1},}\)

czyli wykażemy, że suma porządkowa takich zbiorów i porządek do tej sumy odwrotny - te dwa porządki są podobne.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy:

\(\displaystyle{ \left( X_1\oplus X_2\oplus \ldots \oplus X_n\right) ^{-1}= X_n ^{-1}\oplus X _{n-1} ^{-1}\oplus \ldots \oplus X_2 ^{-1} \oplus X_1 ^{-1}.}\)

Teraz zauważmy, że dla każdego \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots, n}\) mamy, na mocy naszego założenia: \(\displaystyle{ X_i \approx \ZZ}\), a zatem \(\displaystyle{ X_i ^{-1} \approx \ZZ ^{-1} \approx \ZZ \approx X _{\left( n-i+1\right) }}\) - ostatnia relacja wynika stąd, gdyż łatwo zauwązyć, że numer \(\displaystyle{ \left( n-i+1\right) \in \left\{ 1,2,\ldots, n\right\}}\) , a zatem odpowiadajacy mu zbiór- jest to zbiór podobny do zbioru \(\displaystyle{ \ZZ}\). Otrzymujemy zatem, że dla kazdego \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots, n}\), mamy: \(\displaystyle{ X_i ^{-1} \approx X _{\left( n-i+1\right) }}\), czyli:

\(\displaystyle{ X_n ^{-1} \approx X_1, X _{n-1} ^{-1} \approx X_2, \ldots, X_1 ^{-1} \approx X_n}\), a zatem:

\(\displaystyle{ \left( X_1\oplus X_2\oplus \ldots \oplus X_n \right) ^{-1} = X_n ^{-1}\oplus X _{n-1} ^{-1}\oplus \ldots \oplus X_2 ^{-1} \oplus X_1 ^{-1} \approx X_1\oplus X_2\oplus \ldots \oplus X_n. \square}\) :lol:


Udowodnimy teraz nasz drugi fakt, tzn.:

Rozważmy dwa rozłączne zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ X_1,X_2 \approx \RR}\), typu zbioru \(\displaystyle{ \RR}\). Wykażemy, że:

\(\displaystyle{ \left( X_1\oplus X_2\right) ^{-1} \approx X_1\oplus X_2}\),

czyli, że suma porządkowa takich dwóch zbiorów jest tego samego typu co porządek odwrotny do tej sumy.

Nim to zrobimy, przypomnijmy, taki fakt, że jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ A\subset \RR}\), zbiór symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), to porządek naturalny na tym zbiorze i porządek do niego odwrotny, to te dwa porządki są tego samego typu.

Aha, muszę przypomnieć definicję zbioru symetrycznego względem \(\displaystyle{ 0}\).

Zbiór \(\displaystyle{ A\subset\RR}\) nazywamy zbiorem symetrycznym wzgledem \(\displaystyle{ 0}\), gdy spełniona jest implikacja:

\(\displaystyle{ x\in A \Longrightarrow \left( -x\right) \in A}\),

czyli zbiór jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), gdy z każdym swoim elementem zawiera również liczbę przeciwną do tego elementu.

Latwo zauwazyć, że suma dwóch zbiorów symetrycznych względem \(\displaystyle{ 0}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), oraz, że przekrój dwóch zbiorów symetrycznych względem \(\displaystyle{ 0}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\). Zagadka na czujność: Czy zbiór jednoelementowy może być zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\) :?:

Przejdźmy do dowodu naszego faktu:

DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy:

\(\displaystyle{ \left( X_1 \oplus X_2\right) ^{-1}= X_2 ^{-1}\oplus X_1 ^{-1},}\)

Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X_2}\) jest podobny do zbioru \(\displaystyle{ \RR}\), to \(\displaystyle{ X_2 ^{-1} \approx \RR ^{-1}}\) , i ponieważ zbiór liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \RR}\) jest niewątpliwie symetryczny względem \(\displaystyle{ 0,}\) to na mocy przytoczonego faktu: porządek naturalny na \(\displaystyle{ \RR}\) i porządek do niego odwrotny- te dwa porządki są podobne.

A zatem:

\(\displaystyle{ X_2 ^{-1} \approx \RR ^{-1} \approx \RR \approx X_1}\), czyli \(\displaystyle{ X_2 ^{-1} \approx X_1}\).

W sposób analogiczny udowadniamy, że: \(\displaystyle{ X_1 ^{-1} \approx X_2}\); w zwiazku z czym:

\(\displaystyle{ \left( X_1\oplus X_2\right) ^{-1}= X_2 ^{-1}\oplus X_1 ^{-1} \approx X_1\oplus X_2. \square}\)


Mam jeszcze jeden albo dwa zaległe dowody (ale z jednego tematu) do zaprezentowania.

Przypomnijmy najpierw (widzę, że w całym tym wątku nie podałem nigdzie definicji reszty ani przedziału, myślałem, że zwykle przypominam, a tu nie ma tego, jestem sobą zawiedziony :? ), ale teraz przypomnę definicję reszty w zbiorze liniowo uporządkowanym.

Przypomnijmy, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right) }\) podzbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) nazywamy resztą, gdy dla każdego \(\displaystyle{ a\in A}\), i dla każdego \(\displaystyle{ x\in X}\), takiego, że \(\displaystyle{ x>a}\) zachodzi: \(\displaystyle{ x\in A.}\)

Czyli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest resztą, gdy z każdym swoim elementem zawiera również każdy element zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ X}\), który jest od niego większy. Czyli jest to zbiór 'od pewnego momentu ' zbioru liniowo uporządkowanego do końca- jest to pojęcie symetryczne do pojęcia przedziału początkowego zbioru liniwo uporządkowanego.

Przypomnijmy, że jeśli w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) podzbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest resztą, to w porządku odwrotnym zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym. A jeśli zbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) jest przedziałem początkowym w \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\), to w porządku odwrotnym zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest resztą- są to dość proste fakty.

Przypomnijmy, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) roddziną wszystkich zbiorów liniowo uporządkowanych na pewnych podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\), to możemy rozważać relację \(\displaystyle{ \succcurlyeq}\) pomiędzy takimi dwoma zbiorami liniowo uporządkowanymi, daną jako:

\(\displaystyle{ \left( X_1, \le _{1} \right) \succcurlyeq \left( X_2, \le _{2} \right) \Longleftrightarrow X_2\supset X_1 \wedge \left( \hbox{ porządek } \le_2\hbox{ rozszerza porządek } \le _1, \hbox{ tzn.: } \left( \le _2\right) \supset \left( \le _1\right) \ \right) \wedge \\ \wedge \ \ \left( x\in X_1, y\in X_2 \setminus X_1 \Longrightarrow y \le _2 x\right) . }\)

czyli jeden zbiór liniowo uporządkowany jest mniejszy od drugiego zbioru liniowo uporządkowanego, jeśli zbiór na którym jest określony ten liniowy porządek, który razem z nim tworzy pierwszy zbiór liniowo uporządkowany, gdy jest mniejszy pod względem inkluzji od drugieo zbioru liniowo uporządkowanego, i porządek na większym zbiorze jest rozszerzeniem porządku na mniejszym zbiorze przez dodanie elementów mniejszych od wszystkich zastanych. Można wykazać, że jest to relacja porządku, i jeśli weźmiemy niepusty łańcuch \(\displaystyle{ \mathbb{D}\subset \mathbb{B} }\) to ma on supremum (którym jest odpowiednia suma mnogościowa).

Analogicznie definiujemy relację rozszerzenia \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\) przez dodanie elementów większych, tzn. zbiór liniowo uporządkowany jest mniejszy od drugiego zbioru liniowo uporządkowanego, gdy większy z tych zbiorów liniowo uporządkowanych jest rozszerzeniem mniejszego zbioru liniowo uporządkowanego, i to przez dodanie elementów, tym razem, większych, od wszystkich zastanych.

Mamy prawo, tzn. dla takich liniowych porządków \(\displaystyle{ R,S}\), wtedy mamy prawo:

\(\displaystyle{ R\succcurlyeq S \Longleftrightarrow R ^{-1} \sqsubseteq S ^{-1} }\),

czyli jeśli pomiędzy dwoma liniowymi porządkami mamy rozszerzenie przez dodanie elementów mniejszych, to na odpowiadających porządkach odwrotnych mamy rozszerzenie przez dodanie elementów większych . Dowód tej, intuicyjnie oczywistej, zależności przedstawiłem TUTAJ, I ten fakt przyda nam się.


I oto nasz problem:

Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz dwa podzbiory \(\displaystyle{ X_1,X_2\subset X}\) liniowo uporządkowane przez pewne porządki, oznaczmy je odpowiednio jako: \(\displaystyle{ R_1}\) i \(\displaystyle{ R_2}\). Załóżmy, że pomiędzy porządkami \(\displaystyle{ R_1}\) a \(\displaystyle{ R_2}\) mamy rozszerzenie przez dodanie elementów mniejszych, tzn. załózmy, że zachodzi relacja: \(\displaystyle{ R_1 \succcurlyeq R_2.}\) Wykażemy, że zbiór \(\displaystyle{ X_1}\) jest resztą w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X_2,R_2\right).}\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy, że porządek \(\displaystyle{ R_2}\) rozszerza porządek \(\displaystyle{ R_1}\). Ponieważ porządek rozszerzający musi być określony na nadzbiorze zbioru, na którym jest określony porządek dany (jest to elementarny fakt) , więc \(\displaystyle{ X_2\supset X_1}\), jak trzeba, bo reszta w \(\displaystyle{ X_2}\) powinna być podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X_2}\), no i jest. Aby wykazać, że zbiór \(\displaystyle{ X_1}\) jest resztą, to weźmy \(\displaystyle{ x\in X_1}\), oraz weźmy element \(\displaystyle{ y\in X_2}\), taki, że \(\displaystyle{ x\left( R_2\right) y}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ y\in X_1}\).

Przypuścmy, że tak nie jest. Wtedy \(\displaystyle{ y\in X_2 \setminus X_1}\), i \(\displaystyle{ x\in X_1}\), i mamy \(\displaystyle{ R_1 \succcurlyeq R_2}\), stosując zatem definicję tej relacji \(\displaystyle{ \succcurlyeq}\), wnioskujemy, że: \(\displaystyle{ y \left( R_2\right) x}\). Mamy \(\displaystyle{ x\left( R_2\right) y}\), ponieważ relacja \(\displaystyle{ R_2}\) jest liniowym porządkiem, a więc jest antysymetryczna, a więc: \(\displaystyle{ x=y. }\) Ponieważ \(\displaystyle{ x\in X_1}\), to również \(\displaystyle{ y\in X_1}\)- sprzeczność\(\displaystyle{ . \square}\)

Wykażemy jeszcze, że jeśli mamy zbór \(\displaystyle{ X}\), oraz dwa podzbiory \(\displaystyle{ X_1,X_2\subset X}\) liniowo uporządkowane przez pewne porządki \(\displaystyle{ R_1}\) i \(\displaystyle{ R_2}\), i pomiędzy nimi mamy rozszerzenie przez dodanie elementów większych, tzn. gdy zachodzi relacja \(\displaystyle{ R_1 \sqsubseteq R_2}\), to zbiór \(\displaystyle{ X_1}\) jest przedziałem początkowym w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X_2, R_2\right) .}\)

Można oczywiście dowód tegio faktu przeprowadzić w sposób analogiczny jak powyżej, ale można też przeprowadzić:

CIEKAWSZY DOWÓD TEGO FAKTU:

Ponieważ \(\displaystyle{ R_1 \sqsubseteq R_2}\), czyli pomiędzy tymi porządkami mamy rozszerzenie przez dodanie elementów większych, więc na odpowiadających im porządkach odwrotnych, w myśł dowodu z podanego linku, będziemy wtedy mieć rozszerzenie przez dodanie elementów mniejszych, czyli będzie zachodzić relacja: \(\displaystyle{ R_1 ^{-1} \succcurlyeq R_2 ^{-1}}\) . Ponieważ porządek odwrotny do liniowego jest liniowy na tym samym zbiorze, to pary \(\displaystyle{ \left( X_1, R_1 ^{-1} \right)}\) ;\(\displaystyle{ \left( X_2,R_2 ^{-1} \right) }\) są zbiorami liniowo uporządkowanymi, i mamy relację \(\displaystyle{ R_1 ^{-1} \succcurlyeq R_2 ^{-1}}\) , stosując zatem fakt udowodniony powyżej, otrzymujemy, że zbiór \(\displaystyle{ X_1}\) jest resztą w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X_2,R_2 ^{-1} \right)}\) , a zatem zbiór \(\displaystyle{ X_1}\) jest przedzialem początkowym w porządku do niego odwrotnym, czyli w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X_2, \left( \left( R_2\right) ^{-1}\right) ^{-1} =R_2 \right) . \square }\) :lol:
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiór liczb całkowitych z naturalnym porządkiem

Post autor: Jakub Gurak »

Można też łatwo zauważyć, że jeśli mamy dwa rozłączne zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ \left( A, \le _A\right) }\) i \(\displaystyle{ \left( B, \le _B\right) }\), (wtedy możemy rozważać sumę porządkową takich zbiorów), i wtedy: \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right) \sqsubseteq\left( A \cup B, \le _{A\oplus B} \right)}\), czyli wtedy, taka suma porządkowa rozszerza (i to przez dodanie elementów większych od wszystkich zastanych) pierwszy składnik tej sumy- można to łatwo udowodnić.

Wczoraj wykazałem, że jeśli \(\displaystyle{ n=1,2,3,\ldots}\) jest dodatnią liczbą naturalną, to zbiór \(\displaystyle{ n}\)-krotnych wielokrotności wszystkich liczb całkowitych jest typu zbioru liczb całkowitych.
Wykazałem również, że jeśli mamy zbiór oraz jeśli mamy dwa jego podzbiory, to te dwa podzbiory są rozłączne, dokładnie wtedy, gdy dopełnienie pierwszego zbioru zawiera drugi zbiór, a to zachodzi również dokładnie wtedy, gdy dopełnienie drugiego zbioru zawiera pierwszy zbiór. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.

Niech \(\displaystyle{ n \in \NN_+}\) będzie dodatnią liczbą naturalną.
Rozważmy zbiór:
\(\displaystyle{ n\ZZ:= \left\{ n \cdot a\Bigl| \ a \in \ZZ\right\}.}\)
Wykażemy, że ten zbiór \(\displaystyle{ \left( n\ZZ\right)}\) jest podobny do zbioru \(\displaystyle{ \ZZ}\).

Nim to udowodnimy przypomnijmy (dość prosty fakt) mówiący, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do pewnego podzbioru zbioru liczb całkowitych, to są jedynie cztery możliwości:

\(\displaystyle{ 1^{\circ}:}\) \(\displaystyle{ \hbox{Zbiór } X \hbox{ jest skończony;}}\)
\(\displaystyle{ 2^{\circ}:}\) \(\displaystyle{ X \approx \NN;}\)
\(\displaystyle{ 3^{\circ}:}\) \(\displaystyle{ X \approx \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\};}\)
\(\displaystyle{ 4 ^{\circ}:}\) \(\displaystyle{ X \approx \ZZ}\).

W jednym poście powyżej można znaleźć odnośnik (link) do dowodu tego faktu.
Przejdźmy do dowodu naszego faktu:

DOWÓD TEGO FAKTU:

Ponieważ iloczyn dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą, to \(\displaystyle{ \left( n\ZZ\right) \subset \ZZ}\).
A zatem: \(\displaystyle{ \left( n\ZZ\right) \approx \left( n\ZZ\right) \subset \ZZ}\), więc, na mocy przytoczonego powyższego faktu, możliwe są jedynie cztery przypadki:

\(\displaystyle{ 1^{\circ}:}\) \(\displaystyle{ \hbox{Zbiór } \left( n\ZZ\right) \hbox{ jest skończony;}}\)
\(\displaystyle{ 2^{\circ}:}\) \(\displaystyle{ \left( n\ZZ\right) \approx \NN;}\)
\(\displaystyle{ 3^{\circ}:}\) \(\displaystyle{ \left( n\ZZ\right) \approx \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\};}\)
\(\displaystyle{ 4 ^{\circ}:}\) \(\displaystyle{ \left( n\ZZ\right) \approx \ZZ.}\)

Wykażemy teraz, że zbiór \(\displaystyle{ \left( n\ZZ\right) }\) jest nieskończony.
W tym celu definiujemy funkcję \(\displaystyle{ f:\NN \rightarrow n\ZZ}\), daną jako:

\(\displaystyle{ f\left( m\right)= \left( n \cdot m\right) \in \left( n\ZZ\right).}\)

Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa.
Jeśli \(\displaystyle{ f\left( m_1\right) = f\left( m_2\right)}\), to \(\displaystyle{ n \cdot m_1= n \cdot m_2}\), i ponieważ \(\displaystyle{ n \in \NN_+}\), więc z prawa skracania dla mnożenia w liczbach naturalnych, dostajemy: \(\displaystyle{ m_1=m_2}\), i funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa.
A zatem \(\displaystyle{ \left| n\ZZ\right| \ge \left| \NN\right|}\), a zatem zbiór \(\displaystyle{ \left( n\ZZ\right)}\) jest nieskończony, nie zachodzi zatem pierwszy z naszych przypadków.

Również \(\displaystyle{ \left( n\ZZ\right)\not \approx \NN}\), bo w zbiorze liczb naturalnych \(\displaystyle{ 0}\) jest liczbą najmniejszą, podczas gdy w zbiorze \(\displaystyle{ \left( n\ZZ\right)}\) nie ma liczby najmniejszej, bo jeśli mamy element tego zbioru postaci \(\displaystyle{ n \cdot a}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in \ZZ}\), to również \(\displaystyle{ \left( a-1\right) \in \ZZ}\) i \(\displaystyle{ n\left( a-1\right) \in \left( n\ZZ\right)}\), i mamy \(\displaystyle{ n\left( a-1\right)<na}\), a zatem w zbiorze \(\displaystyle{ \left( n\ZZ\right)}\) nie ma liczby najmniejszej, i \(\displaystyle{ \NN\not \approx \left( n\ZZ\right).}\)

Również \(\displaystyle{ \left( n\ZZ\right) \not \approx \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\), bo w zbiorze liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem zero jest liczbą największą, a możemy łatwo pokazać, że w zbiorze \(\displaystyle{ \left( n\ZZ\right)}\) nie ma liczby największej, a zatem \(\displaystyle{ \left( n\ZZ\right) \not \approx \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} }\), więc pozostaje jedynie możliwość aby: \(\displaystyle{ \left( n\ZZ\right) \approx \ZZ.\square}\) 8-)


Przejdźmy do naszego drugiego faktu:
Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz rozważmy dwa jego podzbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\).
Wykażemy, że poniższe trzy warunki będą równoważne:

\(\displaystyle{ 1^{\circ}: \hbox{Zbiory } A \hbox{ i } B \hbox{ są rozłączne;}}\)
\(\displaystyle{ 2^{\circ}: A'\supset B;}\)
\(\displaystyle{ 3^{\circ}: B'\supset A.}\)

Nim to udowodnimy, przypomnijmy (oczywisty fakt), mówiący, że jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ X,}\) oraz gdy mamy dwa jego podzbiory
\(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), to poniższe trzy warunki są równoważne:

\(\displaystyle{ 1^{\circ}: A \cup B=X;}\)
\(\displaystyle{ 2^{\circ}: A\supset B';}\)
\(\displaystyle{ 3^{\circ}: B\supset A';}\)

tzn. suma tych dwóch podzbiorów daje cały zbiór \(\displaystyle{ X}\), dokładnie wtedy, gdy pierw\(\displaystyle{ }\)szy zbiór zawiera dopełnienie drugiego zbioru, a to zachodzi również dokładnie wtedy, gdy drugi zbiór zawiera dopełnienie pierwszego zbioru- jest to oczywiste.

Przejdźmy do dowodu naszego faktu:

DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy poniższe równoważności:

\(\displaystyle{ \hbox{ Zbiory } A \hbox{ i } B \hbox{ są rozłączne } \Longleftrightarrow A \cap B=\left\{ \right\} \Longleftrightarrow \left( A \cap B=\left\{ \right\} \right)'=X \Longleftrightarrow A' \cup B'=X \Longleftrightarrow }\)

i ponieważ, z definicji dopełnienia mamy \(\displaystyle{ A' , B' \subset X,}\) więc stosując powyższy przytoczony fakt otrzymujemy, że to zachodzi dokładnie wtedy, gdy:

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow A'\supset \left( B'\right)'=B;}\)

jak i to zachodzi również dokładnie wtedy, gdy:

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow B'\supset \left( A'\right)'=A.\square}\) :P

Zbiór liczb całkowitych jest przykładem zbioru liniowo uporządkowanego, w którym każdy element ma poprzednik (poprzednikiem liczby \(\displaystyle{ a\in\ZZ}\) jest \(\displaystyle{ a-1}\)), ale nie jest to porządek odwrotny do dobrego, bo gdyby byłby to porządek odwrotny do pewnego dobrego porządku na zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ}\), to w zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ}\), względem tego dobrego porządku, byłby element najmniejszy, a więc względem porządku odwrotnego byłby to element największy, a w zbiorze liczb całkowitych nie ma liczby największej (podobnie jak w zbiorze liczb naturalnych).
Wiemy, że w porządku odwrotnym do dobrego każdy element, z wyjątkiem najmniejszego, ma poprzednik; poprzedni przykład świadczy o tym, że na odwrót być nie musi. Można również skonstruować zbiór liniowo uporządkowany mający element największy, w którym każdy element ma poprzednik, ale nie jest to porządek odwrotny do dobrego. W tym celu rozważmy zbiór liczb całkowitych na poziomie \(\displaystyle{ -1}\) ( liczby całkowite na prostej \(\displaystyle{ y=-1}\)), i rozważmy zbiór liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem na poziomie \(\displaystyle{ 0}\) (na osi \(\displaystyle{ x}\)). Zauważmy, że te dwa zbiory są rozłączne, możemy zatem rozważać sumę porządkową tych dwóch zbiorów liniowo uporządkowanych. Wtedy para \(\displaystyle{ \left( 0,0\right) }\) jest największa w drugim zbiorze, a więc jest największa również względem sumy porządkowej. Wtedy każda liczba całkowita ujemna lub zero (dokładniej: każda para postaci \(\displaystyle{ \left( x,0\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\) ma poprzednik \(\displaystyle{ \left( x-1,0 \right)}\) ), i każda para postaci \(\displaystyle{ \left( x,-1\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in \ZZ}\) ma poprzednik \(\displaystyle{ \left( x-1, -1\right)}\). Wobec czego również każdy element tego zbioru \(\displaystyle{ \left( \ZZ \times \left\{ -1\right\}\right) \cup \left( \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}\right) \times \left\{ 0\right\} \right)}\) ma poprzednik, względem tej sumy porządkowej, para \(\displaystyle{ \left( 0,0\right) }\) jest tutaj elementem największym, a nie jest to porządek odwrotny do dobrego, bo gdyby tak byłoby, to w zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ \times \left\{ -1\right\}}\) byłby element najmniejszy, względem tego dobrego porządku, wtedy względem porządku do niego odwrotnego byłby to element największy, a więc również w zbiorze podobnym \(\displaystyle{ \ZZ}\), z naturalnym porządkiem, byłby element największy-sprzeczność. Wobec czego nie jest to porządek odwrotny do dobrego.\(\displaystyle{ \square}\) 8-)

Na koniec dodajmy jeszcze jeden prosty fakt.
Dla zbioru \(\displaystyle{ X}\) rozważmy trójidentyczność:
\(\displaystyle{ I _{X} ^{3}= \left\{ \left( x,x,x\right)\Bigl| \ x \in X \right\}.}\)
(Np. dla \(\displaystyle{ X=\RR}\) otrzymamy przekątną przestrzeni trójwymiarowej, czyli prostą łączącą początek układu tej przestrzeni trójwymiarowej z punktem \(\displaystyle{ \left( 1,1,1\right)}\) ). Taką przekątną zbioru \(\displaystyle{ X ^{3}=\stackrel{3}{\mathop{P}_{i=1}} \left( X\right) }\) nazwijmy trójidentycznością.
Dla zbioru \(\displaystyle{ X}\), oraz dla trójidentyczności \(\displaystyle{ I_X ^{3}}\), oraz dla zbioru \(\displaystyle{ A \subset X}\), mamy:

\(\displaystyle{ I _{X} ^{3} \cap \left( A ^{3}= \stackrel{3}{\mathop{P}_{i=1}} \left( A\right) \right)= I _{A} ^{3};}\)

czyli trójidentyczność zbudowana na całym zbiorze \(\displaystyle{ X}\) przekrojona z sześcianem kartezjańskim zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest równa trójidentyczności na tym podzbiorze \(\displaystyle{ A}\). Np. dla \(\displaystyle{ X=\RR}\), oraz dla przedziału domkniętego \(\displaystyle{ A}\) (o dodatniej długości), wtedy przekątna przestrzeni trójwymiarowej przekrojona z sześcianem kartezjańskim tego przedziału jest przekątną tego sześcianu. Również w ogólności można ten fakt łatwo udowodnić. 8-)
ODPOWIEDZ