Zacznijmy od spostrzeżenia, że w zbiorze liczb całkowitych ze zwykłym porządkiem, każdy niepusty podzbiór \(\displaystyle{ \ZZ}\) ograniczony z góry ma element największy.
Dowód wynika z zasady minimum dla liczb naturalnych i zasady maksimum, (oraz faktu, że zbiór liczb całkowitych składa się ze zbioru liczb naturalnych wraz z zerem i zbioru liczb całkowitych ujemnych- liczb przeciwnych do liczb naturalnych dodatnich).
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset \ZZ}\) będzie niepustym zbiorem ograniczonym z góry. Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony z góry, zatem \(\displaystyle{ A}\) ma ograniczenie górne \(\displaystyle{ x\in \ZZ}\). Rozważmy teraz dwa przypadki:
jeśli \(\displaystyle{ A}\) przecina zbiór liczb naturalnych, tzn. \(\displaystyle{ A \cap \NN \neq \left\{ \right\}}\), to oczywiście \(\displaystyle{ A \cap \NN \subset \NN.}\) Ponieważ element \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ x \ge b}\), dla każdego \(\displaystyle{ b\in A}\), więc również \(\displaystyle{ x \ge b}\), dla każdego \(\displaystyle{ b\in A\cap \NN }\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ x\in\NN}\), w przeciwnym razie byłoby \(\displaystyle{ x\in\ZZ_-}\). Niech \(\displaystyle{ b\in A \cap \NN \neq \left\{ \right\} .}\) Zatem, na podstawie wyprowadzonej ogólnej nierówności \(\displaystyle{ x \ge b}\), ale wtedy \(\displaystyle{ b\in\NN }\), \(\displaystyle{ x\in\ZZ_-}\) i \(\displaystyle{ x}\) jest większe lub równe od \(\displaystyle{ b}\), co jest oczywistą sprzecznością. Zatem \(\displaystyle{ x\in\NN}\), i \(\displaystyle{ x}\) jest większe lub równe od każdego elementu \(\displaystyle{ A\cap \NN}\) . Zatem \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A \cap \NN.}\) Zatem niepusty zbiór \(\displaystyle{ A\cap\NN}\) jest ograniczony z góry. Zatem, na mocy zasady maksimum dla liczb naturalnych, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A \cap \NN}\) ma liczbę największą \(\displaystyle{ a\in A \cap \NN}\). wtedy również \(\displaystyle{ a}\) jest największy w \(\displaystyle{ A}\). Aby to pokazać, to: mamy \(\displaystyle{ a\in A.}\) Weźmy \(\displaystyle{ b\in A}\), i pokażmy, ze \(\displaystyle{ a \ge b}\). Jeśli \(\displaystyle{ b\in\NN}\), to \(\displaystyle{ b\in A\cap \NN}\), ponieważ \(\displaystyle{ a}\) jest największy w \(\displaystyle{ A \cap \NN}\), to \(\displaystyle{ a \ge b. }\)
Jeśli \(\displaystyle{ b\not\in\NN}\), to \(\displaystyle{ b\in \ZZ_-}\), mamy \(\displaystyle{ a\in\NN}\), zatem \(\displaystyle{ a \ge b}\), i \(\displaystyle{ a}\) jest największy w \(\displaystyle{ A}\)-
Jeśli \(\displaystyle{ A \cap \NN=\left\{ \right\} =\emptyset}\), to \(\displaystyle{ A\subset\ZZ_-}\), i rozważmy zbiór \(\displaystyle{ -A=\left\{ -x \Bigl| \ \ x\in A\right\}.}\) Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ x\in A}\), to \(\displaystyle{ x\in\ZZ_-}\), zatem \(\displaystyle{ -x\in\NN_+}\), co dowodzi, że \(\displaystyle{ -A\subset \NN_+,}\) ponieważ \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\), to łatwo się przekonać, że również \(\displaystyle{ -A \neq \left\{ \right\} }\), zatem \(\displaystyle{ -A}\) jest niepustym podzbiorem zbioru liczb naturalnych, zatem z zasady minimum ma liczbę najmniejszą \(\displaystyle{ b\in-A}\). Wtedy \(\displaystyle{ b=-a}\), gdzie \(\displaystyle{ a\in A}\). Wtedy \(\displaystyle{ a}\) jest największy w \(\displaystyle{ A }\). Aby to pokazać: weźmy \(\displaystyle{ c\in A,}\) i pokażmy, ze \(\displaystyle{ a \ge c.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ c\in A}\), to \(\displaystyle{ -c\in -A}\). A ponieważ element \(\displaystyle{ b}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ -A}\), to \(\displaystyle{ -a=b \le -c}\), skąd \(\displaystyle{ c \le a}\), czyli \(\displaystyle{ a \ge c}\), i \(\displaystyle{ a}\) jest największy w \(\displaystyle{ A.\square}\)
Uogólnijmy na zbiory podobne do zbioru liczb całkowitych, tzn. udowodnijmy, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le _X\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \left( \ZZ, \le\right) }\) ze zwykłym porządkiem, a \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset X}\) niepustym podzbiorem ograniczonym z góry, to \(\displaystyle{ A}\) ma element największy.
Dowód:
Ponieważ \(\displaystyle{ \left( X, \le _X\right) }\) jest podobny do \(\displaystyle{ \left( \ZZ, \le\right) }\), więc istnieje podobieństwo \(\displaystyle{ f:\left( X, \le _X\right) \rightarrow \left( \ZZ, \le\right) }\). Rozważmy obraz \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f} (A)\subset \ZZ.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\} }\) jest zbiorem niepustym, to również obraz \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f} (A)}\) jest niepusty. Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony z góry, więc ma ograniczenie górne, niech \(\displaystyle{ x}\) będzie tym ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ f(x)\in\ZZ}\) jest ograniczeniem górnym obrazu \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f} (A)}\). Niech \(\displaystyle{ y\in \stackrel { \rightarrow }{f} (A).}\) Wtedy \(\displaystyle{ y=f(a)}\), gdzie \(\displaystyle{ a\in A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\), więc \(\displaystyle{ x \ge a}\), a zatem z własności podobieństwa \(\displaystyle{ f(x) \ge f(a)=y}\). Z dowolności wyboru elementu \(\displaystyle{ y}\), otrzymujemy, że \(\displaystyle{ f(x)}\) jest ograniczeniem górnym obrazu \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f} (A)}\). Zatem obraz \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f} (A)}\) jest ograniczony z góry, i niepusty, ( i \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f} (A)}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ \ZZ}\)), więc na mocy faktu dowiedzionego powyżej obraz \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f} (A)}\) ma element największy \(\displaystyle{ b}\). Wtedy \(\displaystyle{ b\in\stackrel { \rightarrow }{f} (A),}\) zatem \(\displaystyle{ b=f(c)}\), gdzie \(\displaystyle{ c\in A}\). Wówczas \(\displaystyle{ c}\) jest największy w \(\displaystyle{ A}\). Aby to pokazać weźmy \(\displaystyle{ a\in A}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ c \ge _X a.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ a\in A}\), to \(\displaystyle{ f(a) \in \stackrel { \rightarrow }{f} (A)}\), a \(\displaystyle{ b}\) jest największy w \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{f} (A)}\), zatem \(\displaystyle{ f(c)=b \ge f(a)}\), co z własności podobieństwa daje, że \(\displaystyle{ c \ge _X a}\). A zatem element \(\displaystyle{ c}\) jest największy w A.
Wykażemy jeszcze, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le _X\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \left( \ZZ, \le\right) }\) , a \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset X}\) niepustym zbiorem ograniczonym z dołu, to \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy..
Chwilę, aby to udowodnić będziemy potrzebować jeszcze dwóch prostych faktów.
Po pierwsze porządek odwrotny do naturalnego na zbiorze liczb całkowitych jest do niego podobny.
Dla dowodu wystarczy rozważyć funkcję \(\displaystyle{ f:\left( \ZZ, \le\right) \rightarrow \left( \ZZ, \le ^{-1}\right) }\), określoną jako :
\(\displaystyle{ f(x)=-x.}\)
Łatwo sprawdzić, że taka funkcja jest podobieństwem- dla przykładu sprawdźmy różnowartościowość. Niech \(\displaystyle{ x,y\in \ZZ}\) będą takie, że \(\displaystyle{ f(x)= f(y)}\), wtedy, z definicji tej funkcji, oznacza to, że \(\displaystyle{ -x=-y}\), a zatem \(\displaystyle{ -(-x)=-(-y)}\), czyli \(\displaystyle{ x=y}\). Zatem \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa.
Bardzo łatwo sprawdzić, że jest 'na', i łatwo sprawdzić, że jest monotoniczna, wobec czego jest podobieństwem, i zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( Z, \le\right) }\) jest podobny do \(\displaystyle{ \left( \ZZ, \le ^{-1}\right) .}\)
Drugi fakt mówi, że jeśli zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ \left( X, \le _X\right) ;\left( Y, \le _Y\right)}\) są podobne, to odpowiadające im porządki odwrotne są podobne \(\displaystyle{ \left( X, \le _X^{-1} \right) \approx (Y, \le _Y ^{-1})}\), gdzie \(\displaystyle{ \approx}\) oznacza stosunek podobieństwa).
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le _X\right) }\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \left( \ZZ, \le\right) }\) , a \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset X}\) niepustym zbiorem ograniczonym z dołu. Wykażemy, że \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy.
Dowód:
Zauważmy najpierw, że porządek odwrotny \(\displaystyle{ \left( X, \le _X ^{-1}\right) }\) jest również podobny do \(\displaystyle{ \left( \ZZ, \le\right) }\) , gdyż ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\)- \(\displaystyle{ (X, \le _X) \approx (\ZZ, \le ),}\) to na mocy faktu powyżej\(\displaystyle{ \left( X, \le^{-1} \right) \approx\left( \ZZ, \ge\right) \approx \left( \ZZ, \le \right). }\). A zatem \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony z dołu, to ma ograniczenie dolne. Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ \le _X}\). Wtedy \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A }\) względem \(\displaystyle{ \le _X ^{-1}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A}\) jest niepustym zbiorem ograniczonym z góry (w \(\displaystyle{ \left( X, \le _X ^{-1}\right) }\) , który to zbiór jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\) ), więc na mocy twierdzenia udowodnionego jeszcze przed zapowiedzią tego faktu, więc otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A}\) ma element największy \(\displaystyle{ a\in A}\), względem \(\displaystyle{ \le _X ^{-1}}\), a zatem \(\displaystyle{ a}\) jest elementem najmniejszym \(\displaystyle{ A}\), względem \(\displaystyle{ \le _X. \square}\)
Te fakty nam się przydadzą. Przejdźmy do właściwszych dowodów.
Wykażemy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \ZZ}\), a \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A}\) niepustym i różnym od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\) przedziałem początkowym, to \(\displaystyle{ A}\) jest postaci \(\displaystyle{ A=\overline {O(x)}= \left\{ y\in X: \ y \le x\right\}}\) , gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\), oraz \(\displaystyle{ A}\) jest postaci \(\displaystyle{ A=O(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest pewnym elementem zbioru \(\displaystyle{ X.}\)
Dowód:
Ponieważ \(\displaystyle{ A \neq X}\), to \(\displaystyle{ X\not\subset A}\), więc \(\displaystyle{ X}\) jest niepusty (gdyż \(\displaystyle{ \emptyset}\) jest podzbiorem każdego zbioru, w szczególności \(\displaystyle{ \emptyset \subset A }\) ), wiec \(\displaystyle{ X \neq \emptyset}\) i \(\displaystyle{ X\not\subset A}\), więc zaprzeczając definicji inkluzji otrzymujemy, że istnieje element \(\displaystyle{ x\in X}\), taki, że \(\displaystyle{ x\not\in A}\). Wtedy \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\). Aby to pokazać weźmy \(\displaystyle{ a\in A}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ x \ge a}\). Gdyby byłoby \(\displaystyle{ x\not \ge a}\), to \(\displaystyle{ x<a\in A}\), a \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym, więc wnioskujemy, że również \(\displaystyle{ x\in A}\)- a mamy \(\displaystyle{ x\not\in A}\)- sprzeczność. Wobec czego musi być \(\displaystyle{ x \ge a}\), i \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A.}\)
Zatem \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym zbiorem ograniczonym od góry( oraz \(\displaystyle{ A\subset X}\), a \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\)), więc na mocy jednego z dowiedzionych faktów, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A}\) ma element największy \(\displaystyle{ a\in A}\). Wtedy \(\displaystyle{ a\in X}\), i wtedy \(\displaystyle{ A=\overline {O(a)}.}\)
Musimy jednak tą równość zbiorów udowodnić.
Niech \(\displaystyle{ b\in\overline{O(a)}}\). Wtedy \(\displaystyle{ b\in X, b \le a.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ b \le a\in A}\), a \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem pocżątkowym, \(\displaystyle{ b\in X}\), więc również \(\displaystyle{ b\in A}\), co dowodzi, że \(\displaystyle{ \overline {O(a)}\subset A.}\)
Aby pokazać inkluzję w druga stronę, to niech \(\displaystyle{ b\in A}\), wtedy \(\displaystyle{ b\in X}\), ale \(\displaystyle{ a }\) jest największy w \(\displaystyle{ A,}\) skąd \(\displaystyle{ a \ge b}\), a zatem \(\displaystyle{ b\in \overline{O(a)} }\), i \(\displaystyle{ A=\overline{O(a)}, a\in X}\), co kończy pierwszą część dowodu. Druga część jest już dalej prosta, (gdy wykorzystamy pierwszą część ).
Skoro \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\), to niech \(\displaystyle{ f :X \rightarrow \ZZ}\) będzie podobieństwem. Wtedy \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją. Mamy \(\displaystyle{ a\in X}\), niech \(\displaystyle{ n:=f(a)+1\in \ZZ}\), ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją, to niech \(\displaystyle{ b\in X}\) będzie takim elementem, że \(\displaystyle{ f(b)=n}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ A=O(b)}\), gdzie mamy \(\displaystyle{ b\in X.}\)
Wystarczy zatem pokazać, że \(\displaystyle{ O(b)=\overline {O(a)}.}\)
Ponieważ obydwa zbiory są podzbiorami zbioru \(\displaystyle{ X}\), więc wystarczy pokazać, aby pokazać równość tych dwóch zbiorów, więc wystarczy pokazać, że dowolny element \(\displaystyle{ y\in X,}\) on należy do zbioru po lewej stronie równości, dokładnie wtedy, gdy należy do zbioru po prawej. Niech zatem \(\displaystyle{ y\in X}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ y\in O(b) \Leftrightarrow y<b,}\) i dalej, ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jako podobieństwo jest różnowartościowa (i z samego podobieństwa), więc to oznacza dokładnie, że \(\displaystyle{ \Leftrightarrow f(y)<f(b)=n \Leftrightarrow f(y) \le n-1=f(a) \Leftrightarrow y \le a \Leftrightarrow y\in \overline{O(a)}}\).
A zatem \(\displaystyle{ O(b)=\overline {O(a)}. \square }\)
Wykażemy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \ZZ}\), a \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A \subset X}\) jest niepustą i różną od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\) resztą, to \(\displaystyle{ A=\left[ x, \rightarrow \right] =\left\{ y\in X: \ y \ge x\right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\), oraz \(\displaystyle{ A=\left( x, \rightarrow \right)=\left\{ y\in X: y>x\right\}}\) , gdzie \(\displaystyle{ x\in X.}\)
Dowód:
Zauważmy najpierw, że porządek odwrotny na \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\). Gdyż, ponieważ \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\), to \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) jest podobny do \(\displaystyle{ \left( Z, \ge\right) }\) a on jest podobny do \(\displaystyle{ \left( \ZZ, \le _\ZZ \right).}\) Zatem \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest resztą w \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) , to w \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym. Mamy również \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\), i \(\displaystyle{ A \neq X.}\) Stosując poprzednio udowodnione twierdzenie otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A=\overline {O(x)} }\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ A=\left\{ y\in X: y \le ^{-1} x\right\} =\left\{ y\in X: \ x\le y\right\}=\left[ x, \rightarrow \right]) , x\in X.}\)
Stosując ten sam fakt jeszcze raz otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A=O(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X.}\) Wtedy:
\(\displaystyle{ A=\left\{ y\in X: y< ^{-1} x \right\} \stackrel {y \neq x}{=} \left\{ y\in X: y>x\right\} =\left( x, \rightarrow \right) }\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X.}\)
Udowodnijmy jeszcze, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \ZZ}\), a \(\displaystyle{ A\subset X}\) przedziałem nie będącym przedziałem początkowym ani resztą, to \(\displaystyle{ A}\) można przedstawić w poniższych postaciach:
\(\displaystyle{ A=\left[ a,b \right]=\left\{ x\in X: \ a \le x \le b\right\} , \hbox{ gdzie }a,b\in X, a \le b;}\)
\(\displaystyle{ A=\left( a,b\right)=\left\{ x\in X: \ a <x < b\right\} \hbox{ gdzie }a,b\in X, a<b;}\)
\(\displaystyle{ A=\left[ a,b\right)\hbox{ gdzie }a,b\in X, a<b;}\)
\(\displaystyle{ A=\left( a,b\right]\hbox{ gdzie }a,b\in X, a<b.}\)
Dowód:
Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) nie jest przedziałem początkowym, to \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\} }\) ( gdyż zbiór pusty jest zawsze przedziałem początkowym), a zatem zaprzeczając definicji przedziału początkowego otrzymujemy, że istnieje \(\displaystyle{ a\in A}\) oraz istnieje \(\displaystyle{ b\in X, b<a}\), i takie, że \(\displaystyle{ b\not\in A}\). Wtedy \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ A}\). Aby to pokazać, weźmy \(\displaystyle{ c\in A}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ b \le c}\). Gdyby byłoby \(\displaystyle{ b\not \le c}\), to \(\displaystyle{ b>c}\), i \(\displaystyle{ A\ni a>b>c\in A}\), a \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ b\in A}\), a mamy \(\displaystyle{ b\not\in A}\)- sprzeczność. Wobec czego musi być \(\displaystyle{ b \le c}\), i \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ A}\). Zatem zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony z dołu, i \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty, mamy \(\displaystyle{ A\subset X}\), a \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\), zatem na mocy jednego z dowiedzionych twierdzeń powyżej otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy \(\displaystyle{ x\in A}\). Wykażemy teraz podobnie, że \(\displaystyle{ A}\) ma element największy.
Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) nie jest resztą, i ponieważ \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\) , więc zaprzeczając definicji reszty otrzymujemy, ze istnieje \(\displaystyle{ a\in A,}\) oraz istnieje \(\displaystyle{ b\in X, b>a}\), i takie, że \(\displaystyle{ b\not\in A.}\) Wtedy \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A}\). Aby to wykazać: weźmy \(\displaystyle{ c\in A}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ b \ge c}\). Przypuśćmy, że tak nie jest. Wtedy \(\displaystyle{ b<c}\), i \(\displaystyle{ A\ni a<b<c\in A }\), a \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ b\in A}\), a mamy \(\displaystyle{ b\not\in A}\)- sprzeczność. Wobec czego musi być \(\displaystyle{ b \ge c}\), i \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Zatem zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony z góry, i \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\) , ale \(\displaystyle{ A\subset X}\), a \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\), więc na mocy jednego z dowiedzionych twierdzeń zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma element największy \(\displaystyle{ y\in A}\); wiemy już, że \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy \(\displaystyle{ x\in A}\).
Mamy \(\displaystyle{ x \le y}\). Pokażemy prosto, że \(\displaystyle{ A= \left[ x,y\right] }\) gdzie \(\displaystyle{ x,y \in X, x \le y}\).
Aby wykazać tą równość zbiorów, pokażemy inkluzję w obydwie strony.
Niech \(\displaystyle{ z\in A}\), wtedy \(\displaystyle{ z\in X}\), ponieważ \(\displaystyle{ x}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ A}\), więc \(\displaystyle{ x \le z}\), ponieważ \(\displaystyle{ y}\) jest największy w \(\displaystyle{ A}\), więc \(\displaystyle{ y \ge z}\), a zatem \(\displaystyle{ z\in \left[ x,y\right]}\) , co dowodzi inkluzji w jedną stronę.
Aby wykazać inkluzję w drugą stronę, to niech \(\displaystyle{ z\in\left[ x,y\right]}\) , wtedy \(\displaystyle{ z\in X}\), i \(\displaystyle{ x \le z \le y}\), a zatem \(\displaystyle{ A\ni x \le z \le y\in A}\), a \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ z\in A}\), co należało pokazać.
Zatem \(\displaystyle{ A=\left[ x,y\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y\in X, x \le y.}\)
Pozostaje przedstawić przedział \(\displaystyle{ A}\) w pozostałych trzech postaciach.
Ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \ZZ}\), to niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow \ZZ}\) będzie podobieństwem. Wtedy \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją. Oznaczmy \(\displaystyle{ n:=f(x); m:=f(y)}\), wtedy \(\displaystyle{ n,m\in\ZZ}\), więc również \(\displaystyle{ \left( n-1\right) , \left( m+1\right) \in \ZZ}\), ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją, to niech \(\displaystyle{ x_{-1}}\), będzie takim elementem \(\displaystyle{ X}\), że \(\displaystyle{ f(x_{-1})=n-1\in\ZZ}\), niech \(\displaystyle{ y_{+1}}\) będzie takim elementem \(\displaystyle{ X}\), że \(\displaystyle{ f(y_{+1})=m+1\in\ZZ}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ A=(x_{-1}, y_{+1})}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{-1}, y_{+1}\in X}\),\(\displaystyle{ x_{-1}< y_{+1}}\).
(Łatwo, korzystając z własności podobieństwa, pokazać nierówność słabą: \(\displaystyle{ x_{-1} \le y_{+1}}\). Nierówność będzie również silna, gdyż gdyby byłoby \(\displaystyle{ x_{-1}=y_{+1}}\), to \(\displaystyle{ n-1=f(x_{-1}) =f(y_{+1})=m+1}\), skąd \(\displaystyle{ n=m+2}\), i \(\displaystyle{ n>m}\), a z podobieństwa wynika, że \(\displaystyle{ n \le m}\)- sprzeczność. Wobec czego wszystko jest tu dobrze określone).
Wykażemy, że \(\displaystyle{ \left( x_{-1}, y_{+1}\right)=\left[ x,y\right].}\) Ponieważ zarówno zbiór po lewej, jak i zbiór po prawej stronie równości są podzbiorami zbioru \(\displaystyle{ X}\), więc wystarczy pokazać, że dowolny element \(\displaystyle{ z\in X}\), ten element należy do zbioru po lewej stronie równości, dokładnie wtedy, gdy należy do zbioru po prawej stronie. Niech więc \(\displaystyle{ z\in X.}\) Wtedy:
\(\displaystyle{ z\in \left( x_{-1}, y_{+1}\right) \Leftrightarrow x_{-1}<z<y_{+1}}\), dalej ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jako podobieństwo jest różnowartościowa (oraz z samego podobieństwa), więc to zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ n-1=f(x_{-1}) <f(z)< f(y_{+1})=m+1 \Leftrightarrow f(x)=n \le f(z) \le m= f(y) \Leftrightarrow x \le z \le y \Leftrightarrow z\in \left[ x,y\right].}\)
A zatem \(\displaystyle{ (x_{-1}, y_{+1})=\left[ x,y\right]=A, x_{-1}, y_{+1}\in X, x_{-1}< y_{+1}.}\)
Pozostaje przedstawić zbiór \(\displaystyle{ A}\) w pozostałych dwóch postaciach. W tym celu wykażemy, że \(\displaystyle{ A=\left[ x, y_{+1}\right), A=\left( x_{-1}, y\right] }\),
Aby pokazać pierwszą równość zbiorów, wykażemy, że \(\displaystyle{ \left[ x, y_{+1}\right) =\left[ x,y\right].}\) Ponieważ zarówno zbiór po lewe stronie równości, jak i zbiór po prawej, są podzbiorami zbioru \(\displaystyle{ X}\), więc wystarczy pokazać, że dowolny element \(\displaystyle{ z\in X}\), on należy do zbioru po lewej stronie równości, dokładnie wtedy, gdy należy do zbioru po prawej. Niech więc \(\displaystyle{ z\in X}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ z\in \left[ x, y+1\right) \Leftrightarrow x \le z< y_{+1} }\), co na mocy różnowartościowości \(\displaystyle{ f}\) jako podobieństwa, znaczy dokładnie to samo co:
\(\displaystyle{ n=f(x) \le f(x)<f(y_{+1})=m+1 \Leftrightarrow f(x) \le f(z) \le m=f(y) \Leftrightarrow x \le z \le y \Leftrightarrow z\in \left[ x,y\right] .}\)
A zatem \(\displaystyle{ \left[ x, y_{+1}\right)=\left[ x,y\right] =A, x<y_ {+1}.}\)
Pozostaje pokazać, że \(\displaystyle{ A=\left( x_{-1}, y\right].}\) W tym celu należy pokazać, że \(\displaystyle{ \left( x_{-1}, y\right]=\left[ x,y\right].}\) Podobnie, jak powyżej, można to pokazać, co kończy dowód. \(\displaystyle{ \square }\)
Na koniec rozdzielmy w zbiorze liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \ZZ}\), rozdzielmy przedziały początkowe od reszt, czyli uzasadnijmy, że te rodziny zbiorów u nas są rozłączne. W tym celu wykażemy ogólny fakt, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\) niepustym i różnym od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\) przedziałem początkowym, to \(\displaystyle{ A}\) nie jest resztą.
Innymi słowy, w zbiorze liniowo uporządkowanym niepusty i różny od całego zbioru podzbiór nie może być jednocześnie przedziałem początkowym i resztą (cały zbiór jest przedziałem początkowym (nieistotnym), i cały zbiór jest resztą (nieistotną)). Dowód:
Na koniec podam fakt, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \ZZ}\), a para zbiorów \(\displaystyle{ (A,B)}\) jest przekrojem Dedekinda w \(\displaystyle{ X}\), to przekrój \(\displaystyle{ (A,B)}\) daje skok.