Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe

Post autor: Jakub Gurak »

Zastanawia mnie czy jest taki fakt, i jak go udowodnić, że jeśli mamy rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), i gdy rozważymy sumę tej rodziny \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\), to czy można tą sumę rozłożyć na składowe wyznaczone przez najmniejsze przekroje zbiorów tej rodziny.

Oczywiście, trzeba będzie zacząć od tego, aby sformułować ten problem w sposób ścisły, ale nie wiem jak, chyba wiadomo o co chodzi, ale trzeba będzie to sformułować w sposób ścisły. Jest taki fakt :?: Jak go udowodnić??

Moja próba:

Rozważmy rodzinę niepustych przekrojów mnogościowych:

\(\displaystyle{ \mathcal{C}= \left\{ \bigcap\mathbb{A}\Bigl| \ \ \mathbb{A}\subset \mathbb{B} \right\} \setminus \left\{ \emptyset\right\} .}\)

Jest to rodzina niepustych przekrojów mnogościowych rodzin zbiorów z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\). Niepustych, gdyż zbiór pusty wyrzuciliśmy, a zbiór pusty jest tylko jeden.

Podejrzewam, że w takiej rodzinie \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) są wszystkie składowe, nie wiem tylko jak je wyróżnić, gdyż mogą być też większe zbiory,, trzeba będzie te składowe wyróznić, ale nie wiem jak, proszę o pomoc.

:lol:
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe

Post autor: Jan Kraszewski »

Co rozumiesz przez "składowe"? Jak miałoby to działać dla rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}=\{\{1,2,3\}, \{3,4,5\},\{1,5,6\}\}}\) ?

JK
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe

Post autor: Dasio11 »

Niech \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) będzie rodziną podzbiorów \(\displaystyle{ X}\).

\(\displaystyle{ \bullet}\) Dla każdego \(\displaystyle{ B \in \mathbb{B}}\) rozważmy relację równoważności na \(\displaystyle{ X}\) o dwóch klasach: \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ X \setminus B}\). Niech \(\displaystyle{ \sim}\) będzie przekrojem tych relacji, tj.

\(\displaystyle{ x \sim y}\) jeśli \(\displaystyle{ (\forall B \in \mathbb{B}) \big( x \in B \iff y \in B \big)}\).

\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ X}\) rozkłada się na klasy abstrakcji \(\displaystyle{ \sim}\). Te klasy są dokładnie tymi z poniższych zbiorów, które są niepuste:

\(\displaystyle{ B_{\eta} = \bigcap_{B \in \mathbb{B}} B^{\eta(B)}}\) dla \(\displaystyle{ \eta : \mathbb{B} \to \{ 0, 1 \}}\),

gdzie \(\displaystyle{ B^1}\) oznacza \(\displaystyle{ B}\) a \(\displaystyle{ B^0}\) oznacza \(\displaystyle{ X \setminus B}\). A zatem

\(\displaystyle{ X = \bigcup_{\eta \in \{ 0, 1 \}^{\mathbb{B}}} B_{\eta}}\),

ale nie musi to być rozkład \(\displaystyle{ X}\).

\(\displaystyle{ \bullet}\) Elementowi \(\displaystyle{ x \in X}\) przypiszmy funkcję \(\displaystyle{ \eta_x : \mathbb{B} \to \{ 0, 1 \}}\), tak że

\(\displaystyle{ \eta_x(B) = \begin{cases} 0 & \text{jeśli } x \notin B \\ 1 & \text{jeśli } x \in B \end{cases}}\)

Wtedy \(\displaystyle{ [x]_{\sim} = B_{\eta_x}}\) i

\(\displaystyle{ X = \bigcup_{x \in X} B_{\eta_x}}\)

jest rozkładem \(\displaystyle{ X}\).
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe

Post autor: Jakub Gurak »

W takim przypadku rozwiązanie będzie skrajne: \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ n\right\}: n=1,2,3,4,5,6 \right\}.}\) Chodzi o najmniejsze kawałki utworzone przez przekroje zbiorów tej rodziny.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe

Post autor: Jan Kraszewski »

Jakub Gurak pisze: 24 lip 2021, o 11:16 W takim przypadku rozwiązanie będzie skrajne: \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ n\right\}: n=1,2,3,4,5,6 \right\}.}\) Chodzi o najmniejsze kawałki utworzone przez przekroje zbiorów tej rodziny.
To odnośnie mojego pytania? Przecież zbiory \(\displaystyle{ \{2\}, \{4\}, \{6\}}\) nie są przekrojami zbiorów z rodziny \(\displaystyle{ \{\{1,2,3\}, \{3,4,5\},\{1,5,6\}\}}\).

Same przekroje nie wystarczą.

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe

Post autor: Jakub Gurak »

Jan Kraszewski pisze: 24 lip 2021, o 11:29 To odnośnie mojego pytania?
Tak, o to mi chodziło.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe

Post autor: Jan Kraszewski »

Jakub Gurak pisze: 24 lip 2021, o 12:08Tak, o to mi chodziło.
No to jak powyżej napisałem, Twoja odpowiedź nijak się ma do Twoich zapowiedzi.

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe

Post autor: Jakub Gurak »

Ale, jak zresztą chyba wykazał Dasio11, chyba można tą sumę rozłożyć na składowe- jak zatem wypowiedzieć ten problem w sposób ścisły?? Ja nie próbowałem, tylko intuicyjnie rozumiałem o co chodzi. Jak to uściślić??
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe

Post autor: Jan Kraszewski »

Jakub Gurak pisze: 24 lip 2021, o 19:07jak zatem wypowiedzieć ten problem w sposób ścisły??
No to Ci to Dasio11 maksymalnie uściślił - czego jeszcze oczekujesz?
Jakub Gurak pisze: 24 lip 2021, o 19:07 Ja nie próbowałem, tylko intuicyjnie rozumiałem o co chodzi.
"Intuicyjnie" to bardzo nieścisłe określenie. Skąd mamy wiedzieć, co sobie wyobrażałeś, jeżeli tego nie sprecyzujesz? "Intuicyjna składowa" może być czymkolwiek. Dasio11 przyjął standardowe rozumienie składowej, przy której "rozkład zbioru na składowe" to po prostu pewien podział tego zbioru. Ale tutaj potrzebujesz jeszcze dopełnień.

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe

Post autor: Jakub Gurak »

A czy można, zakładając, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest nieskończona, bo dla skończenie wielu zbiorów sprawa jest chyba zbadana, rozważyć rodzinę:

\(\displaystyle{ C=\left\{ \bigcap\mathbb{A} | \mathbb{A}\subset \mathbb{B}\right\} \setminus \left\{ \emptyset\right\}. }\)

rodzinę niepustych przekrojów mnogościowych rodzin zbiorów z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B},}\) i wybrać z niej zbiory minimalne pod względem inkluzji, i pokazać, że taka rodzina jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\)?? :lol:

Chciałbym, nim to udowodnię, chciałbym się upewnić czy takie podejście oznacza to samo co standardowe rozumienie składowej, czy to to samo :?: :?:
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe

Post autor: Jan Kraszewski »

A jak to działa dla rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}=\{\{1,2,3\}, \{3,4,5\},\{1,5,6\}\}\cup\{\{n\}:n\in\NN\cap[7,+\infty)\}}\) ?

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe

Post autor: Jakub Gurak »

Odpowiedź znowu będzie skrajna: \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ n\right\}: \ n=1,2,3,\ldots \right\} }\).

Ale jest to rozkład zbioru \(\displaystyle{ \NN_+.}\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe

Post autor: Jan Kraszewski »

Jakub Gurak pisze: 29 sie 2021, o 22:37 Odpowiedź znowu będzie skrajna: \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ n\right\}: \ n=1,2,3,\ldots \right\} }\).
Tak? A niby w jaki sposób zamierzasz otrzymać \(\displaystyle{ \{2\},\{4\},\{6\}}\) jako przekroje podrodzin rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) ?

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe

Post autor: Jakub Gurak »

Racja- zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 2\right\}}\) nie otrzymam w ten sposób. Czyli to był niedobry pomysł. :? Chyba rzeczywiście
potrzebuję jeszcze dopełnień zbiorów.
ODPOWIEDZ