Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe
-
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe
Zastanawia mnie czy jest taki fakt, i jak go udowodnić, że jeśli mamy rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), i gdy rozważymy sumę tej rodziny \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\), to czy można tą sumę rozłożyć na składowe wyznaczone przez najmniejsze przekroje zbiorów tej rodziny.
Oczywiście, trzeba będzie zacząć od tego, aby sformułować ten problem w sposób ścisły, ale nie wiem jak, chyba wiadomo o co chodzi, ale trzeba będzie to sformułować w sposób ścisły. Jest taki fakt Jak go udowodnić??
Moja próba:
Rozważmy rodzinę niepustych przekrojów mnogościowych:
\(\displaystyle{ \mathcal{C}= \left\{ \bigcap\mathbb{A}\Bigl| \ \ \mathbb{A}\subset \mathbb{B} \right\} \setminus \left\{ \emptyset\right\} .}\)
Jest to rodzina niepustych przekrojów mnogościowych rodzin zbiorów z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\). Niepustych, gdyż zbiór pusty wyrzuciliśmy, a zbiór pusty jest tylko jeden.
Podejrzewam, że w takiej rodzinie \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) są wszystkie składowe, nie wiem tylko jak je wyróżnić, gdyż mogą być też większe zbiory,, trzeba będzie te składowe wyróznić, ale nie wiem jak, proszę o pomoc.
Oczywiście, trzeba będzie zacząć od tego, aby sformułować ten problem w sposób ścisły, ale nie wiem jak, chyba wiadomo o co chodzi, ale trzeba będzie to sformułować w sposób ścisły. Jest taki fakt Jak go udowodnić??
Moja próba:
Rozważmy rodzinę niepustych przekrojów mnogościowych:
\(\displaystyle{ \mathcal{C}= \left\{ \bigcap\mathbb{A}\Bigl| \ \ \mathbb{A}\subset \mathbb{B} \right\} \setminus \left\{ \emptyset\right\} .}\)
Jest to rodzina niepustych przekrojów mnogościowych rodzin zbiorów z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\). Niepustych, gdyż zbiór pusty wyrzuciliśmy, a zbiór pusty jest tylko jeden.
Podejrzewam, że w takiej rodzinie \(\displaystyle{ \mathcal{C}}\) są wszystkie składowe, nie wiem tylko jak je wyróżnić, gdyż mogą być też większe zbiory,, trzeba będzie te składowe wyróznić, ale nie wiem jak, proszę o pomoc.
-
- Administrator
- Posty: 34276
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe
Co rozumiesz przez "składowe"? Jak miałoby to działać dla rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}=\{\{1,2,3\}, \{3,4,5\},\{1,5,6\}\}}\) ?
JK
JK
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe
Niech \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) będzie rodziną podzbiorów \(\displaystyle{ X}\).
\(\displaystyle{ \bullet}\) Dla każdego \(\displaystyle{ B \in \mathbb{B}}\) rozważmy relację równoważności na \(\displaystyle{ X}\) o dwóch klasach: \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ X \setminus B}\). Niech \(\displaystyle{ \sim}\) będzie przekrojem tych relacji, tj.
\(\displaystyle{ x \sim y}\) jeśli \(\displaystyle{ (\forall B \in \mathbb{B}) \big( x \in B \iff y \in B \big)}\).
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ X}\) rozkłada się na klasy abstrakcji \(\displaystyle{ \sim}\). Te klasy są dokładnie tymi z poniższych zbiorów, które są niepuste:
\(\displaystyle{ B_{\eta} = \bigcap_{B \in \mathbb{B}} B^{\eta(B)}}\) dla \(\displaystyle{ \eta : \mathbb{B} \to \{ 0, 1 \}}\),
gdzie \(\displaystyle{ B^1}\) oznacza \(\displaystyle{ B}\) a \(\displaystyle{ B^0}\) oznacza \(\displaystyle{ X \setminus B}\). A zatem
\(\displaystyle{ X = \bigcup_{\eta \in \{ 0, 1 \}^{\mathbb{B}}} B_{\eta}}\),
ale nie musi to być rozkład \(\displaystyle{ X}\).
\(\displaystyle{ \bullet}\) Elementowi \(\displaystyle{ x \in X}\) przypiszmy funkcję \(\displaystyle{ \eta_x : \mathbb{B} \to \{ 0, 1 \}}\), tak że
\(\displaystyle{ \eta_x(B) = \begin{cases} 0 & \text{jeśli } x \notin B \\ 1 & \text{jeśli } x \in B \end{cases}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ [x]_{\sim} = B_{\eta_x}}\) i
\(\displaystyle{ X = \bigcup_{x \in X} B_{\eta_x}}\)
jest rozkładem \(\displaystyle{ X}\).
\(\displaystyle{ \bullet}\) Dla każdego \(\displaystyle{ B \in \mathbb{B}}\) rozważmy relację równoważności na \(\displaystyle{ X}\) o dwóch klasach: \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ X \setminus B}\). Niech \(\displaystyle{ \sim}\) będzie przekrojem tych relacji, tj.
\(\displaystyle{ x \sim y}\) jeśli \(\displaystyle{ (\forall B \in \mathbb{B}) \big( x \in B \iff y \in B \big)}\).
\(\displaystyle{ \bullet}\) \(\displaystyle{ X}\) rozkłada się na klasy abstrakcji \(\displaystyle{ \sim}\). Te klasy są dokładnie tymi z poniższych zbiorów, które są niepuste:
\(\displaystyle{ B_{\eta} = \bigcap_{B \in \mathbb{B}} B^{\eta(B)}}\) dla \(\displaystyle{ \eta : \mathbb{B} \to \{ 0, 1 \}}\),
gdzie \(\displaystyle{ B^1}\) oznacza \(\displaystyle{ B}\) a \(\displaystyle{ B^0}\) oznacza \(\displaystyle{ X \setminus B}\). A zatem
\(\displaystyle{ X = \bigcup_{\eta \in \{ 0, 1 \}^{\mathbb{B}}} B_{\eta}}\),
ale nie musi to być rozkład \(\displaystyle{ X}\).
\(\displaystyle{ \bullet}\) Elementowi \(\displaystyle{ x \in X}\) przypiszmy funkcję \(\displaystyle{ \eta_x : \mathbb{B} \to \{ 0, 1 \}}\), tak że
\(\displaystyle{ \eta_x(B) = \begin{cases} 0 & \text{jeśli } x \notin B \\ 1 & \text{jeśli } x \in B \end{cases}}\)
Wtedy \(\displaystyle{ [x]_{\sim} = B_{\eta_x}}\) i
\(\displaystyle{ X = \bigcup_{x \in X} B_{\eta_x}}\)
jest rozkładem \(\displaystyle{ X}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe
W takim przypadku rozwiązanie będzie skrajne: \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ n\right\}: n=1,2,3,4,5,6 \right\}.}\) Chodzi o najmniejsze kawałki utworzone przez przekroje zbiorów tej rodziny.
-
- Administrator
- Posty: 34276
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe
To odnośnie mojego pytania? Przecież zbiory \(\displaystyle{ \{2\}, \{4\}, \{6\}}\) nie są przekrojami zbiorów z rodziny \(\displaystyle{ \{\{1,2,3\}, \{3,4,5\},\{1,5,6\}\}}\).Jakub Gurak pisze: ↑24 lip 2021, o 11:16 W takim przypadku rozwiązanie będzie skrajne: \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ n\right\}: n=1,2,3,4,5,6 \right\}.}\) Chodzi o najmniejsze kawałki utworzone przez przekroje zbiorów tej rodziny.
Same przekroje nie wystarczą.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
-
- Administrator
- Posty: 34276
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe
No to jak powyżej napisałem, Twoja odpowiedź nijak się ma do Twoich zapowiedzi.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe
Ale, jak zresztą chyba wykazał Dasio11, chyba można tą sumę rozłożyć na składowe- jak zatem wypowiedzieć ten problem w sposób ścisły?? Ja nie próbowałem, tylko intuicyjnie rozumiałem o co chodzi. Jak to uściślić??
-
- Administrator
- Posty: 34276
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe
No to Ci to Dasio11 maksymalnie uściślił - czego jeszcze oczekujesz?
"Intuicyjnie" to bardzo nieścisłe określenie. Skąd mamy wiedzieć, co sobie wyobrażałeś, jeżeli tego nie sprecyzujesz? "Intuicyjna składowa" może być czymkolwiek. Dasio11 przyjął standardowe rozumienie składowej, przy której "rozkład zbioru na składowe" to po prostu pewien podział tego zbioru. Ale tutaj potrzebujesz jeszcze dopełnień.Jakub Gurak pisze: ↑24 lip 2021, o 19:07 Ja nie próbowałem, tylko intuicyjnie rozumiałem o co chodzi.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe
A czy można, zakładając, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest nieskończona, bo dla skończenie wielu zbiorów sprawa jest chyba zbadana, rozważyć rodzinę:
\(\displaystyle{ C=\left\{ \bigcap\mathbb{A} | \mathbb{A}\subset \mathbb{B}\right\} \setminus \left\{ \emptyset\right\}. }\)
rodzinę niepustych przekrojów mnogościowych rodzin zbiorów z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B},}\) i wybrać z niej zbiory minimalne pod względem inkluzji, i pokazać, że taka rodzina jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\)??
Chciałbym, nim to udowodnię, chciałbym się upewnić czy takie podejście oznacza to samo co standardowe rozumienie składowej, czy to to samo
\(\displaystyle{ C=\left\{ \bigcap\mathbb{A} | \mathbb{A}\subset \mathbb{B}\right\} \setminus \left\{ \emptyset\right\}. }\)
rodzinę niepustych przekrojów mnogościowych rodzin zbiorów z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B},}\) i wybrać z niej zbiory minimalne pod względem inkluzji, i pokazać, że taka rodzina jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\)??
Chciałbym, nim to udowodnię, chciałbym się upewnić czy takie podejście oznacza to samo co standardowe rozumienie składowej, czy to to samo
-
- Administrator
- Posty: 34276
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe
A jak to działa dla rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}=\{\{1,2,3\}, \{3,4,5\},\{1,5,6\}\}\cup\{\{n\}:n\in\NN\cap[7,+\infty)\}}\) ?
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe
Odpowiedź znowu będzie skrajna: \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ n\right\}: \ n=1,2,3,\ldots \right\} }\).
Ale jest to rozkład zbioru \(\displaystyle{ \NN_+.}\)
Ale jest to rozkład zbioru \(\displaystyle{ \NN_+.}\)
-
- Administrator
- Posty: 34276
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe
Tak? A niby w jaki sposób zamierzasz otrzymać \(\displaystyle{ \{2\},\{4\},\{6\}}\) jako przekroje podrodzin rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) ?Jakub Gurak pisze: ↑29 sie 2021, o 22:37 Odpowiedź znowu będzie skrajna: \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ n\right\}: \ n=1,2,3,\ldots \right\} }\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Rozkład sumy rodziny zbiorów na składowe
Racja- zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 2\right\}}\) nie otrzymam w ten sposób. Czyli to był niedobry pomysł. Chyba rzeczywiście
potrzebuję jeszcze dopełnień zbiorów.