\(\displaystyle{ 1)A=O(x)=\left\{ y\in X: \ y<x \right\} ,\hbox{ gdzie } x\in X,}\)
\(\displaystyle{ 2)A=\overline {O(x)}=\left\{ y\in X: \ y \le x\right\} , \hbox{ gdzie } x\in X,}\)
\(\displaystyle{ 3)A=\left[ x, \rightarrow \right) =\left\{ y\in X: y \ge x \right\} , \hbox{ gdzie } x\in X,}\)
\(\displaystyle{ 4)A=\left( x, \rightarrow \right) =\left\{ y\in X: y>x\right\} , \hbox{ gdzie } x\in X,}\)
\(\displaystyle{ 5)A=\left[ a,b\right] =\left\{ z\in X: a \le z \le b\right\} , \hbox{ gdzie } a,b\in X, a \le b ,}\)
\(\displaystyle{ 6)A=\left( a,b\right) =\left\{ z\in X: a<z<b\right\} , \hbox{ gdzie } a,b\in X,}\)
\(\displaystyle{ 7)A=\left[ a,b\right)=\left\{ z\in X: a \le z<b\right\} , \hbox{ gdzie } a,b\in X,}\)
\(\displaystyle{ 8)A=\left( a,b\right]=\left\{ z\in X: \ a<z \le b\right\} , \hbox{ gdzie } a,b\in X.}\)
Po prostu przedziały dzielimy na przedziały nieograniczone z dołu, ograniczone i nieograniczone z góry, i w zależności czy końce przedziału są domknięte czy otwarte, to mamy dwa przypadki dla przedziałów nieograniczonych z dołu, cztery przypadki dla przedziałów ograniczonych i dwa przypadki dla przedziałów nieograniczonych z góry, innych możliwości nie ma- w zbiorze liniowo uporządkowanym ciągłym. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Zacznijmy od spostrzeżenia, że jeśli w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) podzbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest w jednej z tych ośmiu postaci, to \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem.
Dowód:
Gdyż jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci \(\displaystyle{ 1) }\) lub \(\displaystyle{ 2)}\), to jest przedziałem początkowym (o tych pojęciach, zwłaszcza o pojęciu reszty można przeczytać w podanym tu linku) , a więc przedziałem (łatwo pokazać, że każdy przedział początkowy jest przedziałem; oraz że każda reszta jest przedziałem). Wobec czego zbiory w postaci 1) lub 2) są przedziałami.
Jeśli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 3) lub 4) to jest resztą, a więc i przedziałem.
Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest w jednej z postaci 5-8, to jest przedziałem- łatwo to sprawdzić z definicji przedziału, dla przykładu rozważmy przedziały domknięte.
Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ \left[ a,b\right] }\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\), i pokażmy, że ten zbiór \(\displaystyle{ \left[ a,b\right] =\left\{ x\in X: a \le x \le b\right\}}\) jest przedziałem. W tym celu weźmy dwa elementy \(\displaystyle{ x,y\in \left[ a,b\right] }\), i weżmy element \(\displaystyle{ z\in X}\), taki, że \(\displaystyle{ x<z<y}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ z\in\left[ a,b\right]}\). Mamy \(\displaystyle{ x\in \left[ a,b\right] }\), a więc \(\displaystyle{ a \le x. }\) Mamy \(\displaystyle{ y \in \left[ a,b\right]}\) , a więc \(\displaystyle{ y \le b}\), a zatem z przechodniości porządku otrzymujemy, że \(\displaystyle{ a \le z \le b}\) (i \(\displaystyle{ z\in X}\)), więc \(\displaystyle{ z\in \left[ a,b\right] }\), i zbiór \(\displaystyle{ \left[ a,b\right]}\) jest przedziałem.
Łatwo można też sprawdzić, że zbiory postaci 6-8 są również przedziałami.
Wobec czego jeśli w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) podzbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) można przedstawić w jednej z postaci 1-8, to \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem.
Jednak w zbiorze liniowo uporządkowanym może istnieć niepusty i różny od całego zbioru przedział, który nie jest w żadnej z tych ośmiu postaci.
Aby to wykazać, rozważmy zbiór liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \RR \setminus \left\{ 0,1\right\}}\) bez zera i bez jedynki, z naturalnym porządkiem- zbiór liniowo uporządkowany. I rozważmy zwykły przedział \(\displaystyle{ \left( 0,1\right) \subset \RR \setminus \left\{ 0,1\right\} .}\) Należy pokazać, że jest on przedziałem (w sensie porządku na \(\displaystyle{ \RR \setminus \left\{ 0,1\right\}). }\)
Dowód:
Aby pokazać, że nie jest on postaci przedziałów początkowych zauważmy, że zbiory postaci \(\displaystyle{ O(x)}\), dla \(\displaystyle{ x\in\RR \setminus \left\{ 0,1\right\},}\) są nieograniczone z dołu, jak również zbiory postaci \(\displaystyle{ \overline{O(x)}}\), dla \(\displaystyle{ x\in\RR \setminus \left\{ 0,1\right\}}\) są nieograniczone z dołu, podczas gdy nasz odcinek \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\) jest ograniczony z dołu (np. przez \(\displaystyle{ -1}\) nie przez \(\displaystyle{ 0}\)- \(\displaystyle{ 0}\) nie należy do naszego zbioru \(\displaystyle{ \RR \setminus \left\{ 0,1\right\} }\)), a więc jest to zbiór ograniczony z dołu. Wobec czego \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\) nie może być postaci \(\displaystyle{ O(x)}\), dla żadnego \(\displaystyle{ x\in\RR \setminus \left\{ 0,1\right\}}\) , podobnie nie może być postaci \(\displaystyle{ \overline {O(x)},}\) dla żadnego \(\displaystyle{ x}\).
Aby pokazać, że \(\displaystyle{ (0,1)}\) nie jest w postaci reszty, zauważmy, że zbiory postaci \(\displaystyle{ \left[ x , \rightarrow \right),}\) dla \(\displaystyle{ x\in \RR \setminus \left\{ 0,1\right\},}\) są nieograniczone z góry, a \(\displaystyle{ (0,1)}\) jest ograniczony z góry (np. przez \(\displaystyle{ 2}\)). Zauważmy również, że zbiory postaci \(\displaystyle{ \left( x, \rightarrow \right) }\), dla \(\displaystyle{ x\in\RR \setminus \left\{ 0,1\right\}, }\) są nieograniczone z góry, a \(\displaystyle{ (0,1)}\) jest ograniczony z góry (przez \(\displaystyle{ 2}\)). Wobec czego (\(\displaystyle{ (0,1)}\) nie jest postaci \(\displaystyle{ \left[ x, \rightarrow \right] ,}\) dla żadnego \(\displaystyle{ x\in\RR \setminus \left\{ 0,1\right\}}\), i nie jest postaci \(\displaystyle{ \left( x, \rightarrow \right),}\) dla żadnego \(\displaystyle{ x. \square}\)
Zauważmy, że przyczyną takiego stanu rzeczy było to, że w \(\displaystyle{ \RR \setminus \left\{ 0,1\right\}}\) były dwie luki (\(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\)), więc można podejrzewać, że w zbiorze liniowo uporządkowanym ciągłym (gdzie nie ma luk) już tak być nie może. I rzeczywiście udowodniłem twierdzenie, że:
Jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym ciąglym, a \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest niepustym i różnym od całego zbioru przedziałem, to \(\displaystyle{ A}\) jest w jednej z tych ośmiu postaci.
Dowód jest wnioskiem z trzech wcześniej udowodnionych twierdzeń twierdzeń odnośnie tego jak wyglądają przedziały początkowe w zbiorze liniowo uporządkowanym ciągłym, jak wyglądają reszty w zbiorze liniowo uporządkowanym ciągłym, no i twierdzenie jak wyglądają przedziały nie będące przedziałem początkowym ani resztą w zbiorze liniowo uporządkowanym ciągłym, które udowodniłem TUTAJ (tam jest zbyt mocna teza, dopiero teraz dokładnie udowodnię, że przedział jest w dokładnie jednej z tych czterech postaci, ale myślę, że ten dowód pokazuję, że taki przedział jest w jednej z tych czterech postaci, to na pewno):
Dowód:
Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym, ponieważ porządek jest ciągły, to \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 1) albo w postaci 2).
Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest resztą, ponieważ porządek jest ciągły, to \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 3) albo 4).
Jeśli \(\displaystyle{ A}\) nie jest przedziałem początkowym ani resztą, to na mocy twierdzenia, do którego odsyłałem, \(\displaystyle{ A}\) jest w jednej z postaci 5), 6),7),8). \(\displaystyle{ \square}\)
Zauważmy, że bez dodatkowych założeń o zbiorze liniowo uporządkowanym ciągłym, może istnieć niepusty i różny od całego zbioru przedział , który można przedstawić w dwóch z poniższych postaci, np. w postaci przedziału domkniętego, i w postaci domkniętego przedziału początkowego.
Aby to wykazać, rozważmy zwykły przedział domknięty \(\displaystyle{ \left[ -1,1\right]}\) z naturalnym porządkiem. Jest to zbiór liniowo uporządkowany ciągły- jest to zbiór liniowo uporządkowany, jest gęsty, gdyż żaden przekrój Dedekinda nie daje skoku, i jest ciągły, gdyż żaden przekrój nie daje luki (polecam narysować to sobie).
Rozważmy zwykły odcinek domknięty \(\displaystyle{ \left[ -1,0\right].}\) Wykażemy, że on jest przedziałem (w sensie porządku na \(\displaystyle{ \left[ -1,1\right] }\)).
Dowód:
Jednak, jeśli tylko o zbiorze liniowo uporządkowanym ciągłym założymy, że nie ma elementu najmniejszego oraz że nie ma elementu największego, to każdy niepusty i różny od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\) przedział \(\displaystyle{ A\subset X}\) będzie w dokładnie jednej z tych ośmiu postaci.
Dowód:
Ponieważ zbiór liniowo uporządkowany jest ciągły, a \(\displaystyle{ A }\) jest niepustym i różnym od całego zbioru przedziałem, to \(\displaystyle{ A}\) jest w jednej z tych ośmiu postaci. Pozostaje pokazać, że nie może być w żadnych dwóch z tych postaci. Jednak to wymaga rozważenia \(\displaystyle{ 28}\) przypadków (\(\displaystyle{ 7+6+5+4+3+2+1}\)). Będziemy często jednym dowodem załatwiać od razu cztery przypadki, i to wszystko sprawdzimy.
Dwa przypadki mamy już sprawdzone, tzn. nie może zbiór \(\displaystyle{ A}\) być jednocześnie w postaci 1) i 2), oraz nie może zbiór \(\displaystyle{ A}\) być jednocześnie w postaci 3) i 4), można się doszukać uzasadnienia w tym linku.
Wykażemy teraz, że jeżeli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 1) lub 2), to nie może być w postaci 3) ani 4), co da nam \(\displaystyle{ 4}\) kolejne przypadki.
Dowód:
Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 1) lub 2), to \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym. Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 3) lub 4), to \(\displaystyle{ A}\) jest resztą. (Już widać, że to raczej niemożliwe, ale musimy wykluczyć to w sposób ścisły). Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest resztą, to jego dopełnienie \(\displaystyle{ X \setminus A=:A'}\) jest przedziałem początkowym. Ponieważ w zbiorze liniowo uporządkowanym dla dwóch przedziałów początkowych jeden się zawiera w drugim, więc \(\displaystyle{ A\subset A'}\) lub \(\displaystyle{ A'\subset A}\). Z własności dopełnienia otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A \cap A'=\emptyset}\). Tymczasem jeśli \(\displaystyle{ A\subset A'}\), to \(\displaystyle{ A \cap A'=A=\emptyset}\)- sprzeczność z założeniem , a jeśli \(\displaystyle{ A'\subset A}\), to \(\displaystyle{ A' \cap A=A'}\), tak więc \(\displaystyle{ A'= \emptyset}\), a zatem \(\displaystyle{ A=(A')'=\emptyset'=X}\), więc \(\displaystyle{ A=X}\)-sprzeczność, co kończy dowód tych czterech przypadków.
Wykażemy teraz, że jeżeli zbiór \(\displaystyle{ A }\) jest w postaci 1) lub 2), to nie może być w postaci 5) ani 7), kolejne cztery przypadki.
Nim to udowodnimy przypomnijmy, prosty fakt, że jeśli w zbiorze liniowo uporządkowanym mamy przedział początkowy oraz jego element najmniejszy \(\displaystyle{ x}\), to \(\displaystyle{ x}\) jest najmniejszy również w całym zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ X}\), łatwo to nie wprost udowodnić.
Przejdźmy do naszego dowodu.
Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 1-2, to \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym. Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 5) lub 7), to \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy, oznaczmy go \(\displaystyle{ c}\). Ponieważ \(\displaystyle{ c}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ A}\), w przedziale początkowym, to również \(\displaystyle{ c}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ X}\), co jest sprzeczne z naszym założeniem odnośnie zbioru ciągłego, że nie ma w nim elementu najmniejszego-sprzeczność.
Już mamy \(\displaystyle{ 10}\) przypadków.
Wykażemy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 1 lub 2, to \(\displaystyle{ A}\) nie może być w postaci 6 ani 8, kolejne cztery przypadki.
Dowód:
Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 1 lub 2, to \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym. Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 6 tzn. przedziałem otwartym \(\displaystyle{ A=(a,b)}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\), to nie jest przedziałem początkowym. Aby to uzasadnić należy wskazać element \(\displaystyle{ A}\) oraz element od niego mniejszy, który nie należy do \(\displaystyle{ A}\). Aby to zrobić, to niech \(\displaystyle{ c\in A \neq \left\{ \right\} }\), wtedy \(\displaystyle{ c\in\left( a,b\right)=A }\), zatem \(\displaystyle{ c>a}\), i \(\displaystyle{ a\not\in (a,b)}\), gdyż \(\displaystyle{ a\not>a.}\) Zatem \(\displaystyle{ A=(a,b)}\) nie jest przedziałem początkowym.
Pozostaje rozważyć przypadek 8. Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 8, to \(\displaystyle{ A=\left( a,b\right]}\) , gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\). Wykażemy, że wtedy \(\displaystyle{ A}\) nie jest przedziałem początkowym. W tym celu należy wskazać jego jeden element oraz element od niego mniejszy, który nie należy do \(\displaystyle{ A}\). Niech \(\displaystyle{ c\in A \neq \left\{ \right\}}\). Wtedy \(\displaystyle{ c\in\left( a,b\right]=A}\), zatem \(\displaystyle{ c>a}\), czyli \(\displaystyle{ a<c}\), i \(\displaystyle{ a\not\in \left( a,b\right],}\) gdyż \(\displaystyle{ a\not> a}\). Wobec czego \(\displaystyle{ \left( a,b\right]=A}\) nie jest przedziałem początkowym. Ponieważ zbiory w postaci 1 lub 2 są przedziałami początkowymi, więc otrzymujemy sprzeczność, co kończy dowód.
Wykażemy teraz, że jeśli zbiór jest w postaci 3 lub 4, to nie może być w postaci 6 ani 7, kolejne cztery przypadki.
Jeżeli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 3 lub 4, to \(\displaystyle{ A}\) jest resztą. Jeżeli \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 6, to \(\displaystyle{ A=\left( a,b\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X.}\) Wykażemy, że wtedy \(\displaystyle{ A}\) nie jest resztą. W tym celu należy wskazać element \(\displaystyle{ A}\), oraz element od niego większy który nie należy do \(\displaystyle{ A}\). Niech \(\displaystyle{ c\in A \neq \left\{ \right\}}\). Wtedy \(\displaystyle{ c\in \left( a,b\right)=A}\), zatem \(\displaystyle{ c<b}\), i mamy \(\displaystyle{ b\not\in \left( a,b\right)=A}\), gdyż \(\displaystyle{ b\not <b}\). Zatem \(\displaystyle{ A=(a,b)}\) nie jest resztą-sprzeczność.
Pozostaje rozważyć gdy zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 7. Wtedy \(\displaystyle{ A=\left[ a,b\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\). Wykażemy, że wtedy \(\displaystyle{ A}\) nie jest resztą. W tym celu nalezy wskazać element \(\displaystyle{ A}\) oraz element od niego większy, który nie należy do \(\displaystyle{ A.}\) Niech \(\displaystyle{ c\in A \neq \left\{ \right\} }\). Wtedy \(\displaystyle{ c\in \left[ a,b\right)=A}\), a zatem \(\displaystyle{ c<b,}\) i \(\displaystyle{ b\not\in \left[ a,b\right)=A}\) , gdyż \(\displaystyle{ b\not < b.}\) A zatem \(\displaystyle{ A}\) nie jest resztą-sprzeczność.
Nim przejdziemy dalej udowodnijmy najpierw, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym ciągłym, a \(\displaystyle{ a,b\in X}\), to w przedziale \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\) nie ma elementu najmniejszego.
Dowód:
Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ c\in (a,b)}\) jest jego elementem najmniejszym. Ponieważ \(\displaystyle{ c\in(a,b)}\), to \(\displaystyle{ a<c}\), ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest ciągły, a więc i gęsty, więc otrzymujemy element \(\displaystyle{ x\in X}\) (pośredni), czyli taki, że \(\displaystyle{ a<x<c}\). Ponieważ \(\displaystyle{ c\in (a,b)}\), to \(\displaystyle{ c<b}\) , zatem \(\displaystyle{ a<x<c<b}\), więc \(\displaystyle{ a<x<b}\), a zatem \(\displaystyle{ x\in (a,b)}\), a ponieważ \(\displaystyle{ c }\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ (a,b)}\), więc \(\displaystyle{ c \le x}\), a \(\displaystyle{ x<c}\)-sprzeczność.
Analogicznie udowadniamy, że w przedziale otwartym \(\displaystyle{ (a,b)}\) nie ma elementu największego.
Wykażemy jeszcze, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest ciągły, \(\displaystyle{ a,b\in X}\), to w przedziale \(\displaystyle{ \left[ a,b\right)}\) nie ma elementu największego.
Dowód:
Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ c}\) jest elementem największym w \(\displaystyle{ \left[ a,b\right)}\). Wtedy \(\displaystyle{ c\in\left[ a,b\right)}\), a zatem \(\displaystyle{ a \le c<b.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest ciągły, a więc i gęsty, więc otrzymujemy element \(\displaystyle{ x\in X}\) pośredni pomiędzy \(\displaystyle{ c}\) a \(\displaystyle{ b}\), tzn. taki, że \(\displaystyle{ c<x<b}\). Wtedy \(\displaystyle{ a<x<b}\), a zatem \(\displaystyle{ x\in \left[ a,b\right). }\) Ponieważ \(\displaystyle{ c}\) jest największy w \(\displaystyle{ \left[ a,b\right)}\), więc \(\displaystyle{ x \le c}\) , a \(\displaystyle{ x>c}\)- sprzeczność.
Analogicznie udowadniamy, że jeśli zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest ciągły, a \(\displaystyle{ a,b\in X}\), to w przedziale \(\displaystyle{ \left( a,b \right]}\) nie ma elementu najmniejszego, analogicznie nie wprost można to udowodnić.
Wróćmy do naszego dowodu.
Wykażemy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 5, to nie może być w postaci 6 ani 7 ani 8, kolejne trzy przypadki.
Dowód: Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 5, to \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy i ma element największy, podczas gdy jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 6, to zgodnie z powyższymi dowodami: w \(\displaystyle{ A}\) nie ma elementu najmniejszego- sprzeczność, i podobnie jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 7, to \(\displaystyle{ A}\) nie ma elementu największego -sprzeczność; i w postaci 8, wtedy \(\displaystyle{ A}\) nie ma elementu najmniejszego- sprzeczność.
Wykażemy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 6, to nie jest w postaci 7 ani 8, kolejne dwa przypadki.
Dowód:
Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 6, to w \(\displaystyle{ A}\) nie ma elementu najmniejszego, podczas gdy \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 7, to A ma element najmniejszy- sprzeczność, a gdy \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 8, to \(\displaystyle{ A}\) ma element największy, a gdy \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 6 to go nie ma- sprzeczność.
I jeszcze jeden przypadek teraz, \(\displaystyle{ A}\) nie może być jednocześnie w postaci 7 i 8.
Dowód:
Gdy \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 7, to ma element najmniejszy, podczas gdy \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 8 , to \(\displaystyle{ A}\) nie ma elementu najmniejszego- sprzeczność.
Pozostały ostatnie cztery przypadki, czyli jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 3 lub 4, to \(\displaystyle{ A}\) nie może być w postaci 5 ani 8.
Nim to udowodnimy, podajmy jeszcze jeden lemat, gdyż będzie nam potrzebny.
Lemat. Jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset X}\) niepustą resztą, i \(\displaystyle{ a\in X}\), to: \(\displaystyle{ a}\) jest największy w \(\displaystyle{ X}\), dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ a}\) jest największy w \(\displaystyle{ A}\) (w tej reszcie).
W szczególności to oznacza, że jeśli element jest największy w reszcie, to jest również największy w całym zbiorze liniowo uporządkowanym.
Przypominam, mamy podobną równoważność dla (niepustych) przedziałów początkowych: element \(\displaystyle{ a}\) jest najmniejszy w X, dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ a}\) jest najmniejszy w przedziale początkowym.
\(\displaystyle{ }\)
Przypominam, jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest resztą, to w porządku odwrotnym \(\displaystyle{ (X, \le ^{-1} )}\) zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym, jest to prosty fakt.
Dowód Lematu: Niech \(\displaystyle{ A\subset X}\) będzie niepustą resztą, niech \(\displaystyle{ a\in X.}\)
Zauważmy, że ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest resztą, to w porządku odwrotnym \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1} \right) }\) mamy, że \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym.
Mamy:
\(\displaystyle{ a}\) jest największy w \(\displaystyle{ A}\) (względem \(\displaystyle{ \le}\)), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ A}\), względem \(\displaystyle{ \le ^{-1}}\) , wtedy \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym, więc to zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ a}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ X,}\) względem \(\displaystyle{ \le ^{-1}}\), a to zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ a}\) jest elementem największym w \(\displaystyle{ X}\), względem \(\displaystyle{ \le.\square}\)
Zatem udowodnijmy ostatnie cztery przypadki, tzn, jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 3 lub 4, to \(\displaystyle{ A}\) nie może być w postaci 5 ani 8.
Dowód:
Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 3 lub 4, to \(\displaystyle{ A}\) jest resztą. Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci 5 lub 8, to \(\displaystyle{ A}\) ma element największy, nazwijmy go \(\displaystyle{ x}\). Wtedy \(\displaystyle{ x}\) jest największy w reszcie \(\displaystyle{ A}\), zatem, na mocy lematu powyżej, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x}\) jest największy w całym \(\displaystyle{ X}\), co jest sprzeczne z naszym założeniem odnośnie zbioru ciągłego \(\displaystyle{ X}\), że w nim nie ma elementu największego- sprzeczność.
Sprawdziliśmy wszystkie \(\displaystyle{ 28}\) przypadków, co oznacza, że przedział nie może być w dwóch różnych postaciach (nie może być też w trzech z tych postaci, bo wtedy byłby w pierwszych dwóch, a w takich być nie może), zatem może być w co najwyżej jednej z tych postaci, udowodniliśmy; że zawsze, ponieważ porządek jest ciągły, to jest w jednej z tych postaci, wobec czego zawsze jest w dokładnie jednej z tych postaci. \(\displaystyle{ \square}\)