Pewnik wyboru

[smo]

Chciałbym zapytać czy dobrze to rozumiem(jest to część tekstu z książki z którą pracuję dotycząca pewnika wyboru):
Mamy rodzinę zbiorów niepustych \(\displaystyle{ \mathcal {R}}\) oraz rodzinę zbiorów parami rozłącznych \(\displaystyle{ \mathcal {S}=\left\{ R\times \left\{ R\right\}:R \in \mathcal {R} \right\} }\). Niech \(\displaystyle{ g:\mathcal {S} \rightarrow \bigcup \mathcal {S}}\) będzie funkcją wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal {S}}\), \(\displaystyle{ h: \mathcal {R} \rightarrow \mathcal {S}}\) niech będzie funkcją określoną wzorem \(\displaystyle{ h\left( R\right)=R\times \left\{ R\right\} }\) oraz
\(\displaystyle{ pr: \bigcup_{R \in \mathcal {R}} R\times \left\{ R\right\} \rightarrow \bigcup_{R \in \mathcal{R}}R}\) niech oznacza rzutowanie. Wówczas \(\displaystyle{ pr\circ g\circ h}\) jest funkcją wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal {R}}\).
Rozumiem to w ten sposób, że skoro \(\displaystyle{ g:\left\{ R\times \left\{ R\right\}:R \in \mathcal {R}\right\} \rightarrow \bigcup_{R \in \mathcal {R}}R\times \left\{ R\right\}}\) taka, że \(\displaystyle{ g\left( R\times \left\{ R\right\} \right) \in R\times \left\{ R\right\}}\) dla każdego \(\displaystyle{ R \in \mathcal {R}}\) oraz \(\displaystyle{ h:R \rightarrow R\times \left\{ R\right\}}\) to złożenie \(\displaystyle{ g\circ h:\left\{ R:R \in \mathcal {R}\right\} \rightarrow \bigcup_{R \in \mathcal {R}}R\times \left\{ R\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ \left( g\circ h\right)\left( R:R \in \mathcal {R}\right) \in R\times \left\{ R\right\}}\) dla każdego \(\displaystyle{ R \in \mathcal {R}}\) (tak na marginesie rozumiem, że jest to funkcja należąca do produktu rodziny \(\displaystyle{ \mathcal {S}}\)?).
I dalej: \(\displaystyle{ pr\circ g\circ h:\left\{ R:R \in \mathcal {R}\right\} \rightarrow \bigcup_{R \in \mathcal {R}}R}\), taka, że \(\displaystyle{ \left( pr\circ g\circ h\right) \left( R\right) \in R}\) dla każdego \(\displaystyle{ R \in \mathcal {R}}\), a więc z definicji pewnika wyboru wynika, że złożenie tych trzech funkcji jest funkcją wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal {R}}\)?

DS

[matmatmm]

\(\displaystyle{ h:R \rightarrow R\times \left\{ R\right\}}\)

To jest niepoprawne.

to złożenie \(\displaystyle{ g\circ h:\left\{ R:R \in \mathcal {R}\right\} \rightarrow \bigcup_{R \in \mathcal {R}}R\times \left\{ R\right\}}\)

O wiele prościej jest napisać
\(\displaystyle{ g\circ h:\mathcal{R} \rightarrow \bigcup_{R \in \mathcal {R}}R\times \left\{ R\right\}}\)

, gdzie \(\displaystyle{ \left( g\circ h\right)\left( R:R \in \mathcal {R}\right) \in R\times \left\{ R\right\}}\) dla każdego \(\displaystyle{ R \in \mathcal {R}}\)

Co to za dziwny zapis? Powinno być \(\displaystyle{ \left( g\circ h\right)(R)\in R\times\{R\}}\).

(tak na marginesie rozumiem, że jest to funkcja należąca do produktu rodziny \(\displaystyle{ \mathcal {S}}\)?).

Która funkcja i jakiego produktu?

I dalej: \(\displaystyle{ pr\circ g\circ h:\left\{ R:R \in \mathcal {R}\right\} \rightarrow \bigcup_{R \in \mathcal {R}}R}\),

Znowu prościej jest napisać
\(\displaystyle{ pr\circ g\circ h:\mathcal{R} \rightarrow \bigcup\mathcal{R}}\)

taka, że \(\displaystyle{ \left( pr\circ g\circ h\right) \left( R\right) \in R}\) dla każdego \(\displaystyle{ R \in \mathcal {R}}\), a więc z definicji pewnika wyboru wynika, że złożenie tych trzech funkcji jest funkcją wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal {R}}\)?

Nie z definicji pewnika wyboru tylko z definicji funkcji wyboru.

[smo]

Dziękuję.

\(\displaystyle{ h:R \rightarrow R\times \left\{ R\right\}}\)
To jest niepoprawne.

Jaki powinien być prawidłowy zapis?

(tak na marginesie rozumiem, że jest to funkcja należąca do produktu rodziny \(\displaystyle{ \mathcal {S}}\)?).

Która funkcja i jakiego produktu?
Chodziło mi o to, że \(\displaystyle{ g\circ h \in \prod_{R \in \mathcal {R}}R\times \left\{ R\right\}}\). Czyli funkcja \(\displaystyle{ g\circ h}\) jest funkcją z produktu dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal {S}}\).

DS

[matmatmm]

Dziękuję.

\(\displaystyle{ h:R \rightarrow R\times \left\{ R\right\}}\)
To jest niepoprawne.

Jaki powinien być prawidłowy zapis?

\(\displaystyle{ h:\mathcal{R}\rightarrow \mathcal{S}}\)
\(\displaystyle{ h(R)= R\times \left\{ R\right\}}\)

Chodziło mi o to, że \(\displaystyle{ g\circ h \in \prod_{R \in \mathcal {R}}R\times \left\{ R\right\}}\). Czyli funkcja \(\displaystyle{ g\circ h}\) jest funkcją z produktu dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal {S}}\).

Masz tutaj rację co do napisu

\(\displaystyle{ g\circ h \in \prod_{R \in \mathcal {R}}R\times \left\{ R\right\}}\)

Jednak pojęcie "produkt dla rodziny zbiorów" wydaje mi się być nieprecyzyjne, bo rodzinie zbiorów nie można jednoznacznie przypisać produktu Produkt zależy od tego, jaki przyjmiemy zbiór indeksów.

[Dasio11]

rodzinie zbiorów nie można jednoznacznie przypisać produktu

Można, to standardowa definicja:

\(\displaystyle{ \prod \mathcal{A} = \{ f : \mathcal{A} \to \bigcup{\mathcal{A}} \mid (\forall A \in \mathcal{A}) \, f(A) \in A \}}\)

czyli inaczej \(\displaystyle{ \prod \mathcal{A} = \prod_{A \in \mathcal{A}} A}\). Ogólnie każdą rodzinę zbiorów można traktować, jakby była indeksowana sama sobą.

[smo]

Dziękuję za wszystkie odpowiedzi.
Faktycznie definicję produktu formułuje się dla indeksowanej rodziny zbiorów. Co oznacza stwierdzenie rodzina zbiorów indeksowana sama ze sobą?
Czyli rozumiem, że funkcja \(\displaystyle{ g\circ h}\) jest funkcją z produktu dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal {S}}\)?

Chciałbym jeszcze zapytać czy dobrze rozumiem dowód jednego z twierdzeń w którym wykorzystuje się pewnik wyboru:
Jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją , to istnieje taka funkcja \(\displaystyle{ g:Y \rightarrow X}\), że \(\displaystyle{ f\circ g= id_{y} }\).

Dowód:
zakładamy, że \(\displaystyle{ Y \neq \emptyset}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to dla każdego \(\displaystyle{ y \in Y}\) mamy, że \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \neq \emptyset}\). I tutaj mam pytanie: rozumiem, że każdy element \(\displaystyle{ y \in Y}\) został tutaj potraktowany jako zbiór jednoelementowy \(\displaystyle{ \left\{ y\right\}}\)? Niech \(\displaystyle{ h}\) będzie funkcją wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \left\{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]:y \in Y \right\}}\). Z kolei tutaj stworzono ze wszystkich przeciwobrazów jednoelementowych zbiorów \(\displaystyle{ \left\{ y\right\}}\) czyli ze zbiorów \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]}\) zbiór-czyli rodzinę zbiorów-\(\displaystyle{ \left\{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]:y \in Y \right\}}\)? Mam też w tym miejscu pytanie nie dotyczące dowodu tego twierdzenia: jeżeli \(\displaystyle{ f}\) byłaby jednocześnie injekcją to wówczas każdy zbiór \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]}\) byłby zbiorem jednoelementowym czyli mielibyśmy \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] =\left\{ x\right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ x \in X}\)(w pewnym sensie dziedzina funkcji \(\displaystyle{ f}\) czyli zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest w tym wypadku sumą rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\) czyli \(\displaystyle{ dom\left( f\right) =X=\bigcup \left\{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]:y \in Y \right\} }\)?).
Z kolei gdyby \(\displaystyle{ f}\) nie była injekcją to wówczas istniałby przynajmniej jeden więcej niż jednoelementowy zbiór \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]}\) czyli np. zbiór \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] =\left\{ x_{1}, x_{2} \in dom\left( f\right):y=f\left( x_{1} \right)=f\left( x_{2} \right) \in \left\{ y\right\} \right\} }\) i rzecz jasna \(\displaystyle{ x_{1} \neq x_{2}}\)? Wydaję mi się też, że na przykładzie dowodu tego twierdzenia można by uznać funkcję \(\displaystyle{ g:Y \rightarrow X}\) za indeksowaną rodzinę zbiorów, gdzie każdy \(\displaystyle{ y \in Y}\) jest indeksem, a każdy przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ \left\{ y\right\}}\) jest zbiorem \(\displaystyle{ X_{y} \in \left\{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]:y \in Y \right\}}\)? Wówczas złożenie \(\displaystyle{ h\circ g}\) byłoby funkcją należącą do produktu rodziny \(\displaystyle{ \left\{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]:y \in Y \right\}}\)?

DS

[matmatmm]

Faktycznie definicję produktu formułuje się dla indeksowanej rodziny zbiorów. Co oznacza stwierdzenie rodzina zbiorów indeksowana sama ze sobą?

Sama sobą. Wtedy rodzina zbiorów jest jednocześnie zbiorem indeksów.

Czyli rozumiem, że funkcja \(\displaystyle{ g\circ h}\) jest funkcją z produktu dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal {S}}\)?

W sensie tej definicji to nie jest. Produkt

\(\displaystyle{ \prod_{R \in \mathcal {R}}R\times \left\{ R\right\}}\)

jest produktem dla rodziny \(\displaystyle{ \mathcal{S}}\) indeksowanej zbiorem \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\).

Dowód:
zakładamy, że \(\displaystyle{ Y \neq \emptyset}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to dla każdego \(\displaystyle{ y \in Y}\) mamy, że \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \neq \emptyset}\). I tutaj mam pytanie: rozumiem, że każdy element \(\displaystyle{ y \in Y}\) został tutaj potraktowany jako zbiór jednoelementowy \(\displaystyle{ \left\{ y\right\}}\)?

Nie.

Niech \(\displaystyle{ h}\) będzie funkcją wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \left\{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]:y \in Y \right\}}\). Z kolei tutaj stworzono ze wszystkich przeciwobrazów jednoelementowych zbiorów \(\displaystyle{ \left\{ y\right\}}\) czyli ze zbiorów \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]}\) zbiór-czyli rodzinę zbiorów-\(\displaystyle{ \left\{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]:y \in Y \right\}}\)?

Tak.

Mam też w tym miejscu pytanie nie dotyczące dowodu tego twierdzenia: jeżeli \(\displaystyle{ f}\) byłaby jednocześnie injekcją to wówczas każdy zbiór \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]}\) byłby zbiorem jednoelementowym czyli mielibyśmy \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] =\left\{ x\right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ x \in X}\)

Tak.

(w pewnym sensie dziedzina funkcji \(\displaystyle{ f}\) czyli zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest w tym wypadku sumą rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\) czyli \(\displaystyle{ dom\left( f\right) =X=\bigcup \left\{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]:y \in Y \right\} }\)?).

Nie wiem, co dokładnie masz na myśli w czerwonym fragmencie, ale równość jest prawdziwa (nawet dla dowolnej funkcji).

Z kolei gdyby \(\displaystyle{ f}\) nie była injekcją to wówczas istniałby przynajmniej jeden więcej niż jednoelementowy zbiór \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]}\)

Tak.

czyli np. zbiór \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] =\left\{ x_{1}, x_{2} \in dom\left( f\right):y=f\left( x_{1} \right)=f\left( x_{2} \right) \in \left\{ y\right\} \right\} }\) i rzecz jasna \(\displaystyle{ x_{1} \neq x_{2}}\)?

Tu zagmatwałeś.
Napis \(\displaystyle{ \left\{ x_{1}, x_{2} \in dom\left( f\right):y=f\left( x_{1} \right)=f\left( x_{2} \right) \in \left\{ y\right\} \right\} }\) nie jest poprawną definicją zbioru.

Poprawnie wystarczyłoby napisać:

\(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] =\{x_1,x_2\}}\), gdzie \(\displaystyle{ x_1\neq x_2}\).

Wydaję mi się też, że na przykładzie dowodu tego twierdzenia można by uznać funkcję \(\displaystyle{ g:Y \rightarrow X}\) za indeksowaną rodzinę zbiorów, gdzie każdy \(\displaystyle{ y \in Y}\) jest indeksem,

Jeśli się uprzeć, to każdą funkcję można uznać za indeksowaną rodzinę zbiorów. Gdy \(\displaystyle{ g:Y\rightarrow X}\) jest funkcją, to \(\displaystyle{ g=\{(y,g(y)): y\in Y\}}\).
Stosuję tutaj definicję funkcji jako samej relacji.

a każdy przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ \left\{ y\right\}}\) jest zbiorem \(\displaystyle{ X_{y} \in \left\{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]:y \in Y \right\}}\)?

Tak.

Wówczas złożenie \(\displaystyle{ h\circ g}\) byłoby funkcją należącą do produktu rodziny \(\displaystyle{ \left\{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]:y \in Y \right\}}\)?

Nie zdefiniowałeś nigdzie \(\displaystyle{ g}\). Zakładając, że \(\displaystyle{ g:Y\rightarrow X}\) (tak jak w wypowiedzi twierdzenia), to złożenie funkcji \(\displaystyle{ h\circ g}\) jest niemożliwe.

Swoją drogą dowód wygląda na niedokończony.

[smo]

Dziękuję.

Kończąc dowód tego twierdzenia rozumiem, że można powołać się na def. relacji identycznościowej, a więc \(\displaystyle{ id_{Y} =\left\{ \left( y,y\right):y \in Y \right\} }\). Skoro dla każdego \(\displaystyle{ y \in Y}\) mamy, że \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] =x}\) to \(\displaystyle{ \left( y,x\right) \in g}\) oraz \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in f}\). Wówczas z def. złożenia mamy, że \(\displaystyle{ f\circ g=\left\{ \left( y,y\right): y \in Y \right\} }\), a więc \(\displaystyle{ f\circ g= id_{Y} }\).
Jednocześnie \(\displaystyle{ rng\left( g\right)\cap dom\left( h\right) \neq \emptyset}\) bo \(\displaystyle{ rng\left( g\right) =X=dom\left( h\right) }\), a więc \(\displaystyle{ h\circ g \neq \emptyset}\) i jednocześnie \(\displaystyle{ h\circ g=\left\{ \left( y, f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \right): y \in Y \right\} }\).
Rozumiem też, że rodzina \(\displaystyle{ \left\{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]:y \in Y \right\}}\) jest rodziną zbiorów parami rozłącznych?

DS

[matmatmm]

Żeby dokończyć dowód tego twierdzenia przede wszystkim trzeba zdefiniować funkcję \(\displaystyle{ g}\).

Skoro dla każdego \(\displaystyle{ y \in Y}\) mamy, że \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] =x}\) to \(\displaystyle{ \left( y,x\right) \in g}\)

Ale przecież \(\displaystyle{ g}\) nie zostało jeszcze zdefiniowane

oraz \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in f}\).

\(\displaystyle{ x}\) zdefiniowałeś jako przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ \{y\}}\), czyli podzbiór \(\displaystyle{ X}\). Zazwyczaj nie będzie on należeć do dziedziny \(\displaystyle{ f}\) (w mnogościowych konstrukcjach zdarza się, że element zbioru jest jednocześnie jego podzbiorem).

Wówczas z def. złożenia mamy, że \(\displaystyle{ f\circ g=\left\{ \left( y,y\right): y \in Y \right\} }\), a więc \(\displaystyle{ f\circ g= id_{Y} }\).
Jednocześnie \(\displaystyle{ rng\left( g\right)\cap dom\left( h\right) \neq \emptyset}\) bo \(\displaystyle{ rng\left( g\right) =X=dom\left( h\right) }\), a więc \(\displaystyle{ h\circ g \neq \emptyset}\) i jednocześnie \(\displaystyle{ h\circ g=\left\{ \left( y, f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \right): y \in Y \right\} }\).

Jak wyżej, \(\displaystyle{ g}\) nie zostało jeszcze zdefiniowane.

Rozumiem też, że rodzina \(\displaystyle{ \left\{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]:y \in Y \right\}}\) jest rodziną zbiorów parami rozłącznych?

Tak.

[smo]

Zgadza się-nie zdefiniowałem funkcji \(\displaystyle{ g}\). Zatem niech \(\displaystyle{ g:Y \rightarrow X}\) będzie określona wzorem \(\displaystyle{ g\left( y\right) =h\left( f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \right) }\).
I rzecz jasna nie mogłem napisać, że \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\}\right] =x}\) bo \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]}\) jest zbiorem.
Idąc dalej: z def. złożenia relacji wynika, że \(\displaystyle{ f\circ g=\left\{ \left( y,y\right) \in Y\times Y: istnieje\ x \in X\ takie,\ że\ \left( y,x\right) \in g\ oraz\ \left( x,y\right) \in f \right\} }\). Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to \(\displaystyle{ Y=rng\left( f\right) }\), ale jednocześnie \(\displaystyle{ Y=dom\left( g\right) }\). Zatem \(\displaystyle{ rng\left( f\right) =dom\left( g\right) }\), a więc dla każdego \(\displaystyle{ y \in Y}\) mamy, że \(\displaystyle{ \left( y,y\right) \in f\circ g}\) czyli z def. \(\displaystyle{ f\circ g= id_{Y} }\).


DS

[matmatmm]

Idąc dalej: z def. złożenia relacji wynika, że \(\displaystyle{ f\circ g=\left\{ \left( y,y\right) \in Y\times Y: istnieje\ x \in X\ takie,\ że\ \left( y,x\right) \in g\ oraz\ \left( x,y\right) \in f \right\} }\).

Niepoprawnie zastosowałeś definicję złożenia. Powinno być

\(\displaystyle{ f\circ g=\left\{ \left( y,y'\right) \in Y\times Y: istnieje\ x \in X\ takie,\ że\ \left( y,x\right) \in g\ oraz\ \left( x,y'\right) \in f \right\} }\)

Zatem \(\displaystyle{ rng\left( f\right) =dom\left( g\right) }\), a więc dla każdego \(\displaystyle{ y \in Y}\) mamy, że \(\displaystyle{ \left( y,y\right) \in f\circ g}\)

A to jest wniosek z twojego błędnego stwierdzenia.

Żeby dokończyć dowód wystarczy pokazać, że dla każdego \(\displaystyle{ y\in Y}\): \(\displaystyle{ f(g(y))=y}\). A jeśli koniecznie chcesz się odwołać do definicji złożenia w ogólnej formie, to trzeba pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ (y,y')\in f\circ g}\), to \(\displaystyle{ y=y'}\).

[smo]

Dziękuję za wyjaśnienia.

Ponieważ \(\displaystyle{ g\left( y\right) =h\left( f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \right)=x}\) to wówczas para \(\displaystyle{ \left( y,x\right) \in g}\). Niech para \(\displaystyle{ \left( x, y^{'} \right) \in f}\) gdzie \(\displaystyle{ y^{'} \in Y}\) jest dowolnym elementem. Zatem \(\displaystyle{ \left( y^{'},x \right) \in g}\) czyli \(\displaystyle{ g\left( y\right) =g\left( y^{'} \right)=x}\). Skoro \(\displaystyle{ \left( y,x\right) \in g}\) to \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in f}\). Wówczas \(\displaystyle{ \left( x, y^{'} \right), \left( x,y\right) \in f}\), a ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją to \(\displaystyle{ y= y^{'} }\). Ponieważ równość ta zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ y \in Y}\) to z def. \(\displaystyle{ f\circ g=\left\{ \left( y,y\right) \in Y\times Y: y \in Y \right\}= id_{Y} }\).

Rozumiem, że funkcję \(\displaystyle{ g:Y \rightarrow X}\) należy tu potraktować jako funkcję odwrotną do funkcji \(\displaystyle{ f}\) taką, że \(\displaystyle{ g:Y \rightarrow X \subseteq f^{-1}:Y \rightarrow X}\), gdzie \(\displaystyle{ f^{-1}}\) jest relacją odwrotną do iloczyny kartezjańskiego \(\displaystyle{ X\times Y}\) w którym zawiera się funkcja \(\displaystyle{ f}\) (chodzi mi o to, że nic nie wiemy o injektywności funkcji\(\displaystyle{ f}\) ale możemy znaleźć taką funkcję \(\displaystyle{ g:Y \rightarrow X}\), która jest w pewnym sensie odwrotna do funkcji \(\displaystyle{ f}\). Innymi słowy - możemy znaleźć taką funkcję, że wszystkie jej pary uporządkowane należałyby do funkcji odwrotnej do \(\displaystyle{ f}\) przy założeniu, że \(\displaystyle{ f}\) byłaby bijekcją? Czy może w treści dowodu powyższego twierdzenia powinienem napisać "jeżeli para \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in f}\)"?).

DS

[matmatmm]

Zatem \(\displaystyle{ \left( y^{'},x \right) \in g}\)

Dlaczego? Jak dla mnie jest to wniosek wyciągnięty z kapelusza.

Skoro \(\displaystyle{ \left( y,x\right) \in g}\) to \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in f}\).

To także.

Rozumiem, że funkcję \(\displaystyle{ g:Y \rightarrow X}\) należy tu potraktować jako funkcję odwrotną do funkcji \(\displaystyle{ f}\)

Nie do końca. O funkcji odwrotnej można mówić gdy wyjściowa funkcja jest różnowartościowa.

taką, że \(\displaystyle{ g:Y \rightarrow X \subseteq f^{-1}:Y \rightarrow X}\),

Zapis niepoprawny. Jeśli \(\displaystyle{ f^{-1}}\) jest relacją odwrotną do \(\displaystyle{ f}\), to \(\displaystyle{ f^{-1}\subset Y\times X}\). wówczas \(\displaystyle{ g\subset f^{-1}}\)

gdzie \(\displaystyle{ f^{-1}}\) jest relacją odwrotną do iloczyny kartezjańskiego \(\displaystyle{ X\times Y}\) w którym zawiera się funkcja \(\displaystyle{ f}\).

\(\displaystyle{ f^{-1}}\) jest relacją odwrotną do \(\displaystyle{ f}\) nie do iloczynu kartezjańskiego \(\displaystyle{ X\times Y}\)

(chodzi mi o to, że nic nie wiemy o injektywności funkcji\(\displaystyle{ f}\) ale możemy znaleźć taką funkcję \(\displaystyle{ g:Y \rightarrow X}\), która jest w pewnym sensie odwrotna do funkcji \(\displaystyle{ f}\).

To się nazywa prawa odwotna.

Innymi słowy - możemy znaleźć taką funkcję, że wszystkie jej pary uporządkowane należałyby do funkcji odwrotnej do \(\displaystyle{ f}\) przy założeniu, że \(\displaystyle{ f}\) byłaby bijekcją?

Gdyby \(\displaystyle{ f}\) była bijekcją, to \(\displaystyle{ g}\) byłaby po prostu funkcją odwrotną.

[smo]

Dziękuję.

To się nazywa prawa odwotna

Przyznam, że nie znałem tego pojęcia. Mógłbyś podać pełną jego definicję?

Ciąg dalszy dowodu raz jeszcze:
Ponieważ \(\displaystyle{ g\left( y\right) =h\left( f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \right)=x}\) to para \(\displaystyle{ \left( y,x\right) \in g}\). Wówczas, ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to \(\displaystyle{ y \in Y=rng\left( f\right) }\), a zatem istnieje \(\displaystyle{ x^{'} \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x^{'} \right) }\). Wówczas \(\displaystyle{ \left( x^{'},y \right) \in f}\). Załóżmy, że para \(\displaystyle{ \left( y, y^{'} \right) \in f\circ g}\), gdzie \(\displaystyle{ y^{'} \in Y}\) jest dowolnym elementem. Z def. złożenia funkcji wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ \left( y,x\right) \in g}\) oraz \(\displaystyle{ \left( x, y^{'} \right) \in f}\), a zatem \(\displaystyle{ x= x^{'} }\). Skoro \(\displaystyle{ \left( x, y^{'} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in f}\) to \(\displaystyle{ y= y^{'} }\) bo \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją. Ponieważ równość ta zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ y \in Y}\) to wówczas \(\displaystyle{ f\circ g=\left\{ \left( y,y\right) \in Y\times Y: y \in Y \right\} }\) czyli z def. \(\displaystyle{ f\circ g= id_{Y} }\).

DS

[matmatmm]

Z def. złożenia funkcji wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ \left( y,x\right) \in g}\) oraz \(\displaystyle{ \left( x, y^{'} \right) \in f}\), a zatem \(\displaystyle{ x= x^{'} }\).

Tutaj jest ukryty błąd w rozumowaniu. Otóż z definicji złożenia wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x'' \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ \left( y,x''\right) \in g}\) oraz \(\displaystyle{ \left( x'', y^{'} \right) \in f}\) (nie można chwilowo użyć tutaj symbolu \(\displaystyle{ x}\) bo został on użyty wcześniej). Teraz ponieważ \(\displaystyle{ g}\) jest funkcją, to \(\displaystyle{ x=x''}\). Jednak stwierdzenie \(\displaystyle{ x=x'}\) już jest niepoprawne.

Podpowiem Ci, że musisz skorzystać w tym dowodzie z faktu, że \(\displaystyle{ h}\) jest funkcją wyboru, bo jak dotąd nigdzie tego nie zrobiłeś. Poza tym uważam, że pisanie \(\displaystyle{ (y,x)\in g}\) zamiast \(\displaystyle{ x=g(y)}\) (gdy \(\displaystyle{ g}\) jest funkcją) tylko utrudnia patrzenie na problem. Zacznę dowód.

Ustalmy \(\displaystyle{ y\in Y}\). Ponieważ \(\displaystyle{ h}\) jest funkcją wyboru \(\displaystyle{ g(y)=h\left( f^{-1}[\{y\}]\right) \in f^{-1}[\{y\}]}\). Z definicji przeciwobrazu wynika, że...

To się nazywa prawa odwotna

Przyznam, że nie znałem tego pojęcia. Mógłbyś podać pełną jego definicję?

Dla funkcji \(\displaystyle{ f:X\rightarrow Y}\) funkcję \(\displaystyle{ g:Y\rightarrow X}\) nazywamy prawą odwrotną, gdy \(\displaystyle{ f\circ g=id_{Y}}\)