Pewnik wyboru

[smo]

Dzięki za wskazówki.

To spróbuję raz jeszcze:
ustalmy dowolne \(\displaystyle{ y \in Y}\). Ponieważ \(\displaystyle{ h}\) jest funkcją wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \left\{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]:y \in Y \right\}}\) to \(\displaystyle{ g\left( y\right) =h\left( f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \right) \in f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] }\). Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ y \in \left\{ y\right\}}\) takie, że \(\displaystyle{ x \in dom\left( f\right) }\). Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to \(\displaystyle{ \left\{ y\right\} =f\left[ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \right] }\) dla każdego \(\displaystyle{ \left\{ y\right\} \subseteq Y}\). Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \right] }\) czyli \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in \left\{ y\right\} }\). Ale skoro \(\displaystyle{ x=g\left( y\right) }\) to \(\displaystyle{ y=f\left( g\left( y\right) \right)=\left( f\circ g\right)\left( y\right) }\) czyli \(\displaystyle{ f\circ g=\left\{ \left( y,y\right):y \in Y \right\}= id_{Y} }\).

DS

Dodano po 37 minutach 57 sekundach:
Inaczej:

ustalmy dowolne \(\displaystyle{ y \in Y}\). Ponieważ \(\displaystyle{ h}\) jest funkcją wyboru dla rodziny \(\displaystyle{ \left\{ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]:y \in Y \right\}}\) to \(\displaystyle{ g\left( y\right) =h\left( f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \right) \in f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] }\). Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ y \in \left\{ y\right\}}\) takie, że \(\displaystyle{ g\left( y\right) \in dom\left( f\right) }\). Zatem \(\displaystyle{ g\left( y\right) =x}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to \(\displaystyle{ \left\{ y\right\} =f\left[ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \right] }\) dla każdego \(\displaystyle{ \left\{ y\right\} \subseteq Y}\). Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \right] }\) czyli \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in \left\{ y\right\} }\). Ale skoro \(\displaystyle{ x=g\left( y\right) }\) to \(\displaystyle{ y=f\left( g\left( y\right) \right)=\left( f\circ g\right)\left( y\right) }\) czyli \(\displaystyle{ f\circ g=\left\{ \left( y,y\right):y \in Y \right\}= id_{Y} }\).

DS

[matmatmm]

Dowód 1.

Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ y \in \left\{ y\right\}}\) takie, że \(\displaystyle{ x \in dom\left( f\right) }\).

To się nie trzyma kupy. Popatrz dobrze na definicję przeciwobrazu.

Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to \(\displaystyle{ \left\{ y\right\} =f\left[ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \right] }\) dla każdego \(\displaystyle{ \left\{ y\right\} \subseteq Y}\).

\(\displaystyle{ y}\) jest już ustalony. Lepiej byłoby napisać, że zachodzi to dla tego właśnie \(\displaystyle{ y}\)

Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \right] }\) czyli \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in \left\{ y\right\} }\). Ale skoro \(\displaystyle{ x=g\left( y\right) }\) to \(\displaystyle{ y=f\left( g\left( y\right) \right)=\left( f\circ g\right)\left( y\right) }\) czyli \(\displaystyle{ f\circ g=\left\{ \left( y,y\right):y \in Y \right\}= id_{Y} }\).

Stwierdzenie na czerwono: Skąd to wiesz?


Dowód 2.

Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ y \in \left\{ y\right\}}\) takie, że \(\displaystyle{ g\left( y\right) \in dom\left( f\right) }\).

Znów źle zastosowałeś definicję przeciwobrazu.

Zatem \(\displaystyle{ g\left( y\right) =x}\).

Jako, że symbol \(\displaystyle{ x}\) nie występuje nigdzie wcześniej, to uznam to za jego definicję.

Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to \(\displaystyle{ \left\{ y\right\} =f\left[ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \right] }\) dla każdego \(\displaystyle{ \left\{ y\right\} \subseteq Y}\).

Ta sama uwaga co w dowodzie 1.

Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right]}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ f^{-1}\left[ \left\{ y\right\} \right] \right] }\) czyli \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in \left\{ y\right\} }\).

W tym miejscu nie możesz użyć symbolu \(\displaystyle{ x}\) na oznaczenie tego elementu, bo \(\displaystyle{ x}\) był użyty wcześniej.

Ale skoro \(\displaystyle{ x=g\left( y\right) }\) to \(\displaystyle{ y=f\left( g\left( y\right) \right)=\left( f\circ g\right)\left( y\right) }\) czyli \(\displaystyle{ f\circ g=\left\{ \left( y,y\right):y \in Y \right\}= id_{Y} }\).

A to jest już wniosek z niepoprawnego użycia symbolu \(\displaystyle{ x}\) w dwóch różnych miejscach.


Moja rada: Zastosuj poprawnie definicję przeciwobrazu w dowodzie, który zacząłem:

Ustalmy \(\displaystyle{ y\in Y}\). Ponieważ \(\displaystyle{ h}\) jest funkcją wyboru \(\displaystyle{ g(y)=h\left( f^{-1}[\{y\}]\right) \in f^{-1}[\{y\}]}\). Z definicji przeciwobrazu wynika, że...