Zbiory ograniczeń dolnych, zbiory ograniczeń górnych

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Zbiory ograniczeń dolnych, zbiory ograniczeń górnych

Post autor: Jakub Gurak »

Wprowadźmy notację, że jeśli \(\displaystyle{ (X, \le )}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a \(\displaystyle{ A}\) jego podzbiorem, to przez \(\displaystyle{ A^+}\) oznaczmy zbiór wszystkich ograniczeń górnych zbioru \(\displaystyle{ A}\), zbiór na prawo od zbioru \(\displaystyle{ A}\), będziemy go nazywać zbiorem prawostronnym zbioru \(\displaystyle{ A}\), a przez \(\displaystyle{ A^{-}}\) zbiór jego wszystkich ograniczeń dolnych, zbiór na lewo od zbioru \(\displaystyle{ A}\), będziemy go nazywać zbiorem lewostronnym zbioru \(\displaystyle{ A}\). Udowodniłem dzisiaj (a początek tego już wcześniej), że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, i mamy dwa podzbiory \(\displaystyle{ A,B\subset X}\), to dla ich odpowiednich zbiorów lewostronnych \(\displaystyle{ A^-, B^-}\)- jeden się zawiera w drugim. Udowodniłem dzisiaj analogiczny fakt dla zbiorów prawostronnych. Udowodniłem też dziś, że jeśli w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) mamy dowolny przedział \(\displaystyle{ A\subset X}\), to suma jego zbioru lewostronnego tego przedziału oraz jego zbioru prawostronnego daje cały zbiór \(\displaystyle{ X}\), tzn. \(\displaystyle{ A^- \cup A \cup A^+=X}\). Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym, i niech \(\displaystyle{ A,B\subset X}\) będą jego podzbiorami. Rozważmy ich zbiory lewostronne \(\displaystyle{ A^-,B^-}\), i pokażemy, że jeden z nich zawiera się w drugim.

Dowód:

Załóżmy, że \(\displaystyle{ A^-\not\subset B^-}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ A^-\supset B^-.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ A^-\not\subset B^-}\), to \(\displaystyle{ A^- \neq \emptyset}\) ( gdyż zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru, w szczególności \(\displaystyle{ \emptyset \subset B^-}\) ) i \(\displaystyle{ A^- \not\subset B^-}\), więc zaprzeczając definicji inkluzji otrzymujemy, że istnieje element \(\displaystyle{ a\in A^-}\), taki, że \(\displaystyle{ a\not\in B^-.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ a\in A^-}\), to element \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Aby pokazać, żądaną inkluzję, to niech \(\displaystyle{ x\in B^-}\). Wtedy \(\displaystyle{ x\in X}\), i \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ B}\). Aby wykazać, że \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ A}\), to weźmy \(\displaystyle{ b\in A}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ x \le b}\). Przypuśćmy, że tak nie jest. wtedy \(\displaystyle{ x>b\in A}\), a \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ A}\), więc \(\displaystyle{ a \le b<x}\), więc \(\displaystyle{ a<x}\). Pokażemy, że w takim wypadku \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ B}\). Niech \(\displaystyle{ c\in B}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ B}\), więc \(\displaystyle{ a<x \le c}\), więc \(\displaystyle{ a<c}\), a zatem (z dowolności \(\displaystyle{ c}\)) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ B}\), (i \(\displaystyle{ a\in X}\)), więc wnioskujemy stąd, że \(\displaystyle{ a\in B^-}\) -sprzeczność. A zatem musi być \(\displaystyle{ x \le b}\), a zatem \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ A}\), skąd możemy wnioskować, że \(\displaystyle{ x\in A^-. \square}\) (Wystarczy dowód pozbierać aby go zakończyć). :D

Nim udowodnimy analogiczny fakt dla zbiorów prawostronnych, podajmy najpierw lemat, że jeśli \(\displaystyle{ (X, \le )}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a \(\displaystyle{ A\subset X}\) jego podzbiorem, to dla porządku odwrotnego \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) mamy: \(\displaystyle{ A^+_ \le =A^- _{ \le ^{-1} }}\) - zbiór prawostronny zbioru \(\displaystyle{ A}\) względem porządku danego jest równy zbiorowi lewostronnemu tego zbioru \(\displaystyle{ A}\) względem porządku odwrotnego.
Dowód:    
Analogicznie udowadniamy, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest podzbiorem zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) , to zbiór lewostronny zbioru \(\displaystyle{ A}\) względem porządku danego jest równy zbiorowi prawostronnemu zbioru \(\displaystyle{ A}\) względem porządku odwrotnego.

Udowodnimy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, oraz mamy zbiory \(\displaystyle{ A,B\subset X}\), to dla ich zbiorów prawostronnych \(\displaystyle{ A^+,B^+}\) -jeden się zawiera w drugim.

PROSTY DOWÓD:

Na mocy lematu \(\displaystyle{ A^+=A ^{-} _{ \le ^{-1} }}\) oraz \(\displaystyle{ B ^{+} _{ \le } =B ^{-} _{ \le ^{-1} } .}\) Mamy \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, \(\displaystyle{ A,B\subset X}\), i możemy rozważyć ich zbiory lewostronne względem porządku odwrotnego \(\displaystyle{ A ^{-} _{ \le ^{-1} } , B ^{-} _{ \le ^{-1} } }\), zatem na mocy pierwszego twierdzenia, otrzymujemy, że jeden z tych zbiorów się zawiera w drugim, tzn. \(\displaystyle{ A ^{-} _{ \le ^{-1} } \subset B ^{-} _{ \le ^{-1} }}\) lub \(\displaystyle{ A ^{-} _{ \le ^{-1} } \supset B ^{-} _{ \le ^{-1} }}\), a to oznacza, że \(\displaystyle{ A^+ _{ \le } \subset B^+ _{ \le }}\) lub \(\displaystyle{ A^+ _{ \le } \supset B^+ _{ \le } . \square}\) :lol:

Wykażemy jeszcze, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym , a \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest dowolnym przedziałem, to suma zbioru lewostronnego przedziału \(\displaystyle{ A}\) oraz przedziału \(\displaystyle{ A}\) oraz jego zbioru prawostronnego daje cały zbiór \(\displaystyle{ X}\), tzn.: \(\displaystyle{ A ^{-} \cup A \cup A^+=X.}\)

Zauważmy najpierw, że jeśli \(\displaystyle{ A=\emptyset}\), to \(\displaystyle{ A^{-} =X, A ^{+} =X}\), gdyż dowolny element \(\displaystyle{ X}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru pustego, i dowolny element \(\displaystyle{ X}\) jest ograniczeniem górnym zbioru pustego, a zatem \(\displaystyle{ A^-=X, A^+=X}\), i stąd równość zachodzi. Załóżmy dalej, że \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem niepustym.

Zauważmy, że \(\displaystyle{ A\subset X, A^-\subset X}\) i \(\displaystyle{ A^+\subset X}\), w efekcie ich suma jest również podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\).

Aby pokazać inkluzję w drugą stronę, to weźmy \(\displaystyle{ x\in X}\), i załóżmy, że \(\displaystyle{ x\not\in A^-}\), i \(\displaystyle{ x\not\in A^+}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ x\in A.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x\not\in A^-}\), to \(\displaystyle{ x}\) nie jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ A}\) ( i \(\displaystyle{ A \neq \emptyset}\)), więc zaprzeczając definicji ograniczenia dolnego otrzymujemy, że istnieje \(\displaystyle{ a\in A}\), takie że \(\displaystyle{ x\not \le a}\). Wtedy \(\displaystyle{ a<x .}\) Podobnie, ponieważ \(\displaystyle{ x\not\in A^+}\), to \(\displaystyle{ x}\) nie jest ograniczeniem górny zbioru \(\displaystyle{ A}\) ( i \(\displaystyle{ A \neq \emptyset}\)), więc otrzymujemy, że istnieje \(\displaystyle{ b\in A}\), takie, że \(\displaystyle{ x\not \ge b}\), wtedy \(\displaystyle{ x<b}\). A zatem \(\displaystyle{ A\ni a<x<b\in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x\in A. \square }\) :D

Zbiory ograniczeń dolnych/górnych mają ciekawe zastosowanie w rozwiązaniu takiego poniższego zadania:

W zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) każdy podzbiór ma supremum, dokładnie wtedy, gdy każdy podzbiór ma infimum.

Szkic dowodu:

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym, w którym każdy podzbiór ma supremum (czyli takim, że podzbiory zawsze mają supremum), i pokazujemy, ze również każdy podzbiór ma infimum. Niech \(\displaystyle{ A}\) zatem będzie podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\). Pokazujemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma infimum. Rozważmy zbiór na lewo od \(\displaystyle{ A}\)- zbiór ograniczeń dolnych \(\displaystyle{ A}\), czyli \(\displaystyle{ A^-}\), taki zbiór, będący podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\), na mocy założenia, ma supremum, i pokazujemy, że to supremum jest infimum zbioru na prawo- zbioru \(\displaystyle{ A}\).

W drugą stronę -symetrycznie: Załóżmy, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) każdy podzbiór ma infimum( czyli takim, że podzbiory zawsze mają infimum). Niech \(\displaystyle{ A\subset X}\), pokazujemy, że \(\displaystyle{ A}\) ma supremum. Rozważmy zbiór na prawo od niego- zbiór \(\displaystyle{ A^+.}\) Taki zbiór na mocy założenia ma infimum, i pokazujemy, że to infimum jest supremum zbioru na lewo- zbioru \(\displaystyle{ A.\square }\)

Chyba piękne :?:
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiory ograniczeń dolnych, zbiory ograniczeń górnych

Post autor: Jakub Gurak »

Udowodniłem przedwczoraj, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym przedziałem, nie będącym przedziałem początkowym ani resztą, bez elementu najmniejszego i bez elementu największego, to rodzina trzyzbiorowa \(\displaystyle{ \left\{ A^-,A,A^+\right\}}\) tworzy rozkład zbioru \(\displaystyle{ X}\). Definicję tych pojęć można znaleźć TUTAJ, W PRZEDOSTATNIM POŚCIE. Nawet to ciekawe, choć, gdyż jest tu dużo założeń, to jest to mniej klasyczne, niestety. Przedstawię teraz dowód tego faktu:

Dowód:

Zauważmy najpierw, że \(\displaystyle{ A^-,A, A^+\subset X}\), więc rodzina \(\displaystyle{ \left\{ A^-,A,A^+\right\}}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem, to na mocy dowodu z postu powyżej \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ A^-,A,A^+\right\} =A^- \cup A \cup A^+=X.}\)

Wykażemy teraz, że zbiory \(\displaystyle{ A^-}\) i \(\displaystyle{ A}\) są rozłączne. Przypuśćmy nie wprost, że mają wspólny element \(\displaystyle{ x\in A^- \cap A.}\) Wtedy \(\displaystyle{ x\in A^-}\), zatem \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ A}\), i \(\displaystyle{ x\in A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ A}\), więc \(\displaystyle{ x \le y}\), dla każdego \(\displaystyle{ y\in A;}\) i \(\displaystyle{ x\in A}\), skąd możemy wnioskować, że \(\displaystyle{ x}\) jest elementem najmniejszym \(\displaystyle{ A}\), co jest sprzeczne z założeniem, że w \(\displaystyle{ A}\) nie ma elementu najmniejszego. Wobec czego zbiory \(\displaystyle{ A^-}\) i \(\displaystyle{ A }\) muszą być rozłączne.

Analogicznie uzasadniamy, że zbiory \(\displaystyle{ A^+}\) i \(\displaystyle{ A}\) muszą być rozłączne, gdyż w \(\displaystyle{ A}\) nie ma elementu największego.

Oczywiście zbiory \(\displaystyle{ A^-}\) i \(\displaystyle{ A^+}\) są rozłączne (choć nie do końca to takie całkiem oczywiste, formalnie może \(\displaystyle{ A}\) być zbiorem jednoelementowym równym \(\displaystyle{ A^- \cap A^+}\), ale w zbiorze jednoelementowym jego jedyny element jest jego elementem najmniejszym i największym, a w \(\displaystyle{ A}\) nie ma elementu najmniejszego i największego- sprzeczność ).

Pozostaje wykazać, że wszystkie trzy zbiory są niepuste. Niewątpliwie z założenia \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\} }\)- jest to zbiór niepusty.

Wykażemy teraz, że zbiór \(\displaystyle{ A^-}\) jest niepusty. Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) nie jest przedziałem początkowym i ponieważ \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\} }\), więc zaprzeczając definicji przedziału początkowego otrzymujemy, że istnieje \(\displaystyle{ a\in A,}\) oraz istnieje \(\displaystyle{ b\in X}\), takie, że \(\displaystyle{ b<a,}\) i \(\displaystyle{ b\not\in A.}\) Ja teraz stwierdzam, że \(\displaystyle{ b\in A^-}\). Aby to wykazać, należy wykazać, że element \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ A}\). W tym celu należy pokazać, że element \(\displaystyle{ b}\) jest mniejszy lub równy od każdego elementu \(\displaystyle{ A}\). Więc weźmy \(\displaystyle{ c\in A}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ b \le c}\). Przypuśćmy, że tak nie jest. wtedy \(\displaystyle{ b>c}\). A zatem \(\displaystyle{ A\ni c<b<a\in A}\), a \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ b\in A}\)- sprzeczność. Zatem musi być \(\displaystyle{ b \le c}\), i (z dowolności \(\displaystyle{ c\in A}\)) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ A}\), skąd \(\displaystyle{ b\in A^-}\), i \(\displaystyle{ A^- \neq \left\{ \right\} .}\)

Wykażemy teraz, że zbiór \(\displaystyle{ A^+}\) jest niepusty. Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) nie jest resztą i ponieważ \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\), więc otrzymujemy, że istnieje \(\displaystyle{ a\in A ,}\) i istnieje \(\displaystyle{ b\in X}\), takie, że \(\displaystyle{ b>a}\) i \(\displaystyle{ b\not\in A}\). Ja teraz stwierdzam, że \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\). Aby to wykazać, weźmy \(\displaystyle{ c\in A,}\) i pokażmy, że \(\displaystyle{ c \le b.}\) Przypuśćmy, że tak nie jest. Wtedy \(\displaystyle{ c>b}\), a zatem \(\displaystyle{ A\ni a<b<c\in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ b\in A}\)- sprzeczność. Wobec czego musi być \(\displaystyle{ c \le b}\), i \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\), skąd \(\displaystyle{ b\in A^+}\), i \(\displaystyle{ A^+ \neq \left\{ \right\} }\).

Zatem rodzina zbiorów \(\displaystyle{ \left\{ A^-,A,A^+\right\}}\) jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ X. \square }\):D :D
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiory ograniczeń dolnych, zbiory ograniczeń górnych

Post autor: Jakub Gurak »

Udowodniłem wczoraj, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a \(\displaystyle{ A\subset X}\) dowolnym jego podzbiorem, to zbiór lewostronny zbioru \(\displaystyle{ A}\), czyli \(\displaystyle{ A^-,}\) jest przedziałem początkowym, podobnie zbiór prawostronny \(\displaystyle{ A^+}\) jest resztą. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.

Dowód:

Mamy \(\displaystyle{ A^-\subset X}\). Aby wykazać, że ten zbiór jest przedziałem początkowym, to weźmy \(\displaystyle{ x\in A^-,}\) oraz weźmy \(\displaystyle{ y\in X}\), taki, że \(\displaystyle{ y<x}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ y\in A^-.}\) Mamy \(\displaystyle{ y\in X}\), pozostaje więc pokazać, że element \(\displaystyle{ y}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ A}\). W tym celu weźmy \(\displaystyle{ a\in A,}\) i pokażmy, że \(\displaystyle{ y \le a}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x\in A^-}\), więc \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ A}\), skąd (bo \(\displaystyle{ a\in A}\)), więc \(\displaystyle{ x \le a}\), mamy \(\displaystyle{ y<x}\), więc z przechodniości porządku \(\displaystyle{ y \le a. \square
}\)


Nim przeprowadzimy drugi dowód, przypomnijmy, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a \(\displaystyle{ A\subset X}\) przedziałem początkowym , to w porządku odwrotnym \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest resztą. Podobnie jeśli zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest resztą w \(\displaystyle{ \left( X, \le\right), }\) to w \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1} \right) }\) zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym. To są raczej proste fakty.

Wykażmy najpierw prosty lemat, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym a \(\displaystyle{ A\subset X}\) jego podzbiorem, to \(\displaystyle{ A^+ _{ \le }=A^- _{ \le ^{-1} }}\) - zbiór prawostronny zbioru \(\displaystyle{ A}\) względem porządku danego jest zbiorem lewostronnym zbioru \(\displaystyle{ A}\) względem porządku odwrotnego. To jednak jest proste, gdyż:

Obydwa zbiory są podzbiorami zbioru \(\displaystyle{ X}\), więc niech \(\displaystyle{ x\in X.}\) Wtedy:

\(\displaystyle{ x\in A^+ _{ \le } \Leftrightarrow \left( x \hbox { jest ograniczeniem górnym } A \hbox{ względem } \le \right) \Leftrightarrow\left( x \hbox{ jest ograniczeniem dolnym } A \hbox{ względem } \le ^{-1}\right) \Leftrightarrow x\in A^- _{ \le ^{-1} }.}\)

A zatem \(\displaystyle{ A^+ _{ \le }=A ^{-} _{ \le ^{-1} } .}\)

Łatwo będzie teraz udowodnić nasz drugi fakt, czyli, że dla \(\displaystyle{ A\subset X,}\) zbiór \(\displaystyle{ A^+}\) jest resztą.

PROSTY DOWÓD:

Na mocy lematu powyżej mamy \(\displaystyle{ A^+ _{ \le }=A^- _{ \le ^{-1} }}\). Ponieważ również \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, \(\displaystyle{ A \subset X}\) więc na mocy dowodu przeprowadzonego na początku tego postu \(\displaystyle{ B:=A^- _{ \le ^{-1} }}\) jest przedziałem początkowym. A zatem w \(\displaystyle{ \left( X, \left( \le ^{-1} \right) ^{-1}= \le\right) }\) zbior \(\displaystyle{ B}\) jest resztą, czyli również \(\displaystyle{ A^+ _{ \le }}\), jako ten sam zbiór, jest resztą względem \(\displaystyle{ \le. \square}\) :lol:

Możemy też w inny prosty sposób udowodnić (gdyż już ten fakt udowadniałem), ale możemy teraz bardzo prosto udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, i mamy dwa podzbiory \(\displaystyle{ A,B\subset X}\), to dla nich zbiorów lewostronnych \(\displaystyle{ A^-,B^-,}\) wtedy, jeden zawiera się w drugim, podobnie, dla zbiorów prawostronnych \(\displaystyle{ A^+,B^+,}\) jeden się zawiera w drugim.

BARDZO PROSTY DOWÓD:

Na mocy dowodów powyżej, stosując ten pierwszy fakt z przedziałami początkowymi do zbioru \(\displaystyle{ A,}\) otrzymujemy, że zbiór \(\displaystyle{ A^-}\) jest przedziałem początkowym. Podobnie, stosując ten fakt jeszcze raz, tym razem do zbioru \(\displaystyle{ B}\), otrzymujemy, że \(\displaystyle{ B^-}\) jest przedziałem początkowym. Mamy zatem dwa przedziały początkowe w \(\displaystyle{ X}\), tzn. \(\displaystyle{ A^-, B^-}\), a dla dwóch przedziałów początkowych jeden się zawiera w drugim ( dość prosty fakt), więc \(\displaystyle{ A^-\subset B^-}\) lub \(\displaystyle{ A^-\supset B^-.
}\)


Drugi dowód przeprowadzamy w sposób symetryczny, należy wykorzystać prosty fakt, że w zbiorze liniowo uporządkowanym jak mamy dwie reszty, to jedna się zawiera w drugiej. Można to symetrycznie, bardzo łatwo sprawdzić. :lol:
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiory ograniczeń dolnych, zbiory ograniczeń górnych

Post autor: Jakub Gurak »

Jakub Gurak pisze: 15 cze 2021, o 02:26 Udowodniłem też dziś, że jeśli w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) mamy dowolny przedział \(\displaystyle{ A\subset X}\), to suma jego zbioru lewostronnego tego przedziału oraz jego zbioru prawostronnego daje cały zbiór \(\displaystyle{ X}\), tzn. \(\displaystyle{ A^- \cup A \cup A^+=X}\).
Możemy zatem to teraz wzmocnić, tak, że: wszystkie te trzy sumowane zbiory są to przedziały. Gdyż:

Na mocy dowodu z powyżej ostatniego postu : zbiór \(\displaystyle{ A^-}\) jest przedziałem początkowym, a więc \(\displaystyle{ A^-}\) jest przedziałem (każdy przedział początkowy jest przedziałem- jest to prosty fakt).

I podobnie, na podstawie faktu z postu powyżej: zbiór \(\displaystyle{ A^+}\) jest resztą, a każda reszta jest przedziałem, więc zbiór \(\displaystyle{ A^+}\) jest przedziałem.\(\displaystyle{ \square }\)( Zbiór \(\displaystyle{ A}\) z założenia jest przedziałem).

Czyli cały zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest sumą trzech przedziałów. Ale jeszcze ciekawsze jest co innego:
Jakub Gurak pisze: 18 cze 2021, o 01:16 Udowodniłem przedwczoraj, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym przedziałem, nie będącym przedziałem początkowym ani resztą, bez elementu najmniejszego i bez elementu największego, to rodzina trzyzbiorowa \(\displaystyle{ \left\{ A^-,A,A^+\right\}}\) tworzy rozkład zbioru \(\displaystyle{ X}\).
Na przedziały- zbiory \(\displaystyle{ A^-, A, A^+}\) są to przedziały.

Nie wymaga to dowodu, wynika to od razu z faktu udowodnionego przed chwilą. Myślę, że to bardzo ciekawe, oto: 8-) :D
ODPOWIEDZ