Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej stopnia 2021 o współczynnikach wymiernych jest przeliczalny.

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
ola_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 13 cze 2021, o 13:19
Płeć: Kobieta
wiek: 19

Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej stopnia 2021 o współczynnikach wymiernych jest przeliczalny.

Post autor: ola_ »

Czy ktoś wie jak rozwiązać takie zadanie:
Udowodnij, że zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej stopnia \(\displaystyle{ 2021}\) o współczynnikach wymiernych jest przeliczalny.
Ostatnio zmieniony 13 cze 2021, o 14:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczono w złym dziale.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej stopnia 2021 o współczynnikach wymiernych jest przeliczalny.

Post autor: Jan Kraszewski »

Istnieje naturalna bijekcja pomiędzy tym zbiorem a zbiorem \(\displaystyle{ (\QQ\setminus\{0\})\times\QQ^{2021}}\), o którym łatwo można pokazać, że jest przeliczalny.

Zamiast bijekcji możemy wziąć też dwa szacowania i skorzystać z tw. Cantora-Bernsteina.

JK
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Udowodnij, że zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej stopnia 2021 o współczynnikach wymiernych jest przeliczal

Post autor: Janusz Tracz »

Zauważ, że \(\displaystyle{ \QQ_{2021}[x]}\) zanurza się w \(\displaystyle{ \QQ^{2020}}\)
\(\displaystyle{ \QQ_{2021}[x] \ni w \mapsto \left( a_{2021},\dots,a_1,a_0 \right) \in \QQ^{2020}. }\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Udowodnij, że zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej stopnia 2021 o współczynnikach wymiernych jest przeliczal

Post autor: Jan Kraszewski »

Janusz Tracz pisze: 13 cze 2021, o 14:10 Zauważ, że \(\displaystyle{ \QQ_{2021}[x]}\) zanurza się w \(\displaystyle{ \QQ^{\red{2020}}}\)
\(\displaystyle{ \QQ_{2021}[x] \ni w \mapsto \left( a_{2021},\dots,a_1,a_0 \right) \in \QQ^{\red{2020}}. }\)
No cóż, mawia się, że dobrzy matematycy miewają problem z liczeniem...

Jak policzymy liczby naturalne od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2021}\), to będzie ich \(\displaystyle{ 2022}\).

JK
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej stopnia 2021 o współczynnikach wymiernych jest przeliczalny.

Post autor: Janusz Tracz »

Dziękuje ma Pan rację powinno być \(\displaystyle{ 2022}\).
ODPOWIEDZ