Czy ktoś wie jak rozwiązać takie zadanie:
Udowodnij, że zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej stopnia \(\displaystyle{ 2021}\) o współczynnikach wymiernych jest przeliczalny.
Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej stopnia 2021 o współczynnikach wymiernych jest przeliczalny.
Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej stopnia 2021 o współczynnikach wymiernych jest przeliczalny.
Ostatnio zmieniony 13 cze 2021, o 14:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczono w złym dziale.
Powód: Temat umieszczono w złym dziale.
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej stopnia 2021 o współczynnikach wymiernych jest przeliczalny.
Istnieje naturalna bijekcja pomiędzy tym zbiorem a zbiorem \(\displaystyle{ (\QQ\setminus\{0\})\times\QQ^{2021}}\), o którym łatwo można pokazać, że jest przeliczalny.
Zamiast bijekcji możemy wziąć też dwa szacowania i skorzystać z tw. Cantora-Bernsteina.
JK
Zamiast bijekcji możemy wziąć też dwa szacowania i skorzystać z tw. Cantora-Bernsteina.
JK
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Udowodnij, że zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej stopnia 2021 o współczynnikach wymiernych jest przeliczal
Zauważ, że \(\displaystyle{ \QQ_{2021}[x]}\) zanurza się w \(\displaystyle{ \QQ^{2020}}\)
\(\displaystyle{ \QQ_{2021}[x] \ni w \mapsto \left( a_{2021},\dots,a_1,a_0 \right) \in \QQ^{2020}. }\)
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Udowodnij, że zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej stopnia 2021 o współczynnikach wymiernych jest przeliczal
No cóż, mawia się, że dobrzy matematycy miewają problem z liczeniem...Janusz Tracz pisze: ↑13 cze 2021, o 14:10 Zauważ, że \(\displaystyle{ \QQ_{2021}[x]}\) zanurza się w \(\displaystyle{ \QQ^{\red{2020}}}\)
\(\displaystyle{ \QQ_{2021}[x] \ni w \mapsto \left( a_{2021},\dots,a_1,a_0 \right) \in \QQ^{\red{2020}}. }\)
Jak policzymy liczby naturalne od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2021}\), to będzie ich \(\displaystyle{ 2022}\).
JK
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej stopnia 2021 o współczynnikach wymiernych jest przeliczalny.
Dziękuje ma Pan rację powinno być \(\displaystyle{ 2022}\).