Surjekcja, złożenie funkcji

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Surjekcja, złożenie funkcji

Post autor: smo »

Tutaj chciałbym przedstawić dowód twierdzenia:
"funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ Z}\) oraz dla dowolnych funkcji \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) zachodzi implikacja: \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\)."
Dowód implikacji: "jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją to dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ Z}\) oraz dla dowolnych funkcji \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) zachodzi implikacja: \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\):"
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie surjekcją oraz \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) niech będą funkcjami dla których zachodzi równość \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f }\). Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ y \in Y}\). Wówczas \(\displaystyle{ h_{1}\left( f\left( x\right) \right) = h_{2}\left( f\left( x\right) \right)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to \(\displaystyle{ Y=rng\left( f\right) }\) czyli \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\), a zatem \(\displaystyle{ h_{1}\left( y\right) = h_{1}\left( f\left( x\right) \right)= h_{2}\left( y\right)= h_{2}\left( f\left( x\right) \right) }\). Wówczas \(\displaystyle{ h_{1} = h_{2} }\).

Dowód implikacji: "jeżeli dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ Z}\) oraz dla dowolnych funkcji \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) zachodzi implikacja: \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\) to funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją."
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy funkcje \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) dla których zachodzi implikacja: \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\). Wówczas \(\displaystyle{ h_{1}\left( f\left( x\right) \right) = h_{2}\left( f\left( x\right) \right) }\), a zatem \(\displaystyle{ h_{1} = h_{2} }\). Z tej równości wynika także, że argumentami funkcji \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}}\)\(\displaystyle{ y \in Y}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\), a ponieważ \(\displaystyle{ Y=dom\left( h_{1} \right)=dom\left( h_{2} \right) }\) to wówczas każdy \(\displaystyle{ y \in Y}\) jest argumentem funkcji \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}}\). Tak więc każdy \(\displaystyle{ y}\) równa się \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) czyli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją.

DS
smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Surjekcja, złożenie funkcji

Post autor: smo »

Twierdzenie:
"złożenie dwóch surjekcji jest surjekcją".
Dowód:
niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y, g:Y \rightarrow Z}\) będą surjekcjami. Wówczas \(\displaystyle{ rng\left( f\right) =Y=dom\left( g\right) }\), a więc \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in dom\left( g\right)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in X}\). Ponieważ \(\displaystyle{ g}\) jest surjekcją to \(\displaystyle{ g\left( y\right) =g\left( f\left( x\right) \right) \in Z=rng\left( g\right) }\) dla każdego \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in Y}\). Wówczas \(\displaystyle{ \left( g\circ f\right)\left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right) }\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in X}\). Zatem \(\displaystyle{ \left( g\circ f\right)\left( x\right) \in Z=rng\left( g\right)=rng\left( g\circ f\right) }\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in X}\), a więc \(\displaystyle{ g\circ f}\) jest surjekcją.

DS
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Surjekcja, złożenie funkcji

Post autor: Jan Kraszewski »

No nie.
smo pisze: 6 cze 2021, o 12:46 niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y, g:Y \rightarrow Z}\) będą surjekcjami. Wówczas \(\displaystyle{ rng\left( f\right) =Y=dom\left( g\right) }\), a więc \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in dom\left( g\right)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in X}\).
Drugie zdanie powtarza to, co jest napisane w pierwszym zdaniu, więc jest zbędne.
smo pisze: 6 cze 2021, o 12:46Ponieważ \(\displaystyle{ g}\) jest surjekcją to \(\displaystyle{ g\left( y\right) =g\left( f\left( x\right) \right) \in Z=rng\left( g\right) }\) dla każdego \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in Y}\).
To nie wygląda dobrze.
smo pisze: 6 cze 2021, o 12:46Wówczas \(\displaystyle{ \left( g\circ f\right)\left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right) }\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in X}\). Zatem \(\displaystyle{ \left( g\circ f\right)\left( x\right) \in Z=rng\left( g\right)=rng\left( g\circ f\right) }\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in X}\), a więc \(\displaystyle{ g\circ f}\) jest surjekcją.
I to też.

Obserwacja jest dość prosta, ale jej zapis nie jest dobry. Jeżeli chcesz pokazać, że funkcja jest surjekcją, to powinieneś skorzystać z definicji surjekcji. Ten dowód powinien wyglądać tak:

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ z\in Z}\). Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest surjekcją, więc istnieje \(\displaystyle{ y\in Y}\) takie, że \(\displaystyle{ g(y)=z}\). Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją, więc istnieje \(\displaystyle{ x\in X}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x)=y}\). Wówczas \(\displaystyle{ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(y)=z,}\) zatem funkcja \(\displaystyle{ g\circ f}\) jest surjekcją.

JK
smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Surjekcja, złożenie funkcji

Post autor: smo »

Bardzo dziękuję za wyjaśnienie. Chciałbym jeszcze raz przedstawić dowód twierdzenia:
smo pisze: 1 cze 2021, o 14:03
"funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ Z}\) oraz dla dowolnych funkcji \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) zachodzi implikacja: \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\)."
Dowód implikacji: "jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją to dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ Z}\) oraz dla dowolnych funkcji \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) zachodzi implikacja: \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\):"
niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie surjekcją oraz niech \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) dla których zachodzi implikacja \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\). Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to istnieje \(\displaystyle{ x \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) =y}\). Wówczas \(\displaystyle{ h_{1}\left(f\left( x\right) \right) = \left( h_{1}\circ f\right)\left( x\right)= h_{1}\left( y\right) }\) oraz \(\displaystyle{ h_{2}\left( f\left( x\right) \right) =\left( h_{2}\circ f \right)\left( x\right)= h_{2}\left( y\right) }\), a więc \(\displaystyle{ \left( h_{1}\circ f \right)\left( x\right) =\left( h_{2}\circ f \right)\left( x\right) }\)-czyli \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f }\)- oraz \(\displaystyle{ h_{1}\left( f\left( x\right) \right) = h_{2}\left( f\left( x\right) \right)= h_{1}\left( y\right)= h_{2}\left( y\right) }\) czyli \(\displaystyle{ h_{1} = h_{2} }\).

Dowód implikacji: "jeżeli dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ Z}\) oraz dla dowolnych funkcji \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) zachodzi implikacja \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\) to funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją:"
niech \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) dla których zachodzi implikacja \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\). Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x \in X}\). Jeżeli \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f }\) to \(\displaystyle{ \left( h_{1}\circ f \right)\left( x\right) =\left( h_{2}\circ f \right)\left( x\right) }\). Wówczas \(\displaystyle{ h_{1}\left( f\left( x\right) \right) = h_{2}\left( f\left( x\right) \right) }\). Ponieważ \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in Y}\) to istnieje \(\displaystyle{ y \in Y}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\), a zatem istnieje \(\displaystyle{ x \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Ponieważ \(\displaystyle{ x}\) zostało wybrane dowolnie to funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją.

DS
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Surjekcja, złożenie funkcji

Post autor: Jan Kraszewski »

smo pisze: 8 cze 2021, o 18:41 Dowód implikacji: "jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją to dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ Z}\) oraz dla dowolnych funkcji \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) zachodzi implikacja: \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\):"
niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie surjekcją oraz niech \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) dla których zachodzi implikacja \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\).
No nie. Właśnie założyłeś tezę... Powinno być

Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie surjekcją oraz niech \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) będą funkcjami takimi, że \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f.}\)
smo pisze: 8 cze 2021, o 18:41 Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to istnieje \(\displaystyle{ x \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) =y}\).
A co to jest \(\displaystyle{ y}\)?
smo pisze: 8 cze 2021, o 18:41 Wówczas \(\displaystyle{ h_{1}\left(f\left( x\right) \right) = \left( h_{1}\circ f\right)\left( x\right)= h_{1}\left( y\right) }\) oraz \(\displaystyle{ h_{2}\left( f\left( x\right) \right) =\left( h_{2}\circ f \right)\left( x\right)= h_{2}\left( y\right) }\), a więc \(\displaystyle{ \left( h_{1}\circ f \right)\left( x\right) =\left( h_{2}\circ f \right)\left( x\right) }\)-czyli \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f }\)- oraz \(\displaystyle{ h_{1}\left( f\left( x\right) \right) = h_{2}\left( f\left( x\right) \right)= h_{1}\left( y\right)= h_{2}\left( y\right) }\) czyli \(\displaystyle{ h_{1} = h_{2} }\).
No też nie. Wypisujesz różne równości i brakuje tu ciągu logicznego: co zakładasz, z czego korzystasz i co z tego wynika.
smo pisze: 8 cze 2021, o 18:41Dowód implikacji: "jeżeli dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ Z}\) oraz dla dowolnych funkcji \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) zachodzi implikacja \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\) to funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją:"
niech \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) dla których zachodzi implikacja \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\). Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x \in X}\). Jeżeli \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f }\) to \(\displaystyle{ \left( h_{1}\circ f \right)\left( x\right) =\left( h_{2}\circ f \right)\left( x\right) }\). Wówczas \(\displaystyle{ h_{1}\left( f\left( x\right) \right) = h_{2}\left( f\left( x\right) \right) }\). Ponieważ \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in Y}\) to istnieje \(\displaystyle{ y \in Y}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\), a zatem istnieje \(\displaystyle{ x \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Ponieważ \(\displaystyle{ x}\) zostało wybrane dowolnie to funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją.
No nie. Te wywody niczego nie dowodzą, to jest żonglerka znaczkami..

Skoro chcesz pokazać, że funkcja jest surjekcją, to musisz zacząć od definicji surjekcji. A potem musisz odpowiednio skorzystać z założenia.

JK
smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Surjekcja, złożenie funkcji

Post autor: smo »

Dziękuję.
To jeszcze raz:
dowód implikacji: "jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją to dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ Z}\) oraz dla dowolnych funkcji \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) zachodzi implikacja \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\)."
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie surjekcją oraz niech \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) będą funkcjami takimi, że \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f}\). Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ y \in Y}\). Wówczas skoro \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to dla dowolnego \(\displaystyle{ y \in Y}\) istnieje \(\displaystyle{ x \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Ponieważ \(\displaystyle{ h_{1}\circ f= h_{2}\circ f }\) to \(\displaystyle{ \left( h_{1}\circ f \right)\left( x\right) =\left( h_{2}\circ f \right)\left( x\right) }\), a zatem \(\displaystyle{ h_{1}\left( f\left( x\right) \right) = h_{2}\left( f\left( x\right) \right) }\). Skoro dla dowolnego \(\displaystyle{ y \in Y}\) mamy \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\) to wówczas \(\displaystyle{ \left( h_{1}\circ f \right)\left( x\right) =\left( h_{2}\circ f \right)\left( x\right) = h_{1}\left( f\left( x\right) \right)= h_{2}\left( f\left( x\right) \right)= h_{1}\left( y\right)= h_{2}\left( y\right) }\) czyli \(\displaystyle{ h_{1} = h_{2} }\).

Dowód implikacji: "jeżeli dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ Z}\) oraz dla dowolnych funkcji \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) zachodzi implikacja \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\) to funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją."
Niech \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) będą funkcjami takimi, że \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\). Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x \in X}\). Wówczas jeżeli zachodzi implikacja \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\) oraz \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f }\) to \(\displaystyle{ h_{1} = h_{2} }\). Zatem \(\displaystyle{ \left( h_{1}\circ f \right)\left( x\right) =\left( h_{2}\circ f \right)\left( x\right)= h_{1}\left( f\left( x\right) \right)= h_{2}\left( f\left( x\right) \right) }\). Tak więc \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in Y=dom\left( h_{1} \right)=dom\left( h_{2} \right) }\) jest argumentem funkcji \(\displaystyle{ h_{1} = h_{2} }\). Wówczas dla dowolnie wybranego \(\displaystyle{ x \in X}\) mamy \(\displaystyle{ f\left( x\right) =y}\) zatem funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją.

DS
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Surjekcja, złożenie funkcji

Post autor: Jan Kraszewski »

smo pisze: 9 cze 2021, o 19:59 dowód implikacji: "jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją to dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ Z}\) oraz dla dowolnych funkcji \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) zachodzi implikacja \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\)."
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie surjekcją oraz niech \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) będą funkcjami takimi, że \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f}\). Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ \blue{y \in Y}}\). Wówczas skoro \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to dla dowolnego \(\displaystyle{ \red{y \in Y}}\) istnieje \(\displaystyle{ x \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\).
Nie "dla dowolnego \(\displaystyle{ y\in Y}\)", tylko dla tego \(\displaystyle{ \blue{y \in Y}}\), które przed chwilą ustaliłeś i trzymasz w ręku - dlatego czerwony fragment jest do wykreślenia.
smo pisze: 9 cze 2021, o 19:59 Ponieważ \(\displaystyle{ h_{1}\circ f= h_{2}\circ f }\) to \(\displaystyle{ \left( h_{1}\circ f \right)\left( x\right) =\left( h_{2}\circ f \right)\left( x\right) }\), a zatem \(\displaystyle{ h_{1}\left( f\left( x\right) \right) = h_{2}\left( f\left( x\right) \right) }\). Skoro dla dowolnego \(\displaystyle{ \red{y \in Y}}\) mamy \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\)
Ten sam błąd, co poprzednio. Literka \(\displaystyle{ y}\) oznacza ustalony element \(\displaystyle{ Y}\) - ustaliłeś go i nim powinieneś się zajmować, a nie wygłaszać cały czas ogólne stwierdzenia (w dodatku nieprawdziwe, bo literka \(\displaystyle{ x}\) też ma już w tym dowodzie bardzo konkretne znaczenie, różne od tego, w którym go tu użyłeś). Czerwony fragment jest do usunięcia.
smo pisze: 9 cze 2021, o 19:59 to wówczas \(\displaystyle{ \red{\left( h_{1}\circ f \right)\left( x\right) =\left( h_{2}\circ f \right)\left( x\right) = h_{1}\left( f\left( x\right) \right)= h_{2}\left( f\left( x\right) \right)= }h_{1}\left( y\right)= h_{2}\left( y\right) }\)
A to nie błąd, tylko zbędna nadprodukcja znaczków. Czerwony fragment jest do usunięcia.
smo pisze: 9 cze 2021, o 19:59czyli \(\displaystyle{ h_{1} = h_{2} }\).
Tu ew. można dodać "czyli, z dowolności \(\displaystyle{ y}\), mamy".
smo pisze: 9 cze 2021, o 19:59Dowód implikacji: "jeżeli dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ Z}\) oraz dla dowolnych funkcji \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) zachodzi implikacja \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\) to funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją."
Niech \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) będą funkcjami takimi, że \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\). Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x \in X}\). Wówczas jeżeli zachodzi implikacja \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\) oraz \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f }\) to \(\displaystyle{ h_{1} = h_{2} }\). Zatem \(\displaystyle{ \left( h_{1}\circ f \right)\left( x\right) =\left( h_{2}\circ f \right)\left( x\right)= h_{1}\left( f\left( x\right) \right)= h_{2}\left( f\left( x\right) \right) }\). Tak więc \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in Y=dom\left( h_{1} \right)=dom\left( h_{2} \right) }\) jest argumentem funkcji \(\displaystyle{ h_{1} = h_{2} }\). Wówczas dla dowolnie wybranego \(\displaystyle{ x \in X}\) mamy \(\displaystyle{ f\left( x\right) =y}\) zatem funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją.
Nie, zupełnie nie tak. To nie ma nic wspólnego z dowodem - napisałem Ci, co powinieneś zrobić.

Ten dowód najwygodniej zrobić nie wprost:

Przypuśćmy nie wprost, że funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) nie jest surjekcją, czyli \(\displaystyle{ Y\setminus\text{rng}(f)\ne \emptyset}\). Niech \(\displaystyle{ Z=\{0,1\}}\). Rozważmy funkcje \(\displaystyle{ h_1,h_2:Y\to Z}\) zadane wzorami \(\displaystyle{ h_1(y)=0,h_2(y)= \begin{cases} 0&\text{gdy }y\in\text{rng}(f) \\ 1&\text{gdy }y\in Y\setminus\text{rng}(f).\end{cases} }\). Dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in X}\) mamy wtedy \(\displaystyle{ h_1(f(x))=0=h_2(f(x))}\), zatem \(\displaystyle{ h_1\circ f=h_2\circ f}\), ale oczywiście \(\displaystyle{ h_1\ne h_2}\), co daje sprzeczność z założeniem.

JK
smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Surjekcja, złożenie funkcji

Post autor: smo »

Dziękuję.
dowód implikacji: "jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją to dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ Z}\) oraz dla dowolnych funkcji \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) zachodzi implikacja \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f \Rightarrow h_{1} = h_{2} }\)."
Czyli dowód tej implikacji ma mieć postać:
niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie surjekcją oraz niech \(\displaystyle{ h_{1}, h_{2}:Y \rightarrow Z}\) będą funkcjami takimi, że \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f }\). Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ y \in Y}\). Wówczas istnieje \(\displaystyle{ x \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Ponieważ \(\displaystyle{ h_{1}\circ f = h_{2}\circ f }\) to \(\displaystyle{ \left( h_{1}\circ f \right)\left( x\right) =\left( h_{2}\circ f \right)\left( x\right) }\), a zatem \(\displaystyle{ h_{1}\left( f\left( x\right) \right) = h_{2}\left( f\left( x\right) \right) }\). Skoro \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\) to \(\displaystyle{ h_{1}\left( y\right) = h_{2}\left( y\right) }\), a wobec dowolnie wybranego \(\displaystyle{ y}\) mamy \(\displaystyle{ h_{1} = h_{2} }\).

DS
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Surjekcja, złożenie funkcji

Post autor: Jan Kraszewski »

Tak.

JK
smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Surjekcja, złożenie funkcji

Post autor: smo »

Dziękuję.

DS
ODPOWIEDZ