4-kołowy Diagram Venna - ilość relacji danego typu

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Gorgon24
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 31 maja 2021, o 15:25
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24

Re: 4-kołowy Diagram Venna - ilość relacji danego typu

Post autor: Gorgon24 »

Rzeczywiście, jeśli zwiększymy \(\displaystyle{ A \cap S' \cap Z' \cap P'=42+14=56}\) i zmniejszymy \(\displaystyle{ A \cap S' \cap Z' \cap P=140-14=126}\), to wówczas liczba relacji przechodnich się zgodzi i po zsumowaniu będzie to \(\displaystyle{ 171}\).
Jan Kraszewski pisze: 5 cze 2021, o 17:37
Wobec tego - według mnie - zbiór \(\displaystyle{ A\cap S'\cap Z'\cap P'}\) ma \(\displaystyle{ 3!\cdot 7=42}\) elementy, zatem zbiór \(\displaystyle{ A\cap S'\cap Z'\cap P}\) ma \(\displaystyle{ 182-42=140}\) elementów.
Hmm... Zastanawia mnie zapis \(\displaystyle{ 3!\cdot 7=42}\). Czy w tym miejscu powinno być: \(\displaystyle{ 2 ^{3} \cdot 7=8 \cdot 7 = 56}\)?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: 4-kołowy Diagram Venna - ilość relacji danego typu

Post autor: Jan Kraszewski »

Gorgon24 pisze: 5 cze 2021, o 19:05 Rzeczywiście, jeśli zwiększymy \(\displaystyle{ A \cap S' \cap Z' \cap P'=42+14=56}\) i zmniejszymy \(\displaystyle{ A \cap S' \cap Z' \cap P=140-14=126}\), to wówczas liczba relacji przechodnich się zgodzi i po zsumowaniu będzie to \(\displaystyle{ 171}\).
No ale nie możemy "zmniejszyć" i "zwiększyć" - trzeba ustalić, gdzie jest pomyłka bądź luka w rozumowaniu.
Gorgon24 pisze: 5 cze 2021, o 19:05 Hmm... Zastanawia mnie zapis \(\displaystyle{ 3!\cdot 7=42}\). Czy w tym miejscu powinno być: \(\displaystyle{ 2 ^{3} \cdot 7=8 \cdot 7 = 56}\)?
A dlaczego miałoby tak być?

JK
Gorgon24
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 31 maja 2021, o 15:25
Płeć: Mężczyzna
wiek: 24

Re: 4-kołowy Diagram Venna - ilość relacji danego typu

Post autor: Gorgon24 »

Jan Kraszewski pisze: 5 cze 2021, o 19:19
Gorgon24 pisze: 5 cze 2021, o 19:05 Hmm... Zastanawia mnie zapis \(\displaystyle{ 3!\cdot 7=42}\). Czy w tym miejscu powinno być: \(\displaystyle{ 2 ^{3} \cdot 7=8 \cdot 7 = 56}\)?
A dlaczego miałoby tak być?

JK
Hmm... rozumuję to w następujący sposób. Biorąc pod uwagę antysymetrię, mamy dwie możliwości dla par: Tak lub Nie. Czyli \(\displaystyle{ 2^{n}=2^{3}=8}\). Do tego, dokładamy iloczyn, o którym wcześniej wspomniałeś \(\displaystyle{ (2^{n}-1)}\). Wówczas, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2^{n} \cdot (2^{n}-1)=8 \cdot 7 = 56}\) (bo rozważamy na razie samą antysymetrię, bez innych podzbiorów).

Czy ma to rację bytu?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: 4-kołowy Diagram Venna - ilość relacji danego typu

Post autor: Jan Kraszewski »

Gorgon24 pisze: 5 cze 2021, o 20:15Hmm... rozumuję to w następujący sposób. Biorąc pod uwagę antysymetrię, mamy dwie możliwości dla par: Tak lub Nie. Czyli \(\displaystyle{ 2^{n}=2^{3}=8}\).
Ale jakich par?

Ja szukam kontrprzykładów na przechodniość wśród relacji, które są antysymetryczne i znajduję sześć:
\(\displaystyle{ \{(0,1),(1,2)\}\\
\{(0,2),(2,1)\}\\
\{(1,0),(0,2)\}\\
\{(1,2),(2,0)\}\\
\{(2,0),(0,1)\}\\
\{(2,1),(1,0)\}}\)

i do nich potem dodaję coś na przekątnej (tak, żeby relacja nie była zwrotna).

Widzisz jakie inne?

JK
ODPOWIEDZ