Strona 1 z 1

Każdy element ma poprzednik, porządek odwrotny do dobrego

: 7 maja 2021, o 21:38
autor: Jakub Gurak
Wczoraj wykazałem, że w porządku odwrotnym do dobrego na danym zbiorze, każdy element, który nie jest najmniejszy ma poprzednik. Przedstawię teraz dowód tego ciekawego faktu.

Przypominam w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) element \(\displaystyle{ y}\) jest następnikiem elementu \(\displaystyle{ x}\), gdy \(\displaystyle{ x<y}\), i \(\displaystyle{ y}\) jest elementem najmniejszym w zbiorze elementów zbioru \(\displaystyle{ X}\) silnie większych od \(\displaystyle{ x}\).

Podobnie określamy, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) element \(\displaystyle{ y}\) jest poprzednikiem elementu \(\displaystyle{ x}\), gdy \(\displaystyle{ y<x}\), i \(\displaystyle{ y}\) jest największym elementem silnie mniejszym od \(\displaystyle{ x}\).

Przypominam, mamy twierdzenie, że w zbiorze dobrze uporządkowanym, każdy element, który nie jest największy, ma następnik.

Przejdźmy do problemu:

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) będzie zbiorem dobrze uporządkowanym. Wykażemy, że w \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) każdy element, który nie jest najmniejszy, ma poprzednik.

Dowód:

Zauważmy najpierw, że ponieważ porządek \(\displaystyle{ \le}\) jest dobry, a więc i liniowy na \(\displaystyle{ X}\) , więc porządek odwrotny jest również liniowy na \(\displaystyle{ X}\).

Niech \(\displaystyle{ x\in X}\) będzie elementem \(\displaystyle{ X}\), który nie jest najmniejszy, względem \(\displaystyle{ \le ^{-1}}\). Wtedy \(\displaystyle{ x}\) nie jest największy, względem \(\displaystyle{ \le}\) (gdyby \(\displaystyle{ x}\) byłby największy w \(\displaystyle{ X}\) względem \(\displaystyle{ \le}\), to \(\displaystyle{ x}\) byłby najmniejszy w \(\displaystyle{ X}\) względem \(\displaystyle{ \le ^{-1}}\) ). Ponieważ \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, to element \(\displaystyle{ x \in X}\), który nie jest największy, ma następnik \(\displaystyle{ y\in X}\). Wtedy \(\displaystyle{ x<y}\)( również \(\displaystyle{ x \neq y}\)). Wykażemy, że \(\displaystyle{ y}\) jest poprzednikiem \(\displaystyle{ x,}\) względem \(\displaystyle{ \le ^{-1} }\).
Mamy \(\displaystyle{ y \le ^{-1} x}\) (i \(\displaystyle{ y \neq x}\)), więc \(\displaystyle{ y< ^{-1}x}\). Ponieważ \(\displaystyle{ y}\) jest następnikiem \(\displaystyle{ x}\), to \(\displaystyle{ y}\) jest elementem najmniejszym zbioru \(\displaystyle{ A:=\left\{ z\in X: \ z>x \right\}.}\) Zauważmy, że, mamy również, z definicji porządku odwrotnego: \(\displaystyle{ A=\left\{ z\in X: \ z< ^{-1} x\right\} }\). Ponieważ \(\displaystyle{ y}\) jest elementem najmniejszym \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ y}\) jest elementem największym tego zbioru \(\displaystyle{ A}\), względem \(\displaystyle{ \le ^{-1}}\). Ponieważ jest to zbiór elementów silnie mniejszych od \(\displaystyle{ x,}\) względem \(\displaystyle{ \le ^{-1}}\), więc \(\displaystyle{ y}\) jest poprzednikiem \(\displaystyle{ x}\), i każdy element zbioru \(\displaystyle{ X}\), który nie jest najmniejszy, ma poprzednik. \(\displaystyle{ \square}\) :D


Można też spotkać takie ciekawe zadanie:
Podać za pomocą działań na liczbie porządkowej \(\displaystyle{ \omega}\) przykład nieskończonego zbioru liniowo uporządkowanego, w którym istnieje pierwszy i ostatni element, i w którym każdy element (prócz ostatniego) ma następnik, i każdy (prócz pierwszego) ma poprzednik.
ROZWIĄZANIE:    
:lol: