Każdy element ma poprzednik, porządek odwrotny do dobrego

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Każdy element ma poprzednik, porządek odwrotny do dobrego

Post autor: Jakub Gurak »

Wczoraj wykazałem, że w porządku odwrotnym do dobrego na danym zbiorze, każdy element, który nie jest najmniejszy ma poprzednik. Przedstawię teraz dowód tego ciekawego faktu.

Przypominam w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) element \(\displaystyle{ y}\) jest następnikiem elementu \(\displaystyle{ x}\), gdy \(\displaystyle{ x<y}\), i \(\displaystyle{ y}\) jest elementem najmniejszym w zbiorze elementów zbioru \(\displaystyle{ X}\) silnie większych od \(\displaystyle{ x}\).

Podobnie określamy, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) element \(\displaystyle{ y}\) jest poprzednikiem elementu \(\displaystyle{ x}\), gdy \(\displaystyle{ y<x}\), i \(\displaystyle{ y}\) jest największym elementem silnie mniejszym od \(\displaystyle{ x}\).

Przypominam, mamy twierdzenie, że w zbiorze dobrze uporządkowanym, każdy element, który nie jest największy, ma następnik.

Przejdźmy do problemu:

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) będzie zbiorem dobrze uporządkowanym. Wykażemy, że w \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) każdy element, który nie jest najmniejszy, ma poprzednik.

Dowód:

Zauważmy najpierw, że ponieważ porządek \(\displaystyle{ \le}\) jest dobry, a więc i liniowy na \(\displaystyle{ X}\) , więc porządek odwrotny jest również liniowy na \(\displaystyle{ X}\).

Niech \(\displaystyle{ x\in X}\) będzie elementem \(\displaystyle{ X}\), który nie jest najmniejszy, względem \(\displaystyle{ \le ^{-1}}\). Wtedy \(\displaystyle{ x}\) nie jest największy, względem \(\displaystyle{ \le}\) (gdyby \(\displaystyle{ x}\) byłby największy w \(\displaystyle{ X}\) względem \(\displaystyle{ \le}\), to \(\displaystyle{ x}\) byłby najmniejszy w \(\displaystyle{ X}\) względem \(\displaystyle{ \le ^{-1}}\) ). Ponieważ \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, to element \(\displaystyle{ x \in X}\), który nie jest największy, ma następnik \(\displaystyle{ y\in X}\). Wtedy \(\displaystyle{ x<y}\)( również \(\displaystyle{ x \neq y}\)). Wykażemy, że \(\displaystyle{ y}\) jest poprzednikiem \(\displaystyle{ x,}\) względem \(\displaystyle{ \le ^{-1} }\).
Mamy \(\displaystyle{ y \le ^{-1} x}\) (i \(\displaystyle{ y \neq x}\)), więc \(\displaystyle{ y< ^{-1}x}\). Ponieważ \(\displaystyle{ y}\) jest następnikiem \(\displaystyle{ x}\), to \(\displaystyle{ y}\) jest elementem najmniejszym zbioru \(\displaystyle{ A:=\left\{ z\in X: \ z>x \right\}.}\) Zauważmy, że, mamy również, z definicji porządku odwrotnego: \(\displaystyle{ A=\left\{ z\in X: \ z< ^{-1} x\right\} }\). Ponieważ \(\displaystyle{ y}\) jest elementem najmniejszym \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ y}\) jest elementem największym tego zbioru \(\displaystyle{ A}\), względem \(\displaystyle{ \le ^{-1}}\). Ponieważ jest to zbiór elementów silnie mniejszych od \(\displaystyle{ x,}\) względem \(\displaystyle{ \le ^{-1}}\), więc \(\displaystyle{ y}\) jest poprzednikiem \(\displaystyle{ x}\), i każdy element zbioru \(\displaystyle{ X}\), który nie jest najmniejszy, ma poprzednik. \(\displaystyle{ \square}\) :D


Można też spotkać takie ciekawe zadanie:
Podać za pomocą działań na liczbie porządkowej \(\displaystyle{ \omega}\) przykład nieskończonego zbioru liniowo uporządkowanego, w którym istnieje pierwszy i ostatni element, i w którym każdy element (prócz ostatniego) ma następnik, i każdy (prócz pierwszego) ma poprzednik.
ROZWIĄZANIE:    
:lol:
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Każdy element ma poprzednik, porządek odwrotny do dobrego

Post autor: Jakub Gurak »

Udowodniłem przedwczoraj też, że w porządku odwrotnym do dobrego jak mamy niepusty przedział początkowy, to jest on w postaci domkniętego przedziału początkowego o końcu w \(\displaystyle{ x}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest elementem rozważanego zbioru liniowo uporządkowanego. Udowodniłem też, że jeśli w porządku odwrotnym do dobrego zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest istotna resztą (różną od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\)), to \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci \(\displaystyle{ A=\left( x, \rightarrow \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest elementem rozważanego zbioru liniowo uporządkowanego. Udowodniłem też, że w porządku odwrotnym do dobrego jak mamy przedział \(\displaystyle{ A}\) nie będący przedziałem początkowym ani resztą, to \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci przedziału otwarto-domkniętego. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.

Definicję tych pojęć można znaleźć TUTAJ.

Przypomnijmy, w zbiorze dobrze uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) każdy przedział początkowy istotny( różny od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\)) jest postaci \(\displaystyle{ O(x)=\left\{ y\in X: y<x \right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\) ( :!: nierówność jest silna ).
W zbiorze dobrze uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) każda niepusta reszta jest postaci \(\displaystyle{ \left[ x, \rightarrow \right)=\left\{ y\in X: y \ge x \right\},}\) gdzie \(\displaystyle{ x\in X.}\)
I każdy przedział, nie będący przedziałem początkowym ani resztą, jest w postaci przedziału domknięto-otwartego \(\displaystyle{ \left[ x,y\right)=\left\{ z\in X: x \le z<y \right\},}\) gdzie \(\displaystyle{ x,y\in X}\), który ostatni z tych faktów udowodniłem TUTAJ (tam jest jeszcze założenie niepustości przedziału, ale to jest nadmierność założeń, nie trzeba tego tam zakładać- skoro przedział \(\displaystyle{ A}\) nie jest przedziałem początkowym ani resztą, to \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem niepustym, gdyż zbiór pusty jest zawsze przedziałem początkowym).

Przypomnijmy dwa proste fakty, że jeśli w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest przedziałem początkowym, to w porządku odwrotnym \(\displaystyle{ \le ^{-1}}\) zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest resztą. A jeśli \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest resztą względem \(\displaystyle{ \le}\), to w porządku odwrotnym \(\displaystyle{ \le ^{-1}}\) zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym, są to proste fakty.

Przejdźmy do naszych dowodów:

Niech \(\displaystyle{ (X, \le)}\) będzie zbiorem dobrze uporządkowanym. Rozważmy porządek odwrotny \(\displaystyle{ \le ^{-1}.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest dobrze uporządkowany przez \(\displaystyle{ \le}\) , (a więc i liniowo), to również \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym (nie koniecznie dobrze- dobrze wtedy, gdy zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest skończony). Niech \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset X}\) będzie niepustym przedziałem początkowym w \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1} \right) }\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ A=\mathop {\overline { O(x) } } _{ \le ^{-1} }}\) , dla pewnego \(\displaystyle{ x\in X.}\)

Dowód:

Ponieważ \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset X}\) jest niepustym podzbiorem zbioru dobrze uporządkowanego \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\), więc z definicji zbioru dobrze uporządkowanego otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy \(\displaystyle{ a\in A}\) względem \(\displaystyle{ \le}\). Wtedy \(\displaystyle{ a}\) jest największy w \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ \le ^{-1}.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ a\in A \subset X}\), więc \(\displaystyle{ a\in X}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ A=\overline {O(a)}.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ b\in A}\), ponieważ element \(\displaystyle{ a}\) jest największy w \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ \le ^{-1} }\), więc \(\displaystyle{ b \le ^{-1} a}\) (i \(\displaystyle{ b\in X}\)), więc \(\displaystyle{ b\in \overline {O(a)}}\), co dowodzi inkluzji w jedną stronę.

Aby pokazać inkluzję w drugą stronę, to niech \(\displaystyle{ b\in\overline{O(a)}.}\) Wtedy \(\displaystyle{ b \le ^{-1} a.}\) Mamy \(\displaystyle{ a\in A}\), zatem ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ b\in A}\), co dowodzi inkluzji w drugą stronę.

Wobec czego \(\displaystyle{ \overline {O(a)}=A}\), gdzie \(\displaystyle{ a\in X. \square}\)


Podajmy jeszcze jeden dowód (bardzo prosty) tego samego faktu.

PROSTY DOWÓD:

Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) jest przedziałem początkowym, to w \(\displaystyle{ \left( X, \left( \le ^{-1}\right) ^{-1} = \le \right) }\) zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest resztą. Ponieważ \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, a \(\displaystyle{ A}\) niepustą resztą, więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest postaci \(\displaystyle{ \left[ x, \rightarrow \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ A=\left\{ y\in X: \ y \ge x \right\}=\left\{ y\in X: \ y \le ^{-1} x \right\}= \overline {O(x)}}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X.\square}\)

Udowodnimy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, i jeśli w porządku odwrotnym \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) zbiór \(\displaystyle{ A \neq X}\) jest istotną resztą, to \(\displaystyle{ A=\left( x, \rightarrow \right)=\left\{ y\in X: x \le ^{-1} y \hbox { i } y \neq x \right\} =:\left\{ y\in X: x< ^{-1} y \right\}}\) ,gdzie \(\displaystyle{ x\in X.}\)

Dowód:

Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest resztą w \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\), to \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym w \(\displaystyle{ \left( X, \left( \le ^{-1}\right) ^{-1}= \le \right).}\) Ponieważ \(\displaystyle{ A \neq X}\) jest istotnym przedziałem początkowym w \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) , a \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, wiec \(\displaystyle{ A=O(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ A=\left\{ y\in X: y<x\right\}\stackrel{y \neq x}{=}\left\{ y\in X: x< ^{-1} y \right\} =\left( x, \rightarrow \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X.\square}\)

Pozostał do udowodnienia ostatni fakt, nim go udowodnimy podajmy prosty lemat mówiący, że:

Jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a \(\displaystyle{ A\subset X}\) przedziałem, to w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right)}\) zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest również przedziałem.
BARDZO PROSTY DOWÓD:    
Wykażemy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, a w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest przedziałem nie będącym przedziałem początkowym ani resztą, to \(\displaystyle{ A=\left( x,y\right]=\left\{ z\in X: \ x< ^{-1} z \le y\right\} }\) , gdzie \(\displaystyle{ x,y\in X.}\)

Dowód:

Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem w \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\), to na mocy lematu powyżej zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest również przedziałem w \(\displaystyle{ \left( X, \left( \le ^{-1} \right) ^{-1} = \le \right).}\) Wtedy \(\displaystyle{ A}\) nie jest przedziałem początkowym ani resztą( gdyby \(\displaystyle{ A}\) był przedziałem początkowym w \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) , to w porządku odwrotnym \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) zbiór \(\displaystyle{ A}\) byłby resztą- sprzeczność z założeniem, a gdyby zbiór \(\displaystyle{ A}\) był resztą w \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) , to w porządku odwrotnym \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1} \right)}\) zbiór \(\displaystyle{ A}\) byłby przedziałem początkowym- sprzeczność ). Ponieważ \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, a \(\displaystyle{ A}\) przedziałem w nim nie będącym przedziałem początkowym ani resztą, więc \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci przedziału domknięto-otwartego, tzn. \(\displaystyle{ A=\left[ y,x\right)}\); gdzie \(\displaystyle{ y,x\in X}\). Łatwo się przekonać, że wtedy, względem porządku odwrotnego, mamy \(\displaystyle{ A=\left( x,y\right], \
x,y\in X. \square}\)
:D :lol:
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Każdy element ma poprzednik, porządek odwrotny do dobrego

Post autor: Jakub Gurak »

Udowodniłem wczoraj i przedwczoraj, że w zbiorze liniowo uporządkowanym z porządkiem odwrotnym do dobrego, wtedy żaden przekrój Dedekinda nie daje luki. Zauważmy, że w zbiorze liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem: każdy przekrój daje skok, a zbiór liczb całkowitych ujemnych jest typu porządku odwrotnego na zbiorze liczb naturalnych, który jest dobrze uporządkowany przez zwykły porządek. Zachodzi zatem pytanie: czy w zbiorze liniowo uporządkowanym z porządkiem odwrotnym do pewnego dobrego porządku, czy musi każdy przekrój dawać skok, czy może jednak istnieć przekrój Dedekinda nie dający skoku. Tak, wykazałem wczoraj, że w porządku odwrotnym do dobrego może istnieć przekrój Dedekinda nie dający skoku. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.


Definicję tych pojęć można znaleźć TUTAJ (definicja przekroju Dedekinda jest podana dopiero w drugim poście).

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) będzie zbiorem dobrze uporządkowanym. Rozważmy porządek odwrotny \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right)}\)- jest to zbiór liniowo uporządkowany (nie koniecznie jest dobrze uporządkowany). Rozważmy przekrój Dedekinda \(\displaystyle{ (A,B)}\) w \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1} \right)}\). Wykażemy, że ten przekrój nie daje luki.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset X}\)- pierwszy zbiór pary zbiorów jest niepustym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\). Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest dobrze uporządkowany, więc z definicji zbiorów dobrze uporządkowanych otrzymujemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy \(\displaystyle{ a\in A}\)- względem \(\displaystyle{ \left( X, \le \right).}\) Wtedy element \(\displaystyle{ a}\) jest największy w \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1} \right)}\), a stąd wnioskujemy, że przekrój \(\displaystyle{ \left( A,B\right)}\) nie daje luki\(\displaystyle{ .\square }\)


Przejdźmy do drugiego naszego problemu:

Wykażemy, że w porządku odwrotnym do pewnego dobrego porządku może istnieć przekrój Dedekinda nie dający skoku.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Rozważmy pewien element \(\displaystyle{ T\not\in\ZZ}\)- spoza zbioru liczb całkowitych.

Rozważmy zbiór liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem- zbiór liniowo uporządkowany, oraz zbiór jednoelementowy \(\displaystyle{ \left\{ T\right\}}\)- zbiór liniowo uporządkowany przez porządek identycznościowy. Wtedy zbiory \(\displaystyle{ \left\{ T\right\}}\) i \(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\) są zbiorami rozłącznymi, bo \(\displaystyle{ T\not\in \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\), gdyż \(\displaystyle{ T\not\in \ZZ}\). A zatem są to zbiory rozłączne. W związku z czym, możemy rozważać sumę porządkową \(\displaystyle{ \left\{ T\right\}\oplus \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} }\), która jest liniowym porządkiem na zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \cup \left\{ T\right\}.}\)

Rozważmy zbiór liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN}\). Mamy \(\displaystyle{ T\not\in\NN}\), bo \(\displaystyle{ T\not\in\ZZ}\). Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ \NN \cup \left\{ T\right\}}\)- podobnie jak powyżej możemy uzasadnić, że jest to zbiór liniowo uporządkowany, a nawet jest dobrze uporządkowany, bo \(\displaystyle{ \NN}\) jest dobrze uporządkowany przez zwykły porządek.
DOWÓD TEGO FAKTU::    
Rozważmy funkcję:

\(\displaystyle{ f:\NN \cup \left\{ T\right\} \rightarrow \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \cup \left\{ T\right\} , \le ^{-1} _{\ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \cup \left\{ T\right\} } \right) }\), określoną jako:

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} -x\in\ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}, \hbox{ dla } x\in\NN; \\ x, \hbox{ dla } x=T. \end{cases} }\)


Wykażemy, że ta funkcja jest podobieństwem.

Wykażemy, ze funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa.

Jeśli \(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2)}\), i jeśli \(\displaystyle{ x_1,x_2=T}\), to \(\displaystyle{ f(x_1)=T=x_1=x_2=f(x_2)}\), czyli \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), co należało pokazać.

Pozostaje rozważyć przypadek gdy: \(\displaystyle{ x_1 \neq T}\) lub \(\displaystyle{ x_2 \neq T}\).

Jeśli \(\displaystyle{ x_1 \neq T}\), to \(\displaystyle{ x_1 \in \NN}\), wtedy \(\displaystyle{ f(x_1) \in \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\) . Wtedy \(\displaystyle{ x_2 \neq T}\) (gdyby byłoby \(\displaystyle{ x_2=T}\), to \(\displaystyle{ f(x_2)=x_2=T= f(x_1)}\), a więc \(\displaystyle{ f(x_1)=T}\), a \(\displaystyle{ T \not\in\ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\), a \(\displaystyle{ f(x_1)\in\ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\)-sprzeczność). Wobec czego \(\displaystyle{ x_2 \neq T}\), a więc \(\displaystyle{ x_2\in\NN}\), i \(\displaystyle{ x_1\in\NN}\), a zatem ponieważ \(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2)}\), więc: \(\displaystyle{ -x_1=-x_2}\), i dalej: \(\displaystyle{ x_1=-\left( -x_1\right) =-\left( -x_2\right)= x_2}\), czyli \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), co należało pokazać.

Pozostaje rozważyć przypadek gdy: \(\displaystyle{ x_1=T}\) i \(\displaystyle{ x_2 \neq T}\), pokażemy, że on nigdy nie zajdzie. Mamy \(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2)=T}\), ale \(\displaystyle{ x_2 \neq T}\), a zatem \(\displaystyle{ x_2\in\NN}\), a zatem \(\displaystyle{ f(x_2)=T\in \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\), a \(\displaystyle{ T\not\in \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\) sprzeczność. Wobec czego ten przypadek jest niemożliwy.

Był to ostatni przypadek, wobec czego funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa.


Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest 'na'.

Niech \(\displaystyle{ y\in \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \cup \left\{ T\right\} .}\)

Dla \(\displaystyle{ y=T}\), bierzemy \(\displaystyle{ x=T}\), i wtedy \(\displaystyle{ f(x)= x=T=y.}\)

Dla \(\displaystyle{ y \neq T}\), wtedy \(\displaystyle{ y\in \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\) , a więc \(\displaystyle{ y\in\ZZ}\), wtedy \(\displaystyle{ x:=-y\in\ZZ}\), a ponieważ \(\displaystyle{ y \le 0}\), więc \(\displaystyle{ x=-y \ge 0}\) i \(\displaystyle{ x\in\ZZ}\), a zatem \(\displaystyle{ x\in\NN}\), i wtedy :

\(\displaystyle{ f(x)= -x= -\left( -y\right)= y}\), czyli \(\displaystyle{ f(x)=y}\), i funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest 'na'.

A więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją.


Pokażemy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest monotoniczna.

Weźmy elementy \(\displaystyle{ x_1,x_2 \in \NN \cup \left\{ T\right\}}\) , takie, że \(\displaystyle{ x_1 \le _{\NN \cup \left\{ T\right\} } x_2}\), i pokażmy, że również \(\displaystyle{ f(x_1) \le ^{-1} _{\ZZ_- \cup \left\{ T\right\} } f(x_2).}\)

Dla \(\displaystyle{ x_1=T}\), ponieważ \(\displaystyle{ T=x_1 \le _{\NN \cup \left\{ T\right\} } x_2}\), a element \(\displaystyle{ T}\) jest największy w \(\displaystyle{ \NN \cup \left\{ T\right\}}\), a zatem \(\displaystyle{ x_2=T}\), a zatem \(\displaystyle{ f(x_1)=T=f(x_2)}\), i ponieważ porządek \(\displaystyle{ \le ^{-1} _{\ZZ_- \cup \left\{ T\right\} }}\) jest liniowy, w szczególności jest to relacja zwrotna, a więc \(\displaystyle{ T=f(x_1) \le ^{-1} _{\ZZ_- \cup \left\{ T\right\} } f(x_2)=T}\), co należało pokazać.

Dla \(\displaystyle{ x_1 \neq T}\), wtedy mamy \(\displaystyle{ x_1\in\NN}\), a więc \(\displaystyle{ f(x_1)=-x_1\in\ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\),
i jeśli \(\displaystyle{ x_2=T}\), wtedy \(\displaystyle{ f(x_2)=T}\). Ponieważ element \(\displaystyle{ T}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \cup \left\{ T\right\}}\), a więc \(\displaystyle{ f(x_2)=T \le _{\ZZ_- \cup \left\{ T\right\} } f(x_1)}\), a więc \(\displaystyle{ f(x_1) \le ^{-1} _{\ZZ_- \cup \left\{ T\right\} } f(x_2)}\), co należało pokazać.

A jeśli \(\displaystyle{ x_2 \neq T}\), wtedy \(\displaystyle{ x_2\in\NN}\), mamy \(\displaystyle{ x_1\in\NN}\), a zatem \(\displaystyle{ f(x_1)=-x_1}\) i \(\displaystyle{ f(x_2) =-x_2.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ x_1 \le _{\NN \cup \left\{ T\right\} } x_2}\) i \(\displaystyle{ x_1 ,x_2\in\NN}\), a więc \(\displaystyle{ x_1 \le x_2}\), wtedy \(\displaystyle{ -x_1 \ge -x_2}\), czyli \(\displaystyle{ -x_2 \le _{\ZZ_-} -x_1}\), a więc \(\displaystyle{ f(x_2)=-x_2 \le _{\ZZ_- \cup \left\{ T\right\} } -x_1=f(x_1)}\), czyli \(\displaystyle{ f(x_2) \le _{\ZZ_- \cup \left\{ T\right\} } f(x_1)}\), a więc \(\displaystyle{ f(x_1) \le ^{-1} _{\ZZ_- \cup \left\{ T\right\} } f(x_2)}\), co należało pokazać.

Wobec czego funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest monotoniczna.

Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją monotoniczną ze zbioru \(\displaystyle{ \NN \cup \left\{ T\right\}}\) - zbioru liniowo uporządkowanego (a nawet dobrze), w zbiór \(\displaystyle{ \left( \ZZ_{-} \cup \left\{ 0\right\} \cup \left\{ T\right\} , \le ^{-1} _{ \ZZ_{-} \cup \left\{ T\right\} }\right) }\)- zbiór liniowo uporządkowany, a więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest podobieństwem, i te dwa zbiory liniowo uporządkowane są podobne.


Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ \NN \cup \left\{ T\right\}}\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, więc również zbiór do niego podobny:

\(\displaystyle{ \left( X:= \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \cup \left\{ T\right\} , \left( \le\right) := \le ^{-1} _{\ZZ_- \cup \left\{ T\right\} } \right) = \left( X, \le \right)}\),

jest dobrze uporządkowany.

Ponieważ mamy prawo relacji \(\displaystyle{ R}\) (chyba moje ulubione) \(\displaystyle{ \left( R ^{-1} \right) ^{-1}=R}\), to:

\(\displaystyle{ \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \cup \left\{ T\right\}, \le _{\ZZ_- \cup \left\{ T\right\} } \right) =\left( X, \le ^{-1} \right);}\)

gdzie zbiór uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\), jest dobrze uporządkowany. A więc mamy porządek odwrotny do dobrego.


Za przekrój Dedekinda połóżmy parę zbiorów:

\(\displaystyle{ \left( \left\{ T\right\}, \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \right).}\)

Uzasadnijmy, że jest to przekrój Dedekinda.

W tym celu, w myśl jednej charakteryzacji przekrojów Dedekinda, którą można znaleźć w podanym linku, należy pokazać, że drugi zbiór tej pary zbiorów jest resztą niepustą i różną od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\), a pierwszy zbiór z pary jest jego dopełnieniem.

Zauważmy, że zbiór:

\(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}=\left( T, \rightarrow \right)=\left\{ x\in X: \ T < _{\ZZ_- \cup \left\{ T\right\} } x \right\},}\)

jest resztą, bo zbiory w takiej postaci są zawsze resztą, oczywiście niepustą, i różną od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\), bo \(\displaystyle{ T\not\in \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} }\), a \(\displaystyle{ T\in X}\), i mamy \(\displaystyle{ \left\{ T\right\}=\left(\ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \right) '= X \setminus \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \right)}\), czyli pierwszy zbiór pary zbiorów jest dopełnieniem drugiego. A zatem, w myśl charakteryzacji przekrojów Dedekinda, ta para zbiorów tworzy przekrój Dedekinda.

Przypuśćmy nie wprost, że ten przekrój daje skok. Wtedy, w klasie górnej jest element najmniejszy, czyli w \(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\) jest element najmniejszy \(\displaystyle{ x\in \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\), względem \(\displaystyle{ \le _{\ZZ_- \cup \left\{ T\right\} }}\), a więc w \(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} }\) jest liczba najmniejsza, a ponieważ dodatnie liczby naturalne są jeszcze większe, to w \(\displaystyle{ \ZZ}\) jest liczba najmniejsza, a tak być nie może- sprzeczność.

Wobec czego przekrój \(\displaystyle{ \left( \left\{ T\right\}, \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \right)}\) nie daje skoku, w zbiorze \(\displaystyle{ \left( X:= \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \cup \left\{ T\right\} , \le _X\right) = \left( X, \le ^{-1} \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \left( X, \le \right) =\left( X, \le ^{-1} _{\ZZ_- \cup \left\{ T\right\} } \right)}\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, czyli w porządku odwrotnym do dobrego mamy przekrój Dedekinda nie dający skoku\(\displaystyle{ . \square}\) :lol: :D
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Każdy element ma poprzednik, porządek odwrotny do dobrego

Post autor: Jakub Gurak »

Wczoraj i dzisiaj zajmowałem się pewnym problemem, i wykazałem, że w porządku odwrotnym do dobrego mamy odpowiednie twierdzenie o definiowaniu przez indukcję pozaskończoną. Również uzasadniłem poprawność tego 'tajemniczego' twierdzenia (aby je zrozumieć), sformułowałem je i udowodniłem je. Przed chwilą uzasadniłem, że zbiór, wraz z porządkiem odwrotnym do dobrego, nie jest podobny do żadnej swojej istotnej reszty. Jednak zbiór liniowo uporządkowany może być podobny do swojej istotnej reszty. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.

Zauważmy najpierw, że w porządku odwrotnym do dobrego mamy odpowiednie twierdzenie o indukcji:
Jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest niepustym zbiorem dobrze uporządkowanym, wtedy zbiór uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1} \right)}\) jest liniowo uporządkowany (niekoniecznie dobrze). Wtedy, ponieważ \(\displaystyle{ X \subset X}\), więc z definicji zbioru dobrze uporządkowanego wynika, że taki niepusty zbiór ma element najmniejszy względem \(\displaystyle{ \le}\) , a więc taki zbiór ma element największy \(\displaystyle{ T \in X}\), względem \(\displaystyle{ \le ^{-1}}\). Wtedy, dla zbioru \(\displaystyle{ Z \subset X}\), takiego, że:

\(\displaystyle{ 1 ^{\circ}: T \in Z}\),
\(\displaystyle{ 2 ^{\circ}:}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in X}\), jeśli \(\displaystyle{ \left\{ y \in X: \ x< ^{-1} y \right\} \subset Z}\), to \(\displaystyle{ x \in Z}\),

zachodzi \(\displaystyle{ Z=X}\).
OBJAŚNIENIE ZNACZENIA TEGO TWIERDZENIA::    
Formalnie, dla dowolnej własności, którą chcemy dowodzić indukcyjnie w ten sposób, definiujemy wtedy zbiór wszystkich elementów, które ją spełniają. Jeśli twierdzenie jest prawdziwe na elemencie największym, i dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in X}\), jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich elementów silnie większych od \(\displaystyle{ x}\), to jest prawdziwe na \(\displaystyle{ x}\), to wtedy to twierdzenie o indukcji głosi, że \(\displaystyle{ Z=X}\), czyli dane twierdzenie jest prawdziwe dla każdego elementu zbioru \(\displaystyle{ X.}\)

Dowód tej zasady indukcji wynika w sposób oczywisty z zasady indukcji dla dobrych porządków, oraz z prostej równości:

\(\displaystyle{ \left\{ y \in X: \ x< ^{-1} y \right\} = \left\{ y \in X: \ y<x\right\}.\square}\)


Wydaje się teraz intuicyjnie oczywistym, że można definiować wartości funkcji, w porządku odwrotnym do dobrego, przez indukcję pozaskończoną . W tym celu definiujemy najpierw element początkowy \(\displaystyle{ c_0}\) danego niepustego zbioru \(\displaystyle{ C}\), i, w dowolnym kroku \(\displaystyle{ x \in X,}\) przypuszczamy, że zdefiniowany już został ciąg \(\displaystyle{ \left( c_a\right) _{x< ^{-1} a}}\), i definiujemy element \(\displaystyle{ c_x}\).

Formalnie:

Jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, to rozważmy porządek odwrotny \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right). }\) Niech \(\displaystyle{ C}\) będzie niepustym zbiorem, oraz niech \(\displaystyle{ g: PF\left( X,C\right) \times X \rightarrow C}\) będzie dowolną funkcją, gdzie \(\displaystyle{ PF(X,C)}\) oznacza zbiór wszystkich funkcji częściowych z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ C}\). Wtedy istnieje dokładnie jedna funkcja \(\displaystyle{ h:X \rightarrow C}\), spełniająca zawsze równość:

\(\displaystyle{ h\left( x\right)= g\left( h \cap \left[ \left( x, \rightarrow \right) \times C \right] ;x\right);}\)

gdzie, dla \(\displaystyle{ x \in X}\), mamy:

\(\displaystyle{ \left( x, \rightarrow \right) = \left\{ y \in X: \ x< ^{-1} y, (y \neq x) \right\}.}\)

Dowód wynika dość łatwo z twierdzenia o definiowaniu przez indukcję pozaskończoną, mamy bowiem to twierdzenie :

Jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, a \(\displaystyle{ C}\) jest niepustym zbiorem, i \(\displaystyle{ g: PF\left( X,C\right) \times X \rightarrow C}\), wtedy istnieje dokładnie jedna funkcja \(\displaystyle{ h: X \rightarrow C}\): spełniająca zawsze równość:

\(\displaystyle{ h\left( x\right) = g\left( h \cap \left( O\left( x\right) \times C \right) ;x \right).}\)

Aha, musimy najpierw objaśnić treść tego 'tajemniczego' twierdzenia:

Przypuśćmy najpierw, że definiujemy wartości funkcji na początek po zbiorze liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem. Niech to przypisanie nazywa się \(\displaystyle{ g}\). Na początek definiujemy element \(\displaystyle{ c_0}\) (można na to też tak patrzyć, że ciągowi wszystkich wcześniejszych wyrazów, czyli ciągowi pustemu oraz zerze przypisujemy element \(\displaystyle{ c_0}\) ). Potem, na podstawie wartości \(\displaystyle{ c_0}\), definiujemy element \(\displaystyle{ c _{-1}}\). Potem, na podstawie elementów \(\displaystyle{ c_0,c_{-1}}\) definiujemy element \(\displaystyle{ c_{-2}}\),... itd. Dzięki temu zdefiniujemy ten ciąg dla każdej liczby całkowitej ujemnej (i dla \(\displaystyle{ 0}\)). Może to nie być na tym koniec. Może tak być, że dalej na podstawie ciągu \(\displaystyle{ \left( \ldots,c _{-2} ,c _{-1} ,c_0\right)}\) definiujemy dalej element \(\displaystyle{ c _{-\omega}.}\) I ogólnie, w kroku \(\displaystyle{ x \in X}\) definiujemy, na podstawie wartości ciągu \(\displaystyle{ \left( c_a\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ a> ^{-1} x}\), oraz na podstawie wartości \(\displaystyle{ x,}\) definiujemy element \(\displaystyle{ c_x}\), tzn.:

\(\displaystyle{ \left( \left( c_a\right) _{x< ^{-1} a}; x \right) \stackrel{g}{ \rightarrow } c_x.}\)

Nasze przypisanie \(\displaystyle{ g}\) jest określone na niektórych elementach zbioru \(\displaystyle{ PF\left( X,C\right) \times X}\) (myślę, że użyte tu liczby całkowite ujemne i zero, są dobrym zamiennikiem elementów zbioru \(\displaystyle{ X}\) z porządkiem odwrotnym do dobrego), i jest o wartościach w zbiorze \(\displaystyle{ C}\); na pozostałych elementach zbioru \(\displaystyle{ PF\left( X,C\right) \times X}\) przedłużamy funkcję \(\displaystyle{ g}\) jakkolwiek, np. przypisujemy stale ustalony element \(\displaystyle{ c \in C \neq \left\{ \right\}}\). A wtedy: \(\displaystyle{ g: PF\left( X,C\right) \times X \rightarrow C}\). Wtedy, to twierdzenie mówi, że istnieje jedyna funkcja \(\displaystyle{ h:X \rightarrow C}\), spełniająca:

\(\displaystyle{ h \left( x\right)= g \left( h \cap \left[ \left( x, \rightarrow \right) \times C \right]; x \right).}\)

Zobaczmy, jak działa ta funkcja:

Mamy:

\(\displaystyle{ h\left( 0\right) = g\left( h \cap\left[ \underbrace{\left( 0, \rightarrow \right)}_{=\left\{ \right\} } \times C\right]; 0 \right)= g\left( \left( \right);0 \right) = c_0.}\)

Zobaczmy dalej:

\(\displaystyle{ h\left( -1\right)= g\left( h \cap \left[ \left( -1, \rightarrow \right) \times C\right]; -1\right)= g\left( \left( h_0\right); -1 \right) = g\left( c_0; -1\right) = c _{-1};}\)

skorzystaliśmy z poprzednio wyliczonej wartości ( i definicji funkcji \(\displaystyle{ g}\)).

Dalej:

\(\displaystyle{ h\left( -2\right) = g\left( h \cap \left[ \left( -2, \rightarrow \right) \times C \right] ; -2\right) = g\left( \left( h_{-1} , h_0\right); -2 \right)= g\left( \left( c _{-1}, c _{0} \right); -2 \right) = c _{-2}.
}\)


Aby pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ h}\) jest dokładnie ciągiem \(\displaystyle{ \left( c_x\right)}\), to pokażmy, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in X}\), mamy: \(\displaystyle{ h\left( x\right)= c_x.}\)

Wykazujemy to indukcyjnie, według zasady indukcji dla porządków odwrotnych do dobrych.

Niech \(\displaystyle{ x \in X}\), i przypuśćmy, że dla każdego \(\displaystyle{ x< ^{-1} a}\), mamy: \(\displaystyle{ h\left( a\right)= c_a}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ h\left( x\right) =c_x}\).

Mamy:

\(\displaystyle{ h\left( x\right)= g\left( h \cap \left[ \left( x, \rightarrow \right) \times C\right]; x \right) =}\)

i ponieważ, na mocy założenia indukcyjnego, mamy: \(\displaystyle{ h\left( a\right) = c_a}\), dla \(\displaystyle{ a> ^{-1}x}\), więc, ponieważ funkcja \(\displaystyle{ g,}\) jak każda funkcja, zwraca tylko jeden element, więc to jest równe :

\(\displaystyle{ h\left( x\right) = g\left( \left( c_a\right) _{a> ^{-1} x} ;x \right) = c_x;}\)
\(\displaystyle{ }\)
co otrzymujemy, na mocy definicji przypisania \(\displaystyle{ g}\)- co należało pokazać. Krok indukcyjny został dowiedziony.

Zasada indukcji w porządkach odwrotnych do dobrych, daje, że: \(\displaystyle{ h(x) = c _{x}}\), dla \(\displaystyle{ x \in X}\), a więc funkcja \(\displaystyle{ h}\) jest szukanym ciągiem \(\displaystyle{ \left( c_x\right)}\). :lol:

Nie zastępuje to dowodu, oto:

DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy:

\(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, \(\displaystyle{ C}\) jest niepustym zbiorem i \(\displaystyle{ g:PF\left( X,C\right) \times X \rightarrow C}\), więc na mocy twierdzenia o definiowaniu przez indukcję pozaskończoną otrzymujemy, że istnieje dokładnie jedna funkcja \(\displaystyle{ h:X \rightarrow C}\), spełniająca:

\(\displaystyle{ h\left( x\right) = g\left( h \cap \left( O(x) \times C\right);x \right).}\)

Dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in X}\), łatwo jest pokazać, że:

\(\displaystyle{ \mathop{O(x)}_{ \le }= \mathop{\left( x, \rightarrow \right)}_{ \le ^{-1} }. }\)

A zatem:

\(\displaystyle{ h \cap \left( \mathop{O\left( x\right)}_{ \le } \times C \right) = h \cap \left[ \mathop {\left( x, \rightarrow \right)}_{ \le ^{-1} } \times C \right],}\)

a zatem, ponieważ funkcja \(\displaystyle{ g}\) dla danego argumentu zwraca tylko jeden element, więc:

\(\displaystyle{ h\left( x\right)= g\left( h \cap \left( O\left( x\right) \times C \right);x \right)= g\left( h \cap \left[ \left( x, \rightarrow \right) \times C\right];x \right);}\)

a więc taka funkcja \(\displaystyle{ h}\) istnieje.

Pozostaje pokazać, że jest jedyna.

W tym celu weźmy dwie funkcję \(\displaystyle{ h_1, h_2: X \rightarrow C}\) spełniające te równości, i pokażmy, że są sobie równe.

Ponieważ \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, \(\displaystyle{ C}\) jest niepustym zbiorem i \(\displaystyle{ g: PF \left( X,C\right) \times X \rightarrow C}\), więc na mocy twierdzenia o definiowaniu przez indukcję pozaskończoną istnieje tylko jedna funkcja \(\displaystyle{ h:X \rightarrow C}\), spełniająca równość:

\(\displaystyle{ h\left( x\right) = g\left( h \cap \left( O(x) \times C\right),x \right).}\)

Aby wykazać, że: \(\displaystyle{ h_1= h=h_2}\) wykażemy, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in X}\), mamy: \(\displaystyle{ h_1\left( x\right) = h\left( x\right)= h_2\left( x\right).}\)

Wykazujemy to indukcyjnie:

Niech \(\displaystyle{ x \in X}\); i przypuśćmy, że dla każdego \(\displaystyle{ a \in X, a<x}\), mamy: \(\displaystyle{ h_1\left( a\right) = h\left( a\right)= h_2\left( a\right).}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ h_1\left( x\right)= h(x)= h_2\left( x\right).}\)

Na mocy naszego założenia: \(\displaystyle{ h_1 \cap \left( O(x) \times C\right) = h \cap \left( O(x) \times C\right) = h_2 \cap \left( O(x) \times C\right) .}\)

Łatwo jest pokazać, że \(\displaystyle{ \mathop{O\left( x\right)}_{ \le } = \mathop{\left( x, \rightarrow \right)}_{ \le ^{-1} }.
}\)


A zatem:

\(\displaystyle{ h \cap \left( O(x) \times C\right) = h_1 \cap \left( \left( x, \rightarrow \right) \times C\right) ;}\)

i w podobny sposób otrzymamy:

\(\displaystyle{ h \cap \left( O(x) \times C\right) = h_2 \cap \left( \left( x, \rightarrow \right) \times C\right).}\)

Mamy:

\(\displaystyle{ h_1\left( x\right)= g\left( h_1 \cap \left[ \left( x, \rightarrow \right) \times C \right] ;x\right) = g \left( h \cap \left[ O(x) \times C\right] ;x \right) = h(x);}\)

i w podobny sposób otrzymamy:

\(\displaystyle{ h_2\left( x\right)= h(x);}\)

a zatem:

\(\displaystyle{ h _{1} \left( x\right)= h\left( x\right)= h_2\left( x\right);}\)

co dowodzi kroku indukcyjnego.

Zasada indukcji dla dobrych porządków daje, że:

\(\displaystyle{ h _{1} \left( x\right) = h(x)= h_2\left( x\right),\hbox{ dla każdego }x \in X}\).

A stąd: \(\displaystyle{ h_1= h=h_2.\square}\)


Wykażemy jeszcze, że zbiór wraz z porządkiem odwrotnym do dobrego, taki zbiór nie jest podobny do żadnej swojej istotnej reszty, tzn.:

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) będzie zbiorem dobrze uporządkowanym, i rozważmy porządek odwrotny: \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1} \right)}\), oraz rozważmy różną od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\) resztę \(\displaystyle{ A \subset X}\), w \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1} \right)}\). Wykażemy, że taka reszta \(\displaystyle{ A}\) nie jest podobna do zbioru \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1} \right).}\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ A \approx \left( X, \le ^{-1}\right) }\).
Wtedy \(\displaystyle{ \left( A, \le \right) \approx \left( X, \le\right) }\).
I ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest resztą w porządku odwrotnym \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1} \right)}\), to w porządku do niego odwrotnym zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym, czyli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym w \(\displaystyle{ \left( X, \le \right);}\) i mamy \(\displaystyle{ X \neq A \approx \left( X, \le \right)}\), gdzie taki zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest dobrze uporządkowany przez ten porządek, a zbiór dobrze uporządkowany nie może być podobny do żadnego swojego istotnego przedziału początkowego- otrzymaliśmy więc sprzeczność.
Wobec czego porządek odwrotny do dobrego \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1} \right)}\) nie jest podobny do żadnej swojej istotnej reszty.\(\displaystyle{ \square}\)

Jednak zbiór liniowo uporządkowany może być podobny do swojej istotnej reszty.

Wystarczy rozważyć odcinek domknięty \(\displaystyle{ \left[ 0,2\right]}\) i odcinek domknięty \(\displaystyle{ \left[ 1,2\right]}\)- zbiory liniowo uporządkowane. Oraz funkcję podobieństwa: \(\displaystyle{ f: \left[ 1,2\right] \rightarrow \left[ 0,2\right]}\), daną jako:

\(\displaystyle{ f(x)= 2x-2;}\)

Wtedy taka funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest silnie rosnąca, a zatem, jest to funkcja różnowartościowa, i, łatwo jest pokazać, że jest to funkcja 'na', a więc jest bijekcją. Ponieważ taka funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest silnie rosnąca, to jest monotoniczna, więc jest podobieństwem, i \(\displaystyle{ \left[ 1,2\right] \approx \left[ 0,2\right],}\) te dwa przedziały są podobne.

Ale zbiór:

\(\displaystyle{ \mathop{\left[ 1, \rightarrow \right) }_{x \in \left[ 0,2\right] }= \left\{ x \in \left[ 0,2\right]: \ x \ge 1 \right\}= \left[ 1,2\right];}\)

jest resztą (bo zbiory, będące w takiej postaci, są zawsze resztą), a zatem zbiór \(\displaystyle{ \left[ 0,2\right]}\) jest podobny do swojej istotnej ( \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \in \left[ 0,2\right] \setminus \left[ 1,2\right]}\) ) reszty.\(\displaystyle{ \square}\) 8-)
ODPOWIEDZ