Dowód na funkcjach i zbiorach, injekcja

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
guserd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 17 kwie 2021, o 09:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 18 razy

Dowód na funkcjach i zbiorach, injekcja

Post autor: guserd »

\(\displaystyle{ A, B, C }\) - dowolne, niepuste zbiory
\(\displaystyle{ f: A \rightarrow B,\\ g: B \rightarrow C}\)
Udowodnij albo zaprzecz, że jeśli:
\(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) są injektywne, to \(\displaystyle{ g \circ f}\) jest też injektywne

Moja próba rozwiązania:

1) \(\displaystyle{ f}\) injektywne, \(\displaystyle{ g}\) injektywne
\(\displaystyle{ \Rightarrow a_{1}, a_{2} \in A : f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}; \ b_{1}, b_{2} \in B : g(b_{1}) = g(b_{2}) \Rightarrow b_{1} = b_{2}}\)

\(\displaystyle{ g \circ f : B \rightarrow B}\)
\(\displaystyle{ b_{1}, b_{2} \in B
\\g(f(a_{1})) = g(f(a_{2})); \ f(a_{1}) = b_{1}, f(a_{2}) = b_{2}
\\g(b_{1}) = g(b_{2})
\\b_{1} = b_{2}}\)
czyli ta sama równość, która świadczy o injektywności funkcji g, więc \(\displaystyle{ g \circ f}\) jest też injektywne cnd.

Czy moje rozumowanie jest poprawne? Nie jestem co do niego w 100% przekonany. Będę wdzięczny za każde podpowiedzi i sugestie.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Dowód na funkcjach i zbiorach, injekcja

Post autor: Jan Kraszewski »

guserd pisze: 20 kwie 2021, o 18:421) \(\displaystyle{ f}\) injektywne, \(\displaystyle{ g}\) injektywne
\(\displaystyle{ \Rightarrow a_{1}, a_{2} \in A : f(a_{1}) = f(a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}; \ b_{1}, b_{2} \in B : g(b_{1}) = g(b_{2}) \Rightarrow b_{1} = b_{2}}\)

\(\displaystyle{ g \circ f : B \rightarrow B}\)
\(\displaystyle{ b_{1}, b_{2} \in B
\\g(f(a_{1})) = g(f(a_{2})); \ f(a_{1}) = b_{1}, f(a_{2}) = b_{2}
\\g(b_{1}) = g(b_{2})
\\b_{1} = b_{2}}\)
czyli ta sama równość, która świadczy o injektywności funkcji g, więc \(\displaystyle{ g \circ f}\) jest też injektywne cnd.

Czy moje rozumowanie jest poprawne?
To na razie nie jest rozumowanie, tylko ściana (niepoprawnych) znaczków. Rozumowania zapisujemy zdaniami w języku polskim. Np. tak:

Niech \(\displaystyle{ f:A\to B, g: B\to C}\) będą injekcjami. Pokażemy, że funkcja \(\displaystyle{ g\circ f:A\to C}\) jest injekcją. W tym celu ustalmy dowolne \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2} \in A}\) takie, że \(\displaystyle{ g\circ f(a_1)=g\circ f(a_2)}\). Wówczas... itd.

JK
guserd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 17 kwie 2021, o 09:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 18 razy

Re: Dowód na funkcjach i zbiorach, injekcja

Post autor: guserd »

Dziękuję za wskazówkę,

Czy teraz jest to poprawnie?

Niech \(\displaystyle{ f: A \rightarrow B}\) i \(\displaystyle{ g: B \rightarrow C}\) będą injekcjami
Należy pokazać, że: \(\displaystyle{ g \circ f: A \rightarrow C}\) jest też iniekcją (we wcześniejszym wpisie źle określiłem zbiory, dziękuję)

Zatem niech:
\(\displaystyle{ a_{1}, a_{2} \in A}\); \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}}\) - dowolne (stałe); takie, że:
\(\displaystyle{ g \circ f(a_{1}) = g \circ f(a_{2}) }\)
\(\displaystyle{ g(f(a_{1})) = g(f(a_{2}))}\) a więc
\(\displaystyle{ f(a_{1}) = f(a_{2}) \Leftrightarrow a_{1} = a_{2}}\)

z injektywności \(\displaystyle{ f: A \rightarrow B}\) wynika:
Jeśli \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2} \in A \wedge f(a_{1}) = f(a_{2})}\) to wtedy \(\displaystyle{ a_{1} = a_{2} }\) - ta sama równość zachodzi dla : \(\displaystyle{ g \circ f: A \rightarrow C}\), a więc \(\displaystyle{ g \circ f: A \rightarrow C}\) jest też iniektywne.

Czy teraz jest to w porządku?

Mam też pytanie: Zna Pan może książki z odpowiedziami, które pomogłyby mi wyćwiczyć rozwiązywanie podobnych zadań (akademickich zadań z analizy od podstaw)?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Dowód na funkcjach i zbiorach, injekcja

Post autor: Jan Kraszewski »

guserd pisze: 21 kwie 2021, o 13:07Czy teraz jest to poprawnie?
Lepiej niż poprzednio, ale to nadal nie jest porządnie zapisany dowód. Nie wystarczy wypisanie rachunków i osobno zacytowanie definicji.
guserd pisze: 21 kwie 2021, o 13:07Zatem niech:
\(\displaystyle{ a_{1}, a_{2} \in A}\); \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}}\) - dowolne (stałe); takie, że: \(\displaystyle{ g \circ f(a_{1}) = g \circ f(a_{2}) }\)
To nie są stałe!
guserd pisze: 21 kwie 2021, o 13:07 \(\displaystyle{ g(f(a_{1})) = g(f(a_{2}))}\) a więc
\(\displaystyle{ f(a_{1}) = f(a_{2}) \Leftrightarrow a_{1} = a_{2}}\)

z injektywności \(\displaystyle{ f: A \rightarrow B}\) wynika:
Jeśli \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2} \in A \wedge f(a_{1}) = f(a_{2})}\) to wtedy \(\displaystyle{ a_{1} = a_{2} }\) - ta sama równość zachodzi dla : \(\displaystyle{ g \circ f: A \rightarrow C}\), a więc \(\displaystyle{ g \circ f: A \rightarrow C}\) jest też iniektywne.
A o tym, że \(\displaystyle{ g}\) jest injekcją zapomniałeś... Powinno być:

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2} \in A}\) takie, że \(\displaystyle{ g \circ f(a_{1}) = g \circ f(a_{2}) }\). Wówczas \(\displaystyle{ g(f(a_{1})) = g(f(a_{2}))}\) i z injektywności funkcji \(\displaystyle{ g}\) wynika, że \(\displaystyle{ f(a_{1}) = f(a_{2})}\). Z injektywności funkcji \(\displaystyle{ f}\) oznacza to, że \(\displaystyle{ a_1=a_2}\). Wobec tego funkcja \(\displaystyle{ g\circ f}\) jest różnowartościowa.
guserd pisze: 21 kwie 2021, o 13:07Mam też pytanie: Zna Pan może książki z odpowiedziami, które pomogłyby mi wyćwiczyć rozwiązywanie podobnych zadań (akademickich zadań z analizy od podstaw)?
To akurat nie jest zadanie z analizy, tylko ze wstępu do matematyki.

JK
ODPOWIEDZ