Sprawdź czy dana funkcja jest surjekcją ew. iniekcją

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
guserd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 17 kwie 2021, o 09:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 18 razy

Sprawdź czy dana funkcja jest surjekcją ew. iniekcją

Post autor: guserd »

Sprawdź czy podana funkcja jest surjekcją ewentualnie iniekcją:

a) \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} ^{3} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}, (x, y, z) \mapsto (x, y)}\)
b) \(\displaystyle{ g: \mathbb{R} ^{2} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}, (x, y) \mapsto (x, y, x)}\)

Szczerze mówiąc nie do końca to rozumiem i nie wiem jak zabrać się za to zadanie.
Pierwszym problemem są już dla mnie zbiory, na których określona jest każda z funkcji - jak można określić ich wartość (parowanie?).

Z góry dziękuję za odpowiedzi.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Sprawdź czy dana funkcja jest surjekcją ew. iniekcją

Post autor: Jan Kraszewski »

guserd pisze: 17 kwie 2021, o 14:50Szczerze mówiąc nie do końca to rozumiem i nie wiem jak zabrać się za to zadanie.
Z definicji injekcji/surjekcji.
guserd pisze: 17 kwie 2021, o 14:50Pierwszym problemem są już dla mnie zbiory, na których określona jest każda z funkcji - jak można określić ich wartość (parowanie?).
To znaczy? Nie bardzo rozumiem Twój problem - możesz go przybliżyć?

JK
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Sprawdź czy dana funkcja jest surjekcją ew. iniekcją

Post autor: Janusz Tracz »

jak można określić ich wartość (parowanie?).
Wartościami tych funkcji są krotki liczb, a nie liczby. Wartością funkcji jest para, trójka liczb.
guserd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 17 kwie 2021, o 09:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 18 razy

Re: Sprawdź czy dana funkcja jest surjekcją ew. iniekcją

Post autor: guserd »

Na przykładzie podpunktu a)
\(\displaystyle{ f: \mathbb{R} ^{3} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}, (x, y, z) \mapsto (x, y)}\)

w najprostszej funkcji f(x)=y
\(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, (x) \mapsto (y)}\) wygląda to w ten sposób czy się mylę? i dla każdego elementu x jest przyporządkowany dokładnie jeden element y

A już np. w podpunkcie a) do każdego elementu (trójki?) - \(\displaystyle{ x, y, z}\) przyporządkujemy jeden element spośród \(\displaystyle{ x, y}\) czy dwa? Czy może do
\(\displaystyle{ x }\) - \(\displaystyle{ x }\) lub \(\displaystyle{ y }\),
\(\displaystyle{ y}\) - \(\displaystyle{ x }\) lub \(\displaystyle{ y }\)
\(\displaystyle{ z }\) - \(\displaystyle{ x }\) lub \(\displaystyle{ y }\)?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Sprawdź czy dana funkcja jest surjekcją ew. iniekcją

Post autor: Janusz Tracz »

do każdego elementu (trójki?)
Nie każdemu elementowi trójki tylko trójce liczb jest przyporządkowana dwójka liczb. Wyobraź sobie, że masz stacje pogodową i z nią chodzisz po pokoju. Wtedy punktowi w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\) możesz przyporządkować powiedzmy temperaturę i ciśnienie. Czyli masz odwzorowanie \(\displaystyle{ \RR^3\ni (x,y,z) \mapsto (T,p)\in \RR^2}\).
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Sprawdź czy dana funkcja jest surjekcją ew. iniekcją

Post autor: Jan Kraszewski »

guserd pisze: 17 kwie 2021, o 15:12 Na przykładzie podpunktu a)
\(\displaystyle{ f: \mathbb{R} ^{3} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}, (x, y, z) \mapsto (x, y)}\)

A już np. w podpunkcie a) do każdego elementu (trójki?) - \(\displaystyle{ x, y, z}\) przyporządkujemy jeden element spośród \(\displaystyle{ x, y}\) czy dwa?
Ta funkcja nie przyporządkowuje niczego "do każdego elementu (trójki?) - \(\displaystyle{ x, y, z}\)" - ona przyporządkowuje do całej trójki. Np. \(\displaystyle{ f(\red{1},\blue{2},\green{3})=(\red{1},\blue{2}).}\)

Podobnie w podpunkcie b), funkcja \(\displaystyle{ g}\) przyporządkowuje parom trójki, masz np. \(\displaystyle{ g(\red{1},\blue{2})=(\red{1},\blue{2},\red{1})}\).

JK
guserd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 17 kwie 2021, o 09:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 18 razy

Re: Sprawdź czy dana funkcja jest surjekcją ew. iniekcją

Post autor: guserd »

Dziękuję za obie odpowiedzi, które były bardzo pomocne w wyobrażeniu sobie tych dwóch zbiorów.

Spróbowałem rozwiązać te zadanie:

a) funkcja f jest surjekcją - dla każdego \(\displaystyle{ ({\color{blue}x}, {\color{red}y})}\) istnieje wiele kombinacji \(\displaystyle{ ({\color{blue}x}, {\color{red}y}, {\color{green}z})}\), ponieważ \(\displaystyle{ {\color{green}z}}\) może przyjmować dowolne wartości, a więc:

\(\displaystyle{ ({\color{blue}1}, {\color{red}2}, {\color{green}z}) \mapsto ({\color{blue}1}, {\color{red}2}) }\)
\(\displaystyle{ {\color{green}z} \in \mathbb R}\)
np. \(\displaystyle{ ({\color{blue}1}, {\color{red}2}, {\color{green}1}) \mapsto ({\color{blue}1}, {\color{red}2}) }\), \(\displaystyle{ ({\color{blue}1}, {\color{red}2}, {\color{green}2}) \mapsto ({\color{blue}1}, {\color{red}2}) }\), \(\displaystyle{ ({\color{blue}1}, {\color{red}2}, {\color{green}3}) \mapsto ({\color{blue}1}, {\color{red}2}) }\) itd.

\(\displaystyle{ \forall(x,y) \in \mathbb R ^{2} : \exists (x, y, z) \in \mathbb R ^{3} : f(x, y, z) = (x, y)}\)

b) funkcja jest iniekcją, bo dla każdego \(\displaystyle{ ({\color{blue}x}, {\color{red}y}, {\color{blue}x})}\) istnieje jeden argument \(\displaystyle{ ({\color{blue}x}, {\color{red}y})}\)

np.
\(\displaystyle{ ({\color{blue}1}, {\color{red}2}) \mapsto ({\color{blue}1}, {\color{red}2}, {\color{blue}1}) }\)
\(\displaystyle{ ({\color{blue}2}, {\color{red}3}) \mapsto ({\color{blue}2}, {\color{red}3}, {\color{blue}2}) }\)

\(\displaystyle{ (x _{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \in \mathbb R ^{2} \wedge (x _{1}, y_{1}) \neq (x_{2}, y_{2}) \Rightarrow f(x _{1}, y_{1}) \neq f(x _{2}, y_{2})}\)

Czy moje rozumowanie jest poprawne i zapisy obowiązują jako sprawdzenie?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Sprawdź czy dana funkcja jest surjekcją ew. iniekcją

Post autor: Jan Kraszewski »

guserd pisze: 17 kwie 2021, o 16:59a) funkcja f jest surjekcją - dla każdego \(\displaystyle{ ({\color{blue}x}, {\color{red}y})}\) istnieje wiele kombinacji \(\displaystyle{ ({\color{blue}x}, {\color{red}y}, {\color{green}z})}\), ponieważ \(\displaystyle{ {\color{green}z}}\) może przyjmować dowolne wartości, a więc:

\(\displaystyle{ ({\color{blue}1}, {\color{red}2}, {\color{green}z}) \mapsto ({\color{blue}1}, {\color{red}2}) }\)
\(\displaystyle{ {\color{green}z} \in \mathbb R}\)
np. \(\displaystyle{ ({\color{blue}1}, {\color{red}2}, {\color{green}1}) \mapsto ({\color{blue}1}, {\color{red}2}) }\), \(\displaystyle{ ({\color{blue}1}, {\color{red}2}, {\color{green}2}) \mapsto ({\color{blue}1}, {\color{red}2}) }\), \(\displaystyle{ ({\color{blue}1}, {\color{red}2}, {\color{green}3}) \mapsto ({\color{blue}1}, {\color{red}2}) }\) itd.
Obserwacja jest poprawna, ale dowód już nie (tzn. nie jest poprawnie sformułowany). Dowód musi być ogólny, a nie na przykładach,

Jeżeli chcesz pokazać, że

\(\displaystyle{ \forall(x,y) \in \mathbb R ^{2}\ \exists (x, y, z) \in \mathbb R ^{3} : f(x, y, z) = (x, y)}\)

to należy to zrobić tak:

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ (x,y)\in\RR^2}\). Wówczas \(\displaystyle{ (x,y,0)\in\RR^3}\) i mamy \(\displaystyle{ f(x,y,0)=(x,y)}\), zatem funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją.

Powinieneś jeszcze ustalić (i uzasadnić), czy funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest czy nie jest injekcją.
guserd pisze: 17 kwie 2021, o 16:59b) funkcja jest iniekcją, bo dla każdego \(\displaystyle{ ({\color{blue}x}, {\color{red}y}, {\color{blue}x})}\) istnieje jeden argument \(\displaystyle{ ({\color{blue}x}, {\color{red}y})}\)

np.
\(\displaystyle{ ({\color{blue}1}, {\color{red}2}) \mapsto ({\color{blue}1}, {\color{red}2}, {\color{blue}1}) }\)
\(\displaystyle{ ({\color{blue}2}, {\color{red}3}) \mapsto ({\color{blue}2}, {\color{red}3}, {\color{blue}2}) }\)

\(\displaystyle{ (x _{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \in \mathbb R ^{2} \wedge (x _{1}, y_{1}) \neq (x_{2}, y_{2}) \Rightarrow f(x _{1}, y_{1}) \neq f(x _{2}, y_{2})}\)
I znów ta sama sytuacja: obserwacja poprawna, dowód nie (a w zasadzie nie ma dowodu - podałeś jeden przykład...). Tu także należy przedstawić rozumowanie ogólne, np. takie:

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ (x _{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \in \mathbb R ^{2}}\) takie, że \(\displaystyle{ g(x _{1}, y_{1})=g(x_{2}, y_{2}),}\) czyli \(\displaystyle{ (x _{1}, y_{1},x_1)= (x_{2}, y_{2},x_2).}\) Oznacza to, że \(\displaystyle{ x_1=x_2}\) i \(\displaystyle{ y_1=y_2}\), skąd \(\displaystyle{ (x _{1}, y_{1})=(x_{2}, y_{2})}\), zatem funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest injekcją.

Ponadto powinieneś ustalić (i uzasadnić), czy funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest czy nie jest surjekcją.

JK
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Sprawdź czy dana funkcja jest surjekcją ew. iniekcją

Post autor: Janusz Tracz »

Intuicja słuszna, a zapis momentami kuleje. Pokazując, że \(\displaystyle{ \left( \forall(x,y) \in \mathbb R ^{2}\right) \left( \exists (x, y, z) \in \mathbb R ^{3} \right) f(x, y, z) = (x, y)}\) formalnie ustalamy dowolne \(\displaystyle{ (x,y)\in \RR^2}\) i wskazujemy palcem świadka na istnienie, mówcą przykładowo, że \(\displaystyle{ (x,y,0)}\) jest dobre bo \(\displaystyle{ f(x,y,0)=(x,y)}\). Oczywiście zrobiłeś coś podobnego ale mówię o formalnym podejściu. Jeśli o iniektywność chodzi to nie podoba mi się to co napisałeś. Tu trzeba ustalić \(\displaystyle{ (x _{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}) \in \mathbb R ^{2}}\) biorąc do je ręki i pokazać to co trzeba. Wypisanie kilku przykładów nawet na literkach nie działa.
ODPOWIEDZ