Oczywiście, co najmniej na continuum sposobów, gdyż z każdą liczbą rzeczywistą można przebierać liniowe porządki na elementach najmniejszych, tzn. jeśli \(\displaystyle{ x\in\RR}\), to możemy rozważyć sumę porządkową \(\displaystyle{ \le _x :=\left\{ x\right\} \oplus \left( \RR \setminus \left\{ x\right\}\right) }\), gdzie na drugim zbiorze jest porządek naturalny, wtedy te zbiory są rozłączne, więc suma porządkowa jest liniowym porządkiem na \(\displaystyle{ \RR}\), i \(\displaystyle{ x}\) jest elementem najmniejszym w \(\displaystyle{ \le_ x}\). Z tego powodu ta funkcja jest różnowartościowa, zatem zbiór wszystkich liniowych porządków na \(\displaystyle{ \RR}\) ma moc co najmniej continuum.
Oczywiście ma też moc co najwyżej tyle co moc \(\displaystyle{ 2^{\RR}}\), gdyż, jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest liniowym porządkiem na \(\displaystyle{ \RR}\), to \(\displaystyle{ R\subset \RR \times \RR}\), zatem zbiór liniowych porządków jest zbiorem podzbiorów \(\displaystyle{ \RR \times \RR}\), czyli podzbiorem \(\displaystyle{ P(\RR \times \RR)\sim P(\RR)\sim 2^{\RR},}\) a zatem zbiór liniowych porządków ma moc co najwyżej taką jak \(\displaystyle{ 2^{\RR}.}\)
Podejrzewam, że ma moc dokładnie taką (\(\displaystyle{ 2^{\RR}}\)), ale mam kłopot z udowodnieniem tego.
Moja próba:
Niech \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) będzie rodziną wszystkich liniowych porządków na \(\displaystyle{ \RR}\). Niech \(\displaystyle{ \le \in \mathbb{B}}\). Takiemu porządkowi przypisujemy funkcję \(\displaystyle{ f:\RR \times \RR \rightarrow \left\{ 0,1\right\} }\), określoną:
\(\displaystyle{ f(a,b)= \begin{cases} 0, \hbox{ jeśli } \left( a \le b \hbox{ i } a \le _{\RR} b\right) \hbox{ lub } \left( a>b \hbox{ i } a \ge _{\RR} b\right), \\ 1,\hbox{ jeśli } \left( a \le _{\RR} b\hbox { i } a>b\right) \hbox {lub } \left( a>_{\RR}b \hbox{ i } a \le b\right) . \end{cases} }\)
tzn. funkcja przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\) jeżeli zastany porządek na elementach \(\displaystyle{ a,b}\) jest zgodny z naturalnym na tych liczbach, w przeciwnym przypadku przypisuję wartość \(\displaystyle{ 1}\)( ponieważ zastany porządek \(\displaystyle{ \le}\) (nie naturalny ) na \(\displaystyle{ \RR}\) jest liniowy, i ponieważ naturalny porządek \(\displaystyle{ \le _{\RR}}\) jest liniowy, więc funkcja jest dobrze określona).
Następnie definiuje funkcję \(\displaystyle{ g:\left( 0,1\right) \rightarrow \left\{ 0,1\right\}}\) na odcinku \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\) jako \(\displaystyle{ g(a)= f(a, a+1).}\)
I chcę pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ S: \le\in\mathbb{B} \rightarrow g _{ \le } \in 2 ^{\left( 0,1\right) } }\) jest 'na'.
Może zacznę: niech \(\displaystyle{ g\in 2 ^{ \left( 0,1\right) } }\), rozważmy przeciwobraz \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow} {g^{-1} } \left\{ 1\right\}}\), należy teraz zapewne określić porządek liniowy na \(\displaystyle{ \RR}\), zamieniając każdy element \(\displaystyle{ x}\) z tego przeciwobrazu z \(\displaystyle{ (x+1).}\) Tylko jak to zrobić formalnie, dwa elementy umiem zamienić przy pomocy sumy porządkowej, czy skończoną ilość, a tu może być ich nieprzeliczalnie wiele (bo są to liczby z odcinka \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\) ), więc jak to zrobić formalnie
