Dowód pierwszego zawierania jest OK. Dowód drugiego zawierania będzie OK, gdy wykreślisz czerwony fragment
.
Faktycznie: "brałem" taki zbiór
\(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) do którego należy element
\(\displaystyle{ x}\) a nie był to dowolny zbiór
\(\displaystyle{ A}\).
Nieco prościej można to zrobić analogicznie jak pierwsze zawieranie w poprzednim dowodzie, korzystając z tego, że dla każdego \(\displaystyle{ A\in\mathcal{A}}\) mamy \(\displaystyle{ \bigcap\mathcal{A} \subseteq A.}\)
Czyli w ten sposób?
Niech
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór
\(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\),
\(\displaystyle{ \mathcal {A} \neq \emptyset}\). Wówczas korzystając z odpowiedniego lematu mamy, że skoro
\(\displaystyle{ \bigcap\mathcal {A} \subseteq A \subseteq X}\) to
\(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] \subseteq f\left[ A\right]}\). Ponieważ inkluzja zachodzi dla dowolnego zbioru
\(\displaystyle{ f\left[ A\right]}\) to zachodzi również dla zbioru
\(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\).
Chciałbym teraz udowodnić, że funkcja
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość:
\(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\},\mathcal {A} \neq \emptyset }\).
Dowód implikacji: jeżeli funkcja
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją to zachodzi równość
\(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}, \mathcal{A} \neq \emptyset }\).
Niech
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie injekcją. Ustalmy dowolny zbiór
\(\displaystyle{ A \in \mathcal {A},\mathcal {A} \neq \emptyset}\) oraz dowolne elementy
\(\displaystyle{ y,t}\) takie, że
\(\displaystyle{ y \in \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\),
\(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\). Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje
\(\displaystyle{ x \in A}\) takie, że
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Korzystając z równoważności, że funkcja
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość
\(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) dla każdego
\(\displaystyle{ A \subseteq X}\) mamy, że dla
\(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\):
\(\displaystyle{ t \in A}\) dla każdego
\(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\). Ponieważ funkcja
\(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to jeżeli
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right)=f\left( t\right) }\) to
\(\displaystyle{ x=t}\) dla dowolnych
\(\displaystyle{ x,t \in A}\). Z tego, że warunek ten zachodzi dla każdego
\(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) mamy, że
\(\displaystyle{ x=t \in \bigcap\mathcal {A}}\). Zatem
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) =f\left( t\right) \in f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] }\). Czyli zachodzi inkluzja
\(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} \subseteq f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] }\). Ponieważ inkluzja przeciwna zachodzi niezależnie od tego czy funkcja
\(\displaystyle{ f}\) jest injekcją czy nie to mamy równość
\(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\).
Dowód implikacji: jeżeli dla każdego
\(\displaystyle{ A \in \mathcal {A},\mathcal {A} \neq \emptyset}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\) to funkcja
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją.
Ustalmy dowolny zbiór
\(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\),
\(\displaystyle{ \mathcal {A} \neq \emptyset}\) dla którego zachodzi równość
\(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\), dowolny element
\(\displaystyle{ y \in f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\), dowolny element
\(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) oraz, że
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest funkcją.
Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje
\(\displaystyle{ x \in \bigcap\mathcal {A}}\) takie, że
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Natomiast z def. przeciwobrazu zbioru mamy, że
\(\displaystyle{ f\left( t\right) \in f\left[ A\right]}\). Ponieważ zachodzi równość
\(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} =f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] }\) to wszystkie elementy
\(\displaystyle{ f\left( t\right)}\) należące do zbiorów
\(\displaystyle{ f\left[ A\right]}\) są wartościami funkcji
\(\displaystyle{ f}\) w punktach
\(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) takich, że
\(\displaystyle{ t \in A}\) dla każdego zbioru
\(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\). Wówczas dla każdego zbioru
\(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) zachodzi równość
\(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\), a więc funkcja
\(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.
DS
Dodano po 2 dniach 1 godzinie 11 minutach 3 sekundach:
Chciałem teraz przeprowadzić dowód następujących równości:
Jeżeli
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest funkcją, to dla dowolnej rodziny zbiorów
\(\displaystyle{ \mathcal {B} \subseteq \mathcal {P}\left(Y \right)}\) zachodzi:
1.
\(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcup\mathcal {B}\right]=\bigcup\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}}\).
Dowód inkluzji
\(\displaystyle{ \bigcup\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\} \subseteq f^{-1}\left[ \bigcup\mathcal {B}\right]}\).
Niech
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór
\(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}}\). Wówczas na mocy odpowiedniego lematu mamy, że jeżeli
\(\displaystyle{ B \subseteq\bigcup \mathcal {B} \subseteq Y}\) to
\(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right] \subseteq f^{-1}\left[ \bigcup\mathcal {B}\right]}\). Ponieważ inkluzja zachodzi dla dowolnego zbioru
\(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right]}\) to zachodzi również dla zbioru
\(\displaystyle{ \bigcup\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}}\). Czyli mamy, że
\(\displaystyle{ \bigcup\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\} \subseteq f^{-1}\left[ \bigcup\mathcal {B}\right]}\).
Dowód inkluzji
\(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcup\mathcal {B}\right] \subseteq\bigcup\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\} }\).
Niech
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolną rodzinę zbiorów
\(\displaystyle{ \mathcal {B} \subseteq \mathcal {P}\left( Y\right)}\) oraz dowolny element
\(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ \bigcup\mathcal {B}\right]}\). Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru wynika, że istnieje
\(\displaystyle{ f\left( x\right) \in \bigcup\mathcal {B}}\). Weźmy zbiór
\(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}}\) taki, że
\(\displaystyle{ f\left( x\right) \in B}\). Wówczas
\(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]}\). A więc
\(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right] \subseteq \bigcup\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}}\). Zate zachodzi inkluzja
\(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcup\mathcal {B}\right] \subseteq \bigcup\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}}\).
2.
\(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right] =\bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\},\mathcal {B} \neq \emptyset }\).
Dowód inkluzji
\(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right] \subseteq \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}, \mathcal {B} \neq \emptyset}\).
Niech
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór
\(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}, \mathcal {B} \neq \emptyset}\) oraz dowolny element
\(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right]}\).
Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru mamy, że istnieje
\(\displaystyle{ f\left( x\right) \in \bigcap\mathcal {B}}\). Zatem
\(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) należy do każdego zbioru
\(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}}\) a wówczas
\(\displaystyle{ x}\) należy do każdego zbioru
\(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right]}\). To oznacza, że
\(\displaystyle{ x \in \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}}\) , a więc zachodzi inkluzja
\(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right] \subseteq \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}, \mathcal {B} \neq \emptyset}\).
Dowód inkluzji
\(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\} \subseteq f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right], \mathcal {B} \neq \emptyset}\).
Niech
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór
\(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}, \mathcal {B} \neq \emptyset}\) oraz dowolny element
\(\displaystyle{ x \in \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}, \mathcal {B} \neq \emptyset}\). Wówczas
\(\displaystyle{ x}\) należy do każdego zbioru
\(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right]}\) a zatem z def. przeciwobrazu zbioru wynika, że istnieje
\(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) należące do każdego zbioru
\(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}}\). Skoro tak to
\(\displaystyle{ f\left( x\right) \in \bigcap\mathcal {B}}\), a wówczas
\(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right]}\). Czyli zachodzi inkluzja
\(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\} \subseteq f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right], \mathcal {B} \neq \emptyset }\).
Chciałem zapytać czy zna Pan jakiś zbiór zadań gdzie wykorzystuje się w podobny sposób własności obrazów i przeciwobrazów. Chodzi mi o zadania tego typu co dowody powyższych twierdzeń, lematów.
DS