Strona 3 z 7
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 17 kwie 2021, o 22:48
autor: a4karo
To jest jakiś bełkot. Równość `B=Y\setminus rng(f)` zachodzi tylko dla jednego B. Zgadnij jakiego?
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 17 kwie 2021, o 23:20
autor: Jan Kraszewski
a4karo pisze: ↑17 kwie 2021, o 22:48
To jest jakiś bełkot. Równość `B=Y\setminus rng(f)` zachodzi tylko dla jednego B. Zgadnij jakiego?
To nie jest bełkot, nie śledzisz, to nie wiesz.
smo w dojrzałym wieku zaczął na własną rękę czytać podręcznik do teorii mnogości i pojawiają mu się w związku z tym różne pytania. Podczas własnych prób przeprowadzania różnych dowodów jako produkt uboczny pojawiają mu się różne wątpliwości, które - choć obiektywnie z matematycznego punktu widzenia mogą nie mieć wiele sensu - są w jakiś sposób naturalne, a odpowiedź na nie pozwala mu lepiej zrozumieć dane pojęcie. To nie jest sytuacja niedouczonego studenta, który nie uważał na wykładach.
JK
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 18 kwie 2021, o 07:29
autor: a4karo
Przesadziłem, przepraszam za to sformułowanie.
Niemniej jednak rozważanie ile jest zbiorów `B` spełniających zadany warunek wydaje się dziwne.
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 18 kwie 2021, o 11:22
autor: Jan Kraszewski
Oczywiście, nam wydaje się dziwne, bo dobrze to rozumiemy. Ale jeżeli ktoś jednak zadał to pytanie, to warto się nad nim zatrzymać - jeżeli pytający też zrozumie, że to dziwne pytanie, to już będzie zysk.
JK
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 18 kwie 2021, o 15:42
autor: smo
No jasne. Innymi słowy chodzi o taki podzbiór zbioru \(\displaystyle{ Y}\), który spełnia równość \(\displaystyle{ Y \setminus rng\left( f\right) \cap rng\left( f\right) =\emptyset}\). I tym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ Y}\) jest właśnie zbiór \(\displaystyle{ Y \setminus rng\left( f\right)}\). W moim wypadku \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right)}\). I faktycznie dla danej funkcji \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest dokładnie jeden taki zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\), który spełnia tą równość.
Rozumiem teraz, że dla Was są to "tajniki rzeczy oczywistych". Jednak z matematyką nie miałem do czynienia jakieś 20 lat. W liceum chodziłem do klasy o profilu ścisłym i po maturze studiowałem przez rok na Wydziale Chemii UJ na przełomie 2001/2002 ale później poszedłem na studia zupełnie nie związane z naukami ścisłymi. Podczas studiów na chemii poznałem całki i równania różniczkowe i bardzo mi się ten temat spodobał. Nawet byłem w tym niezły. Ale tak duża przerwa sprawiła, że moje myślenie abstrakcyjne zapewne wymaga treningu. Teraz postanowiłem do tego wrócić i zaczynam od teorii mnogości. W związku z tym to forum chciałbym traktować niemalże jak zajęcia na studiach bo obecnie nie ma nikogo w moim otoczeniu kto zna matematykę wyższą. A, że potrzebuję skonfrontować wszelkie wątpliwości i spostrzeżenia z kimś z zewnątrz to pomyślałem, ze znajdę odpowiednie ku temu forum. Z góry zatem dziękuję za wszelkie uwagi oraz za cierpliwość.
DS
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 18 kwie 2021, o 17:24
autor: Jan Kraszewski
smo pisze: ↑18 kwie 2021, o 15:42Innymi słowy chodzi o taki podzbiór zbioru
\(\displaystyle{ Y}\), który spełnia równość
\(\displaystyle{ Y \setminus rng\left( f\right) \cap rng\left( f\right) =\emptyset}\).
Ten zapis jest niedobry, bo niejednoznaczny. Trzeba użyć nawiasów:
\(\displaystyle{ \red{(}Y \setminus rng\left( f\right)\red{)} \cap rng\left( f\right) =\emptyset.}\) Poza tym sformułowanie zdania jest niewłaściwe: chodzi Ci o taki podzbiór
\(\displaystyle{ B}\) zbioru
\(\displaystyle{ Y}\), który spełnia równanie
\(\displaystyle{ B \cap rng\left( f\right) =\emptyset}\).
smo pisze: ↑18 kwie 2021, o 15:42I tym podzbiorem zbioru
\(\displaystyle{ Y}\) jest właśnie zbiór
\(\displaystyle{ Y \setminus rng\left( f\right)}\). W moim wypadku
\(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right)}\). I faktycznie dla danej funkcji
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest dokładnie jeden taki zbiór
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\), który spełnia tą równość.
Jest oczywiście dokładnie jeden podzbiór
\(\displaystyle{ B}\) zbioru
\(\displaystyle{ Y}\), który spełnia równość
\(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right)}\), natomiast może być więcej podzbiorów
\(\displaystyle{ B}\) zbioru
\(\displaystyle{ Y}\), które spełniają równanie
\(\displaystyle{ B \cap rng\left( f\right) =\emptyset}\) - wszystkie podzbiory zbioru
\(\displaystyle{ Y \setminus rng\left( f\right)}\) mają tę własność (jeżeli funkcja
\(\displaystyle{ f}\) nie jest surjekcją, to jest ich więcej niż jeden).
JK
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 19 kwie 2021, o 23:49
autor: smo
Tak, zdecydowanie chodziło mi o równość \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right)=\emptyset}\). Dziękuję.
Czyli podsumowując
1. Gdy funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją to wtedy dla każdego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) = f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =B}\). Nie istnieje w związku z tym taki zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\), który spełniałby równość \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) =\emptyset}\), a więc jednocześnie nie istnieje wówczas taki zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) dla którego zachodzi równość \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right)}\), ponieważ zbiór \(\displaystyle{ Y\setminus rng\left( f\right)}\) jest wówczas zbiorem pustym.
2. Gdy funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) nie jest surjekcją to istnieje co najmniej jeden zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) dla którego zachodzi równość \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right)=B=f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]}\). Istnieje dokładnie jeden zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) dla którego zachodzi równość \(\displaystyle{ B=Y\setminus rng\left( f\right)}\) oraz istnieje co najmniej jeden zbiór (poza zbiorem \(\displaystyle{ Y\setminus rng\left( f\right)}\)) \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) dla którego spełniona jest równość \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right)=\emptyset}\).
Dodano po 1 godzinie 13 minutach 23 sekundach:
Choć co w przypadku gdy zbiór \(\displaystyle{ Y\setminus rng\left( f\right)}\) jest zbiorem jednoelementowym?
Wówczas nie ma innego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) dla którego \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) = \emptyset}\).
A no tak, przecież funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest wtedy surjektywna. Czyli nie ma takiego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\), że \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) =\emptyset}\)
Dodano po 16 minutach 2 sekundach:
W następnym poście zapytam też co w przypadku funkcji pustej.
DS
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 20 kwie 2021, o 00:29
autor: Jan Kraszewski
smo pisze: ↑19 kwie 2021, o 23:49
1. Gdy funkcja
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją to wtedy dla każdego zbioru
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość
\(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) = f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =B}\).
Tak, przy czym pierwsza równość zachodzi dla dowolnej funkcji, niekoniecznie surjekcji.
smo pisze: ↑19 kwie 2021, o 23:49Nie istnieje w związku z tym taki zbiór
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\), który spełniałby równość
\(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) =\emptyset}\), a więc jednocześnie nie istnieje wówczas taki zbiór
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) dla którego zachodzi równość
\(\displaystyle{ B=Y\backslash rng\left( f\right)}\), ponieważ zbiór
\(\displaystyle{ Y\backslash rng\left( f\right)}\) jest wówczas zbiorem pustym.
Istnieje:
\(\displaystyle{ B=\emptyset}\). Nie istnieje niepusty zbiór o tej własności.
smo pisze: ↑19 kwie 2021, o 23:49
2. Gdy funkcja
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) nie jest surjekcją to istnieje co najmniej jeden zbiór
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) dla którego zachodzi równość
\(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right)=B=f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]}\).
Możemy dokładnie powiedzieć, które zbiory
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) będą spełniały tę równość - tę własność mają wszystkie podzbiory zbioru
\(\displaystyle{ rng(f)}\) (i tylko one).
smo pisze: ↑19 kwie 2021, o 23:49Istnieje dokładnie jeden zbiór
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) dla którego zachodzi równość
\(\displaystyle{ B=Y\backslash rng\left( f\right)}\)
To jest stwierdzenie tautologiczne.
smo pisze: ↑19 kwie 2021, o 23:49oraz istnieje co najmniej jeden zbiór (poza zbiorem
\(\displaystyle{ Y\backslash rng\left( f\right)}\))
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) dla którego spełniona jest równość
\(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right)=\emptyset}\).
I tu też możemy podać dokładny opis zbiorów
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) spełniających tę równość.
smo pisze: ↑19 kwie 2021, o 23:49
Dodano po 1 godzinie 13 minutach 23 sekundach:
Choć co w przypadku gdy zbiór
\(\displaystyle{ Y\backslash rng\left( f\right)}\) jest zbiorem jednoelementowym?
Wówczas nie ma innego zbioru
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) dla którego
\(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) = \emptyset}\).
A no tak, przecież funkcja
\(\displaystyle{ f}\) jest wtedy surjektywna. Czyli nie ma takiego zbioru
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\), że
\(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) =\emptyset}\)
Nieprawda. Jeżeli zbiór
\(\displaystyle{ Y\setminus rng\left( f\right)}\) jest zbiorem jednoelementowym, to funkcja
\(\displaystyle{ f}\) nie jest surjekcją i istnieją dokładnie dwa zbiory
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\), dla których
\(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) = \emptyset}\):
\(\displaystyle{ B=Y\setminus rng\left( f\right)}\) i
\(\displaystyle{ B=\emptyset}\).
JK
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 21 kwie 2021, o 17:08
autor: smo
Dziękuję za wszystkie sprostowania.
Ponieważ chciałbym nauczyć się prawidłowego formułowania treści dowodów matematycznych wrócę raz jeszcze do dowodu, że nie dla każdego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) spełniona jest równość \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\).
Chciałbym zastosować w tym wypadku dowód nie wprost.
Jeżeli \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) to nie dla każdego podzbioru zbioru \(\displaystyle{ Y}\) zachodzi równość: \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\).
Dowód:
Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\): \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\). Jeżeli równość ta zachodzi dla dowolnego podzbioru zbioru \(\displaystyle{ Y}\) to również dla \(\displaystyle{ B=rng\left( f\right) }\). Wówczas \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =B\cap rng\left( f\right)=rng\left( f\right) }\). Dochodzimy do sprzeczności, ponieważ \(\displaystyle{ rng\left( f\right) \neq Y \setminus rng\left( f\right) }\). Czyli równość \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\) nie zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\).
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 21 kwie 2021, o 18:15
autor: Jan Kraszewski
smo pisze: ↑21 kwie 2021, o 17:08Jeżeli
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) to nie dla każdego podzbioru zbioru
\(\displaystyle{ Y}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\), gdzie
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\).
To sformułowanie nie bardzo ma sens. Poza tym w tej wersji jest nieprawdziwe. Powinno być:
Niech
\(\displaystyle{ X\ne\emptyset}\) i niech
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Wtedy nie dla każdego podzbioru
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\).
Dowodzenie tego twierdzenia nie wprost jest, delikatnie rzecz biorą, bardzo dziwne. Żaden matematyk by tego tak nie robił, bo to jest twierdzenie egzystencjalne i wystarczy wskazać przykład.
smo pisze: ↑21 kwie 2021, o 17:08
Dowód:
Ustalmy dowolny zbiór
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\):
\(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\).
Jak chcesz nie wprost, to powinieneś napisać "Załóżmy nie wprost, że dla dowolnego zbioru
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość
\(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\)".
smo pisze: ↑21 kwie 2021, o 17:08Jeżeli równość ta zachodzi dla dowolnego podzbioru zbioru
\(\displaystyle{ Y}\) to również dla
\(\displaystyle{ B=rng\left( f\right) }\).
Wówczas \(\displaystyle{ \red{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =B\cap rng\left( f\right)=rng\left( f\right) }}\). Dochodzimy do sprzeczności, ponieważ
\(\displaystyle{ rng\left( f\right) \neq Y \setminus rng\left( f\right) }\). Czyli równość
\(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\) nie zachodzi dla każdego
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\).
Poprawnie, ale daleko niepotrzebnie. Czerwony fragment jest zupełnie zbędny i nic nie wnosi do dowodu. Podobnie zresztą jak dowód nie wprost jest zupełnie zbędny. Wystarczyło napisać, że
Twierdzenie jest prawdziwe bo dla
\(\displaystyle{ B=rng(f)}\) równość
\(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\) nie zachodzi.
I to jest cały dowód.
JK
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 22 kwie 2021, o 20:49
autor: smo
Dziękuję.
Teraz chciałbym udowodnić inkluzję: "dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ A \subseteq f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\), gdzie \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest dowolną funkcją oraz \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] =\left\{ x \in dom\left( f\right): f\left( x\right) \in f\left[ A\right] \right\} }\) jest przeciwobrazem zbioru \(\displaystyle{ f\left[ A\right]}\) poprzez funkcję \(\displaystyle{ f}\).
Dowód:
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x \in A}\). Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\). Skoro tak to z def. przeciwobrazu zbioru mamy, że \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\). Zatem zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ A \subseteq f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\) dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\).
DS
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 22 kwie 2021, o 21:26
autor: Jan Kraszewski
Dobrze.
JK
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 24 kwie 2021, o 21:22
autor: smo
Dziękuję.
Teraz chciałbym udowodnić równoważność: "Funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\)."
Dowód:
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ A \subseteq X}\), \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\), \(\displaystyle{ t \in A}\) oraz, że funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją.
Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru mamy, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\). Skoro funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to istnieje takie \(\displaystyle{ t \in A}\), że \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\). Wówczas \(\displaystyle{ x=t}\), a więc \(\displaystyle{ x \in A}\). W związku z tym zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] \subseteq A}\). Ponieważ inkluzja przeciwna jest zawsze prawdziwa to zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\).
DS
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 24 kwie 2021, o 21:46
autor: Jan Kraszewski
Nieźle, ale...
smo pisze: ↑24 kwie 2021, o 21:22Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru mamy, że
\(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\). Skoro funkcja
\(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to istnieje takie
\(\displaystyle{ t \in A}\), że
\(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\). Wówczas
\(\displaystyle{ x=t}\), a więc
\(\displaystyle{ x \in A}\).
Intencja dobra, ale sformułowanie nie - co ma istnienie
\(\displaystyle{ t}\) do tego, że
\(\displaystyle{ f}\) jest injekcją? Nic. Powinno być
"Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru mamy, że
\(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\). Z definicji obrazu zbioru wiemy, że istnieje takie
\(\displaystyle{ t \in A}\), że
\(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\). Skoro funkcja
\(\displaystyle{ f}\) jest injekcją, to
\(\displaystyle{ x=t}\), a więc
\(\displaystyle{ x \in A}\). "
Reszta jest OK, ale to tylko jedno wynikanie, a chciałeś dowieść równoważność. Wskazówka - drugie wynikanie łatwo dowieść nie wprost.
JK
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 25 kwie 2021, o 20:18
autor: smo
Bardzo dziękuję.
Czy ten sam dowód można sformułować również w taki sposób?
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ A \subseteq X}\), \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\), \(\displaystyle{ t \in A}\) oraz, że funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją.
Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru wynika, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\). Skoro tak to z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje takie \(\displaystyle{ t \in A}\) dla którego \(\displaystyle{ f\left( t\right) \in f\left[ A\right] }\). Wówczas skoro funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to spełniony jest warunek: jeżeli \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\) to \(\displaystyle{ x=t}\), a więc \(\displaystyle{ x \in A}\). Zatem zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] \subseteq A}\) dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\).
Przedstawiam też dowód nie wprost implikacji przeciwnej:
Jeżeli zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) to funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\).
Dowód:
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ A \subseteq X}\), \(\displaystyle{ x \in A}\), \(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\) dla których zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) oraz, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją. Wówczas istnieją \(\displaystyle{ x,t \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ x \neq t}\) i dla których \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\). Skoro jednak zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) to zbiór \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]\backslash A}\) jest zbiorem pustym. A więc dla \(\displaystyle{ A=\left\{ x\right\} }\), \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] =\left\{ t\right\} }\) mamy, że \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]\backslash A =\left\{ t\right\}\backslash \left\{ x\right\}=\emptyset}\). Wówczas zachodzi równość \(\displaystyle{ x=t}\). Zatem mamy spełniony warunek: jeżeli \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\) to \(\displaystyle{ x=t}\). Tak więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.
DS