Strona 2 z 7
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 15 kwie 2021, o 22:12
autor: Jan Kraszewski
No i teraz jest dobrze.
JK
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 15 kwie 2021, o 22:44
autor: smo
Dziękuję.
Chciałem teraz zapytać o dowód równoważności:
"Funkcja \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) jest surjekcją wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B}\).
Dowód implikacji "jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]= B}\)."
Z definicji funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją gdy zachodzi równość \(\displaystyle{ rng\left( f\right) = Y}\). Jednocześnie \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B\cap rng\left( f\right)}\). Czyli w tym wypadku \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]= B\cap Y}\). Skoro \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B}\).
Dowód implikacji "jeżeli zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]= B}\) to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją."
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ y \in B}\), gdzie \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\). Skoro zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B}\) to z def. obrazu zbioru wynika, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]}\). Skoro \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in B}\) oraz \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) to nie istnieje takie \(\displaystyle{ y \in Y}\), że \(\displaystyle{ y\notin rng\left( f\right) }\). Wówczas \(\displaystyle{ Y= rng\left( f\right)}\) co z def. oznacza, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją.
DS
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 15 kwie 2021, o 23:12
autor: Jan Kraszewski
smo pisze: ↑15 kwie 2021, o 22:44Dowód implikacji "jeżeli funkcja
\(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to zachodzi równość
\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]= B}\)."
Ta implikacja tak nie wygląda. Powinno być "jeżeli funkcja
\(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to
dla dowolnego \(\displaystyle{ \red{B \subseteq Y}}\) zachodzi równość
\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]= B}\)."
smo pisze: ↑15 kwie 2021, o 22:44
Z definicji funkcja
\(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją gdy zachodzi równość
\(\displaystyle{ rng\left( f\right) = Y}\). Jednocześnie
\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B\cap rng\left( f\right)}\). Czyli w tym wypadku
\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]= B\cap Y}\). Skoro
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) to zachodzi równość
\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B}\).
Byłoby dobrze, gdyby na początku ustalić dowolne
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\). Bez tego nie wiadomo, co to jest
\(\displaystyle{ B}\).
smo pisze: ↑15 kwie 2021, o 22:44Dowód implikacji "jeżeli zachodzi równość
\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]= B}\) to funkcja
\(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją."
Ta implikacja tak nie wygląda. Powinno być "jeżeli
dla dowolnego \(\displaystyle{ \red{B \subseteq Y}}\) zachodzi równość
\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]= B}\) to funkcja
\(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją."
smo pisze: ↑15 kwie 2021, o 22:44Ustalmy dowolne
\(\displaystyle{ y \in B}\), gdzie
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\).
Ale co to jest
\(\displaystyle{ B}\)?!
smo pisze: ↑15 kwie 2021, o 22:44 Skoro zachodzi równość
\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B}\) to z def. obrazu zbioru wynika, że
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right)}\), gdzie
\(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]}\). Skoro
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in B}\) oraz
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) to nie istnieje takie
\(\displaystyle{ y \in Y}\), że
\(\displaystyle{ y\notin rng\left( f\right) }\). Wówczas
\(\displaystyle{ Y= rng\left( f\right)}\) co z def. oznacza, że funkcja
\(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją.
A to jest do niczego.
JK
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 16 kwie 2021, o 06:47
autor: smo
Dowód implikacji "jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =B}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\)."
Z def. funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją gdy zachodzi równość \(\displaystyle{ rng\left( f\right) =Y}\). Jednocześnie \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B\cap rng\left( f\right) }\). Czyli w tym wypadku \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B\cap Y}\) a skoro \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =B}\).
Dowód implikacji "jeżeli dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B}\) to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją."
Skoro \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B}\) to \(\displaystyle{ B \subseteq rng\left( f\right)}\). Wtedy \(\displaystyle{ B= Y\backslash rng\left( f\right) }\) jest zbiorem pustym a więc \(\displaystyle{ Y= rng\left( f\right) }\) co z def. oznacza, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją.
DS
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 16 kwie 2021, o 10:34
autor: Jan Kraszewski
smo pisze: ↑16 kwie 2021, o 06:47
Dowód implikacji "jeżeli funkcja
\(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to zachodzi równość
\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =B}\) dla dowolnego
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\)."
Z def. funkcja
\(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją gdy zachodzi równość
\(\displaystyle{ rng\left( f\right) =Y}\). Jednocześnie
\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B\cap rng\left( f\right) }\). Czyli w tym wypadku
\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B\cap Y}\) a skoro
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) to zachodzi równość
\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =B}\).
Dobrze, ale ponieważ każdego aktora należy zapowiedzieć, więc dowód powinien zacząć się od "Ustalmy dowolne
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\).".
smo pisze: ↑16 kwie 2021, o 06:47
Dowód implikacji "jeżeli dla dowolnego
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość
\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B}\) to funkcja
\(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją."
Skoro
\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B}\) to
\(\displaystyle{ B \subseteq rng\left( f\right)}\). Wtedy
\(\displaystyle{ B= Y\backslash rng\left( f\right) }\) jest zbiorem pustym a więc
\(\displaystyle{ Y= rng\left( f\right) }\) co z def. oznacza, że funkcja
\(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją.
Co to jest
\(\displaystyle{ B}\)? Dowolny podzbiór
\(\displaystyle{ Y}\)? Jakiś konkretny podzbiór
\(\displaystyle{ Y}\)? Oczywiście mogę domyślać się, co chcesz zrobić, ale w tej wersji to jest dalej do niczego.
A powinno to być napisane tak:
Korzystając z założenia dla
\(\displaystyle{ B=Y}\) mamy
\(\displaystyle{ Y=f\left[ f^{-1}\left[ Y\right]\right]=f[X]=rng\, f}\), zatem funkcja
\(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją.
JK
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 16 kwie 2021, o 11:47
autor: smo
Czy jeżeli dowód drugiej implikacji zacząłbym od "ustalmy dowolne \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) to mój dowód jest poprawny?
Bo faktycznie jeśli \(\displaystyle{ B= Y\backslash rng\left( f\right) }\) jest zbiorem pustym to wtedy \(\displaystyle{ Y= rng\left( f\right) }\) czyli funkcja jest surjekcją.
Nie rozumiem na jakiej podstawie można w tej sytuacji założyć, że \(\displaystyle{ B=Y}\).
Bardzo proszę o wytłumaczenie.
DS
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 16 kwie 2021, o 14:38
autor: Jan Kraszewski
smo pisze: ↑16 kwie 2021, o 11:47
Czy jeżeli dowód drugiej implikacji zacząłbym od "ustalmy dowolne
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) to mój dowód jest poprawny?
Bo faktycznie jeśli
\(\displaystyle{ B= Y\backslash rng\left( f\right) }\) jest zbiorem pustym to wtedy
\(\displaystyle{ Y= rng\left( f\right) }\) czyli funkcja jest surjekcją.
Wtedy będzie bardzo niepoprawny, bo wtedy stwierdzisz, że dla
dowolnego zbioru
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi
\(\displaystyle{ B= Y \setminus rng\left( f\right) }\), co jest bardzo nieprawdziwe. Zauważ, że robisz dokładnie to, co ja napisałem (zauważasz, że
\(\displaystyle{ Y \subseteq rng(f)}\)), ale nie potrafisz tego poprawnie sformułować.
smo pisze: ↑16 kwie 2021, o 11:47Nie rozumiem na jakiej podstawie można w tej sytuacji założyć, że
\(\displaystyle{ B=Y}\).
To nie jest założenie, to jest wniosek z założenia.
Założenie w tym przypadku mówi, że dla dowolnego zbioru
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość
\(\displaystyle{ f\left[f^{-1} \left[B \right] \right]=B }\). Dla dowolnego, zatem w szczególności dla
\(\displaystyle{ B=Y}\) - korzystam z założenia tylko w tym jednym szczególnym przypadku.
JK
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 16 kwie 2021, o 21:47
autor: smo
Dziękuję.
Faktycznie wystarczyło zauważyć, że przy dowolnym \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) może zachodzić równość \(\displaystyle{ B= Y}\). Bo skoro prawdą jest, że \(\displaystyle{ B=Y}\) to prawdą jest, że \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\). Jednocześnie w dowodzeniu drugiej implikacji błędnie założyłem, że równość \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\) zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\).
Spróbowałem sobie również udowodnić, że tak nie jest (proszę o sprawdzenie):
Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) oraz dowolne \(\displaystyle{ y \in B}\). Jeżeli \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ x \in X}\) to wtedy \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in rng\left( f\right) }\). Wówczas \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)\notin Y \setminus rng\left( f\right) }\) a więc równość \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\) nie zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\).
Rozumiem, że wtedy zachodzi równość \(\displaystyle{ Y \setminus rng\left( f\right) = B \setminus f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] }\) ?
DS
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 16 kwie 2021, o 22:33
autor: Jan Kraszewski
smo pisze: ↑16 kwie 2021, o 21:47Ustalmy dowolny zbiór
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) oraz dowolne
\(\displaystyle{ y \in B}\). Jeżeli
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\), gdzie
\(\displaystyle{ x \in X}\) to wtedy
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in rng\left( f\right) }\). Wówczas
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right)\notin Y \setminus rng\left( f\right) }\) a więc równość
\(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\) nie zachodzi dla dowolnego
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\).
Źle. Jeżeli chcesz pokazać, że "tak nie jest" to znaczy, że chcesz zfalsyfikować twierdzenie (czyli dowieść prawdziwości jego negacji)
ogólne "Dla dowolnego
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) mamy
\(\displaystyle{ B=Y \setminus rng(f)}\)". A negacja twierdzenia ogólnego to twierdzenie
szczegółowe: "Istnieje
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) takie, że
\(\displaystyle{ B\ne Y \setminus rng(f)}\)" (kłaniają się prawa de Morgana dla kwantyfikatorów), podczas gdy Ty starasz się udowodnić (dużo silniejsze) twierdzenie ogólne "Dla dowolnego
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) mamy
\(\displaystyle{ B\ne Y \setminus rng(f)}\)", które jest nieprawdziwe (
\(\displaystyle{ B=\emptyset}\) jest kontrprzykładem), poza tym sam dowód jest zupełnie "od czapy", gdyż nie wiadomo, co tak naprawdę robisz (i na jakiej podstawie).
smo pisze: ↑16 kwie 2021, o 21:47Rozumiem, że wtedy zachodzi równość
\(\displaystyle{ Y \setminus rng\left( f\right) = B \setminus f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] }\) ?
"Wtedy" czyli kiedy?
JK
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 17 kwie 2021, o 19:09
autor: smo
To może w ten sposób:
Zakładamy, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ B= Y \setminus rng\left( f\right) }\). Wówczas nie istnieje \(\displaystyle{ y \in B}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in rng\left( f\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in X}\). Skoro jednak dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ B}\) zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) wtedy istnieje zbiór \(\displaystyle{ B}\) taki, że \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) \neq \emptyset }\). Jest to równoznaczne z tym, że istnieje \(\displaystyle{ y \in B}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in rng\left( f\right) }\). Zatem dochodzimy do sprzeczności. Tak więc równość \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) nie zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\).
DS
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 17 kwie 2021, o 20:23
autor: Jan Kraszewski
smo pisze: ↑17 kwie 2021, o 19:09
To może w ten sposób:
Zakładamy, że dla dowolnego zbioru
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość
\(\displaystyle{ B= Y\backslash rng\left( f\right) }\). Wówczas nie istnieje
\(\displaystyle{ y \in B}\) takie, że
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in rng\left( f\right)}\), gdzie
\(\displaystyle{ x \in X}\). Skoro jednak dla dowolnego zbioru
\(\displaystyle{ B}\) zachodzi inkluzja
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) wtedy istnieje zbiór
\(\displaystyle{ B}\) taki, że
\(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) \neq \emptyset }\). Jest to równoznaczne z tym, że istnieje
\(\displaystyle{ y \in B}\) takie, że
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in rng\left( f\right) }\). Zatem dochodzimy do sprzeczności. Tak więc równość
\(\displaystyle{ B=Y\backslash rng\left( f\right) }\), gdzie
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) nie zachodzi dla dowolnego
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\).
A mógłbyś napisać, czego to miałby być dowód? Ale porządnie i dokładnie.
JK
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 17 kwie 2021, o 21:08
autor: smo
Chciałem udowodnić, że nie dla każdego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ B=Y\backslash rng\left( f\right) }\).
DS
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 17 kwie 2021, o 21:32
autor: Jan Kraszewski
To nie jest pełne sformułowanie twierdzenia. Co to jest \(\displaystyle{ f}\)? Co jest założeniem?
JK
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 17 kwie 2021, o 21:56
autor: smo
To może tak:
Jeśli \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) jest funkcją, to nie dla każdego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\).
W tym wypadku założeniem jest, że relacja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją.
DS
Re: Przeciwobraz obrazu zbioru
: 17 kwie 2021, o 22:42
autor: Jan Kraszewski
smo pisze: ↑17 kwie 2021, o 21:56Jeśli
\(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) jest funkcją, to nie dla każdego zbioru
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość
\(\displaystyle{ B=Y\setminus rng\left( f\right) }\).
W tym wypadku założeniem jest, że relacja
\(\displaystyle{ f}\) jest funkcją.
No w tej ogólności twierdzenie nie jest prawdziwe, nie zachodzi dla
\(\displaystyle{ X=Y=f=\emptyset}\). Jeżeli założymy niepustość
\(\displaystyle{ Y}\) to już będzie prawdziwe, ale wtedy Twój dowód wygląda przynajmniej dziwnie. Przecież to jest twierdzenie egzystencjalne i wystarczy zauważyć, że
\(\displaystyle{ rng(f)\ne Y \setminus rng(f)}\), czyli dla
\(\displaystyle{ B=rng(f)}\) równość nie zachodzi i koniec.
Poza tym i tak są usterki:
smo pisze: ↑17 kwie 2021, o 19:09
Zakładamy, że dla dowolnego zbioru
\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość
\(\displaystyle{ B= Y\setminus rng\left( f\right) }\). Wówczas nie istnieje
\(\displaystyle{ y \in B}\)
I znów - co to jest
\(\displaystyle{ B}\)? W poprzednim zdaniu jest tylko założenie mówiące coś o wszystkich podzbiorach
\(\displaystyle{ Y}\), więc żadne
\(\displaystyle{ B}\) się tam nie pojawia... (nawiasem mówiąc, jest to założenie nie wprost, co należałoby napisać).
JK