Przeciwobraz obrazu zbioru

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27864
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 15 kwie 2021, o 22:12

No i teraz jest dobrze.

JK
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 15 kwie 2021, o 22:44

Dziękuję.
Chciałem teraz zapytać o dowód równoważności:
"Funkcja \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) jest surjekcją wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B}\).

Dowód implikacji "jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]= B}\)."
Z definicji funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją gdy zachodzi równość \(\displaystyle{ rng\left( f\right) = Y}\). Jednocześnie \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B\cap rng\left( f\right)}\). Czyli w tym wypadku \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]= B\cap Y}\). Skoro \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B}\).

Dowód implikacji "jeżeli zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]= B}\) to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją."
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ y \in B}\), gdzie \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\). Skoro zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B}\) to z def. obrazu zbioru wynika, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]}\). Skoro \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in B}\) oraz \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) to nie istnieje takie \(\displaystyle{ y \in Y}\), że \(\displaystyle{ y\notin rng\left( f\right) }\). Wówczas \(\displaystyle{ Y= rng\left( f\right)}\) co z def. oznacza, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją.

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27864
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 15 kwie 2021, o 23:12

smo pisze:
15 kwie 2021, o 22:44
Dowód implikacji "jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]= B}\)."
Ta implikacja tak nie wygląda. Powinno być "jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to dla dowolnego \(\displaystyle{ \red{B \subseteq Y}}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]= B}\)."
smo pisze:
15 kwie 2021, o 22:44
Z definicji funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją gdy zachodzi równość \(\displaystyle{ rng\left( f\right) = Y}\). Jednocześnie \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B\cap rng\left( f\right)}\). Czyli w tym wypadku \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]= B\cap Y}\). Skoro \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B}\).
Byłoby dobrze, gdyby na początku ustalić dowolne \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\). Bez tego nie wiadomo, co to jest \(\displaystyle{ B}\).
smo pisze:
15 kwie 2021, o 22:44
Dowód implikacji "jeżeli zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]= B}\) to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją."
Ta implikacja tak nie wygląda. Powinno być "jeżeli dla dowolnego \(\displaystyle{ \red{B \subseteq Y}}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]= B}\) to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją."
smo pisze:
15 kwie 2021, o 22:44
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ y \in B}\), gdzie \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\).
Ale co to jest \(\displaystyle{ B}\)?!
smo pisze:
15 kwie 2021, o 22:44
Skoro zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B}\) to z def. obrazu zbioru wynika, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]}\). Skoro \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in B}\) oraz \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) to nie istnieje takie \(\displaystyle{ y \in Y}\), że \(\displaystyle{ y\notin rng\left( f\right) }\). Wówczas \(\displaystyle{ Y= rng\left( f\right)}\) co z def. oznacza, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją.
A to jest do niczego.

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 16 kwie 2021, o 06:47

Dowód implikacji "jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =B}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\)."
Z def. funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją gdy zachodzi równość \(\displaystyle{ rng\left( f\right) =Y}\). Jednocześnie \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B\cap rng\left( f\right) }\). Czyli w tym wypadku \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B\cap Y}\) a skoro \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =B}\).

Dowód implikacji "jeżeli dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B}\) to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją."
Skoro \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B}\) to \(\displaystyle{ B \subseteq rng\left( f\right)}\). Wtedy \(\displaystyle{ B= Y\backslash rng\left( f\right) }\) jest zbiorem pustym a więc \(\displaystyle{ Y= rng\left( f\right) }\) co z def. oznacza, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją.

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27864
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 16 kwie 2021, o 10:34

smo pisze:
16 kwie 2021, o 06:47
Dowód implikacji "jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =B}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\)."
Z def. funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją gdy zachodzi równość \(\displaystyle{ rng\left( f\right) =Y}\). Jednocześnie \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B\cap rng\left( f\right) }\). Czyli w tym wypadku \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B\cap Y}\) a skoro \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =B}\).
Dobrze, ale ponieważ każdego aktora należy zapowiedzieć, więc dowód powinien zacząć się od "Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\).".
smo pisze:
16 kwie 2021, o 06:47
Dowód implikacji "jeżeli dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B}\) to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją."
Skoro \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B}\) to \(\displaystyle{ B \subseteq rng\left( f\right)}\). Wtedy \(\displaystyle{ B= Y\backslash rng\left( f\right) }\) jest zbiorem pustym a więc \(\displaystyle{ Y= rng\left( f\right) }\) co z def. oznacza, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją.
Co to jest \(\displaystyle{ B}\)? Dowolny podzbiór \(\displaystyle{ Y}\)? Jakiś konkretny podzbiór \(\displaystyle{ Y}\)? Oczywiście mogę domyślać się, co chcesz zrobić, ale w tej wersji to jest dalej do niczego.

A powinno to być napisane tak:

Korzystając z założenia dla \(\displaystyle{ B=Y}\) mamy \(\displaystyle{ Y=f\left[ f^{-1}\left[ Y\right]\right]=f[X]=rng\, f}\), zatem funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją.

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 16 kwie 2021, o 11:47

Czy jeżeli dowód drugiej implikacji zacząłbym od "ustalmy dowolne \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) to mój dowód jest poprawny?
Bo faktycznie jeśli \(\displaystyle{ B= Y\backslash rng\left( f\right) }\) jest zbiorem pustym to wtedy \(\displaystyle{ Y= rng\left( f\right) }\) czyli funkcja jest surjekcją.

Nie rozumiem na jakiej podstawie można w tej sytuacji założyć, że \(\displaystyle{ B=Y}\).
Bardzo proszę o wytłumaczenie.

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27864
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 16 kwie 2021, o 14:38

smo pisze:
16 kwie 2021, o 11:47
Czy jeżeli dowód drugiej implikacji zacząłbym od "ustalmy dowolne \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) to mój dowód jest poprawny?
Bo faktycznie jeśli \(\displaystyle{ B= Y\backslash rng\left( f\right) }\) jest zbiorem pustym to wtedy \(\displaystyle{ Y= rng\left( f\right) }\) czyli funkcja jest surjekcją.
Wtedy będzie bardzo niepoprawny, bo wtedy stwierdzisz, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi \(\displaystyle{ B= Y \setminus rng\left( f\right) }\), co jest bardzo nieprawdziwe. Zauważ, że robisz dokładnie to, co ja napisałem (zauważasz, że \(\displaystyle{ Y \subseteq rng(f)}\)), ale nie potrafisz tego poprawnie sformułować.
smo pisze:
16 kwie 2021, o 11:47
Nie rozumiem na jakiej podstawie można w tej sytuacji założyć, że \(\displaystyle{ B=Y}\).
To nie jest założenie, to jest wniosek z założenia.

Założenie w tym przypadku mówi, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[f^{-1} \left[B \right] \right]=B }\). Dla dowolnego, zatem w szczególności dla \(\displaystyle{ B=Y}\) - korzystam z założenia tylko w tym jednym szczególnym przypadku.

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 16 kwie 2021, o 21:47

Dziękuję.
Faktycznie wystarczyło zauważyć, że przy dowolnym \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) może zachodzić równość \(\displaystyle{ B= Y}\). Bo skoro prawdą jest, że \(\displaystyle{ B=Y}\) to prawdą jest, że \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\). Jednocześnie w dowodzeniu drugiej implikacji błędnie założyłem, że równość \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\) zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\).
Spróbowałem sobie również udowodnić, że tak nie jest (proszę o sprawdzenie):

Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) oraz dowolne \(\displaystyle{ y \in B}\). Jeżeli \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ x \in X}\) to wtedy \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in rng\left( f\right) }\). Wówczas \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)\notin Y \setminus rng\left( f\right) }\) a więc równość \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\) nie zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\).

Rozumiem, że wtedy zachodzi równość \(\displaystyle{ Y \setminus rng\left( f\right) = B \setminus f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] }\) ?

DS
Ostatnio zmieniony 16 kwie 2021, o 22:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: \setminus.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27864
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 16 kwie 2021, o 22:33

smo pisze:
16 kwie 2021, o 21:47
Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) oraz dowolne \(\displaystyle{ y \in B}\). Jeżeli \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ x \in X}\) to wtedy \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in rng\left( f\right) }\). Wówczas \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)\notin Y \setminus rng\left( f\right) }\) a więc równość \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\) nie zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\).
Źle. Jeżeli chcesz pokazać, że "tak nie jest" to znaczy, że chcesz zfalsyfikować twierdzenie (czyli dowieść prawdziwości jego negacji) ogólne "Dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) mamy \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng(f)}\)". A negacja twierdzenia ogólnego to twierdzenie szczegółowe: "Istnieje \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) takie, że \(\displaystyle{ B\ne Y \setminus rng(f)}\)" (kłaniają się prawa de Morgana dla kwantyfikatorów), podczas gdy Ty starasz się udowodnić (dużo silniejsze) twierdzenie ogólne "Dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) mamy \(\displaystyle{ B\ne Y \setminus rng(f)}\)", które jest nieprawdziwe (\(\displaystyle{ B=\emptyset}\) jest kontrprzykładem), poza tym sam dowód jest zupełnie "od czapy", gdyż nie wiadomo, co tak naprawdę robisz (i na jakiej podstawie).
smo pisze:
16 kwie 2021, o 21:47
Rozumiem, że wtedy zachodzi równość \(\displaystyle{ Y \setminus rng\left( f\right) = B \setminus f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] }\) ?
"Wtedy" czyli kiedy?

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 17 kwie 2021, o 19:09

To może w ten sposób:
Zakładamy, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ B= Y \setminus rng\left( f\right) }\). Wówczas nie istnieje \(\displaystyle{ y \in B}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in rng\left( f\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in X}\). Skoro jednak dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ B}\) zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) wtedy istnieje zbiór \(\displaystyle{ B}\) taki, że \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) \neq \emptyset }\). Jest to równoznaczne z tym, że istnieje \(\displaystyle{ y \in B}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in rng\left( f\right) }\). Zatem dochodzimy do sprzeczności. Tak więc równość \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) nie zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\).

DS
Ostatnio zmieniony 17 kwie 2021, o 22:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Różnica zbiorów to \setminus.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27864
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 17 kwie 2021, o 20:23

smo pisze:
17 kwie 2021, o 19:09
To może w ten sposób:
Zakładamy, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ B= Y\backslash rng\left( f\right) }\). Wówczas nie istnieje \(\displaystyle{ y \in B}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in rng\left( f\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in X}\). Skoro jednak dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ B}\) zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) wtedy istnieje zbiór \(\displaystyle{ B}\) taki, że \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) \neq \emptyset }\). Jest to równoznaczne z tym, że istnieje \(\displaystyle{ y \in B}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in rng\left( f\right) }\). Zatem dochodzimy do sprzeczności. Tak więc równość \(\displaystyle{ B=Y\backslash rng\left( f\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) nie zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\).
A mógłbyś napisać, czego to miałby być dowód? Ale porządnie i dokładnie.

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 17 kwie 2021, o 21:08

Chciałem udowodnić, że nie dla każdego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ B=Y\backslash rng\left( f\right) }\).


DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27864
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 17 kwie 2021, o 21:32

To nie jest pełne sformułowanie twierdzenia. Co to jest \(\displaystyle{ f}\)? Co jest założeniem?

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 17 kwie 2021, o 21:56

To może tak:

Jeśli \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) jest funkcją, to nie dla każdego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\).

W tym wypadku założeniem jest, że relacja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją.

DS
Ostatnio zmieniony 17 kwie 2021, o 22:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Różnica zbiorów to \setminus.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27864
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 17 kwie 2021, o 22:42

smo pisze:
17 kwie 2021, o 21:56
Jeśli \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) jest funkcją, to nie dla każdego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ B=Y\setminus rng\left( f\right) }\).

W tym wypadku założeniem jest, że relacja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją.
No w tej ogólności twierdzenie nie jest prawdziwe, nie zachodzi dla \(\displaystyle{ X=Y=f=\emptyset}\). Jeżeli założymy niepustość \(\displaystyle{ Y}\) to już będzie prawdziwe, ale wtedy Twój dowód wygląda przynajmniej dziwnie. Przecież to jest twierdzenie egzystencjalne i wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ rng(f)\ne Y \setminus rng(f)}\), czyli dla \(\displaystyle{ B=rng(f)}\) równość nie zachodzi i koniec.

Poza tym i tak są usterki:
smo pisze:
17 kwie 2021, o 19:09
Zakładamy, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ B= Y\setminus rng\left( f\right) }\). Wówczas nie istnieje \(\displaystyle{ y \in B}\)
I znów - co to jest \(\displaystyle{ B}\)? W poprzednim zdaniu jest tylko założenie mówiące coś o wszystkich podzbiorach \(\displaystyle{ Y}\), więc żadne \(\displaystyle{ B}\) się tam nie pojawia... (nawiasem mówiąc, jest to założenie nie wprost, co należałoby napisać).

JK

ODPOWIEDZ