Przeciwobraz obrazu zbioru

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19414
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: a4karo » 17 kwie 2021, o 22:48

To jest jakiś bełkot. Równość `B=Y\setminus rng(f)` zachodzi tylko dla jednego B. Zgadnij jakiego?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27864
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 17 kwie 2021, o 23:20

a4karo pisze:
17 kwie 2021, o 22:48
To jest jakiś bełkot. Równość `B=Y\setminus rng(f)` zachodzi tylko dla jednego B. Zgadnij jakiego?
To nie jest bełkot, nie śledzisz, to nie wiesz.

smo w dojrzałym wieku zaczął na własną rękę czytać podręcznik do teorii mnogości i pojawiają mu się w związku z tym różne pytania. Podczas własnych prób przeprowadzania różnych dowodów jako produkt uboczny pojawiają mu się różne wątpliwości, które - choć obiektywnie z matematycznego punktu widzenia mogą nie mieć wiele sensu - są w jakiś sposób naturalne, a odpowiedź na nie pozwala mu lepiej zrozumieć dane pojęcie. To nie jest sytuacja niedouczonego studenta, który nie uważał na wykładach.

JK

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19414
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: a4karo » 18 kwie 2021, o 07:29

Przesadziłem, przepraszam za to sformułowanie.
Niemniej jednak rozważanie ile jest zbiorów `B` spełniających zadany warunek wydaje się dziwne.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27864
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 18 kwie 2021, o 11:22

Oczywiście, nam wydaje się dziwne, bo dobrze to rozumiemy. Ale jeżeli ktoś jednak zadał to pytanie, to warto się nad nim zatrzymać - jeżeli pytający też zrozumie, że to dziwne pytanie, to już będzie zysk.

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 18 kwie 2021, o 15:42

No jasne. Innymi słowy chodzi o taki podzbiór zbioru \(\displaystyle{ Y}\), który spełnia równość \(\displaystyle{ Y \setminus rng\left( f\right) \cap rng\left( f\right) =\emptyset}\). I tym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ Y}\) jest właśnie zbiór \(\displaystyle{ Y \setminus rng\left( f\right)}\). W moim wypadku \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right)}\). I faktycznie dla danej funkcji \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest dokładnie jeden taki zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\), który spełnia tą równość.
Rozumiem teraz, że dla Was są to "tajniki rzeczy oczywistych". Jednak z matematyką nie miałem do czynienia jakieś 20 lat. W liceum chodziłem do klasy o profilu ścisłym i po maturze studiowałem przez rok na Wydziale Chemii UJ na przełomie 2001/2002 ale później poszedłem na studia zupełnie nie związane z naukami ścisłymi. Podczas studiów na chemii poznałem całki i równania różniczkowe i bardzo mi się ten temat spodobał. Nawet byłem w tym niezły. Ale tak duża przerwa sprawiła, że moje myślenie abstrakcyjne zapewne wymaga treningu. Teraz postanowiłem do tego wrócić i zaczynam od teorii mnogości. W związku z tym to forum chciałbym traktować niemalże jak zajęcia na studiach bo obecnie nie ma nikogo w moim otoczeniu kto zna matematykę wyższą. A, że potrzebuję skonfrontować wszelkie wątpliwości i spostrzeżenia z kimś z zewnątrz to pomyślałem, ze znajdę odpowiednie ku temu forum. Z góry zatem dziękuję za wszelkie uwagi oraz za cierpliwość.

DS
Ostatnio zmieniony 18 kwie 2021, o 17:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Różnica zbiorów to \setminus.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27864
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 18 kwie 2021, o 17:24

smo pisze:
18 kwie 2021, o 15:42
Innymi słowy chodzi o taki podzbiór zbioru \(\displaystyle{ Y}\), który spełnia równość \(\displaystyle{ Y \setminus rng\left( f\right) \cap rng\left( f\right) =\emptyset}\).
Ten zapis jest niedobry, bo niejednoznaczny. Trzeba użyć nawiasów: \(\displaystyle{ \red{(}Y \setminus rng\left( f\right)\red{)} \cap rng\left( f\right) =\emptyset.}\) Poza tym sformułowanie zdania jest niewłaściwe: chodzi Ci o taki podzbiór \(\displaystyle{ B}\) zbioru \(\displaystyle{ Y}\), który spełnia równanie \(\displaystyle{ B \cap rng\left( f\right) =\emptyset}\).
smo pisze:
18 kwie 2021, o 15:42
I tym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ Y}\) jest właśnie zbiór \(\displaystyle{ Y \setminus rng\left( f\right)}\). W moim wypadku \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right)}\). I faktycznie dla danej funkcji \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest dokładnie jeden taki zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\), który spełnia tą równość.
Jest oczywiście dokładnie jeden podzbiór \(\displaystyle{ B}\) zbioru \(\displaystyle{ Y}\), który spełnia równość \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right)}\), natomiast może być więcej podzbiorów \(\displaystyle{ B}\) zbioru \(\displaystyle{ Y}\), które spełniają równanie \(\displaystyle{ B \cap rng\left( f\right) =\emptyset}\) - wszystkie podzbiory zbioru \(\displaystyle{ Y \setminus rng\left( f\right)}\) mają tę własność (jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest surjekcją, to jest ich więcej niż jeden).

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 19 kwie 2021, o 22:20

Tak, zdecydowanie chodziło mi o równość \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right)=\emptyset}\). Dziękuję.
Czyli podsumowując
1. Gdy funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją to wtedy dla każdego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) = f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =B}\). Nie istnieje w związku z tym taki zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\), który spełniałby równość \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) =\emptyset}\), a więc jednocześnie nie istnieje wówczas taki zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) dla którego zachodzi równość \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right)}\), ponieważ zbiór \(\displaystyle{ Y\setminus rng\left( f\right)}\) jest wówczas zbiorem pustym.

2. Gdy funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) nie jest surjekcją to istnieje co najmniej jeden zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) dla którego zachodzi równość \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right)=B=f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]}\). Istnieje dokładnie jeden zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) dla którego zachodzi równość \(\displaystyle{ B=Y\setminus rng\left( f\right)}\) oraz istnieje co najmniej jeden zbiór (poza zbiorem \(\displaystyle{ Y\setminus rng\left( f\right)}\)) \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) dla którego spełniona jest równość \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right)=\emptyset}\).



Dodano po 1 godzinie 13 minutach 23 sekundach:
Choć co w przypadku gdy zbiór \(\displaystyle{ Y\setminus rng\left( f\right)}\) jest zbiorem jednoelementowym?
Wówczas nie ma innego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) dla którego \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) = \emptyset}\).

A no tak, przecież funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest wtedy surjektywna. Czyli nie ma takiego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\), że \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) =\emptyset}\)



Dodano po 16 minutach 2 sekundach:
W następnym poście zapytam też co w przypadku funkcji pustej.

DS
Ostatnio zmieniony 20 kwie 2021, o 00:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Różnica zbiorów to \setminus.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27864
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 20 kwie 2021, o 00:29

smo pisze:
19 kwie 2021, o 23:49

1. Gdy funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest surjekcją to wtedy dla każdego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) = f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =B}\).
Tak, przy czym pierwsza równość zachodzi dla dowolnej funkcji, niekoniecznie surjekcji.
smo pisze:
19 kwie 2021, o 23:49
Nie istnieje w związku z tym taki zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\), który spełniałby równość \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) =\emptyset}\), a więc jednocześnie nie istnieje wówczas taki zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) dla którego zachodzi równość \(\displaystyle{ B=Y\backslash rng\left( f\right)}\), ponieważ zbiór \(\displaystyle{ Y\backslash rng\left( f\right)}\) jest wówczas zbiorem pustym.
Istnieje: \(\displaystyle{ B=\emptyset}\). Nie istnieje niepusty zbiór o tej własności.
smo pisze:
19 kwie 2021, o 23:49
2. Gdy funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) nie jest surjekcją to istnieje co najmniej jeden zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) dla którego zachodzi równość \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right)=B=f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]}\).
Możemy dokładnie powiedzieć, które zbiory \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) będą spełniały tę równość - tę własność mają wszystkie podzbiory zbioru \(\displaystyle{ rng(f)}\) (i tylko one).
smo pisze:
19 kwie 2021, o 23:49
Istnieje dokładnie jeden zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) dla którego zachodzi równość \(\displaystyle{ B=Y\backslash rng\left( f\right)}\)
To jest stwierdzenie tautologiczne.
smo pisze:
19 kwie 2021, o 23:49
oraz istnieje co najmniej jeden zbiór (poza zbiorem \(\displaystyle{ Y\backslash rng\left( f\right)}\)) \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) dla którego spełniona jest równość \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right)=\emptyset}\).
I tu też możemy podać dokładny opis zbiorów \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) spełniających tę równość.
smo pisze:
19 kwie 2021, o 23:49
Dodano po 1 godzinie 13 minutach 23 sekundach:
Choć co w przypadku gdy zbiór \(\displaystyle{ Y\backslash rng\left( f\right)}\) jest zbiorem jednoelementowym?
Wówczas nie ma innego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) dla którego \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) = \emptyset}\).

A no tak, przecież funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest wtedy surjektywna. Czyli nie ma takiego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\), że \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) =\emptyset}\)
Nieprawda. Jeżeli zbiór \(\displaystyle{ Y\setminus rng\left( f\right)}\) jest zbiorem jednoelementowym, to funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest surjekcją i istnieją dokładnie dwa zbiory \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\), dla których \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) = \emptyset}\): \(\displaystyle{ B=Y\setminus rng\left( f\right)}\) i \(\displaystyle{ B=\emptyset}\).

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 21 kwie 2021, o 17:08

Dziękuję za wszystkie sprostowania.
Ponieważ chciałbym nauczyć się prawidłowego formułowania treści dowodów matematycznych wrócę raz jeszcze do dowodu, że nie dla każdego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) spełniona jest równość \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\).
Chciałbym zastosować w tym wypadku dowód nie wprost.

Jeżeli \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) to nie dla każdego podzbioru zbioru \(\displaystyle{ Y}\) zachodzi równość: \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\).
Dowód:
Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\): \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\). Jeżeli równość ta zachodzi dla dowolnego podzbioru zbioru \(\displaystyle{ Y}\) to również dla \(\displaystyle{ B=rng\left( f\right) }\). Wówczas \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =B\cap rng\left( f\right)=rng\left( f\right) }\). Dochodzimy do sprzeczności, ponieważ \(\displaystyle{ rng\left( f\right) \neq Y \setminus rng\left( f\right) }\). Czyli równość \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\) nie zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\).
Ostatnio zmieniony 21 kwie 2021, o 18:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Różnica zbiorów to \setminus.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27864
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 21 kwie 2021, o 18:15

smo pisze:
21 kwie 2021, o 17:08
Jeżeli \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) to nie dla każdego podzbioru zbioru \(\displaystyle{ Y}\) zachodzi równość: \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\).
To sformułowanie nie bardzo ma sens. Poza tym w tej wersji jest nieprawdziwe. Powinno być:

Niech \(\displaystyle{ X\ne\emptyset}\) i niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Wtedy nie dla każdego podzbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość: \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\).

Dowodzenie tego twierdzenia nie wprost jest, delikatnie rzecz biorą, bardzo dziwne. Żaden matematyk by tego tak nie robił, bo to jest twierdzenie egzystencjalne i wystarczy wskazać przykład.
smo pisze:
21 kwie 2021, o 17:08
Dowód:
Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\): \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\).
Jak chcesz nie wprost, to powinieneś napisać "Załóżmy nie wprost, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\)".
smo pisze:
21 kwie 2021, o 17:08
Jeżeli równość ta zachodzi dla dowolnego podzbioru zbioru \(\displaystyle{ Y}\) to również dla \(\displaystyle{ B=rng\left( f\right) }\). Wówczas \(\displaystyle{ \red{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =B\cap rng\left( f\right)=rng\left( f\right) }}\). Dochodzimy do sprzeczności, ponieważ \(\displaystyle{ rng\left( f\right) \neq Y \setminus rng\left( f\right) }\). Czyli równość \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\) nie zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\).
Poprawnie, ale daleko niepotrzebnie. Czerwony fragment jest zupełnie zbędny i nic nie wnosi do dowodu. Podobnie zresztą jak dowód nie wprost jest zupełnie zbędny. Wystarczyło napisać, że

Twierdzenie jest prawdziwe bo dla \(\displaystyle{ B=rng(f)}\) równość \(\displaystyle{ B=Y \setminus rng\left( f\right) }\) nie zachodzi.

I to jest cały dowód.

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 22 kwie 2021, o 20:49

Dziękuję.
Teraz chciałbym udowodnić inkluzję: "dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ A \subseteq f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\), gdzie \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest dowolną funkcją oraz \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] =\left\{ x \in dom\left( f\right): f\left( x\right) \in f\left[ A\right] \right\} }\) jest przeciwobrazem zbioru \(\displaystyle{ f\left[ A\right]}\) poprzez funkcję \(\displaystyle{ f}\).

Dowód:
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x \in A}\). Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\). Skoro tak to z def. przeciwobrazu zbioru mamy, że \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\). Zatem zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ A \subseteq f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\) dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\).

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27864
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 22 kwie 2021, o 21:26

Dobrze.

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 24 kwie 2021, o 21:22

Dziękuję.
Teraz chciałbym udowodnić równoważność: "Funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\)."
Dowód:
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ A \subseteq X}\), \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\), \(\displaystyle{ t \in A}\) oraz, że funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją.
Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru mamy, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\). Skoro funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to istnieje takie \(\displaystyle{ t \in A}\), że \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\). Wówczas \(\displaystyle{ x=t}\), a więc \(\displaystyle{ x \in A}\). W związku z tym zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] \subseteq A}\). Ponieważ inkluzja przeciwna jest zawsze prawdziwa to zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\).

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27864
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 24 kwie 2021, o 21:46

Nieźle, ale...
smo pisze:
24 kwie 2021, o 21:22
Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru mamy, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\). Skoro funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to istnieje takie \(\displaystyle{ t \in A}\), że \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\). Wówczas \(\displaystyle{ x=t}\), a więc \(\displaystyle{ x \in A}\).
Intencja dobra, ale sformułowanie nie - co ma istnienie \(\displaystyle{ t}\) do tego, że \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją? Nic. Powinno być

"Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru mamy, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\). Z definicji obrazu zbioru wiemy, że istnieje takie \(\displaystyle{ t \in A}\), że \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\). Skoro funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją, to \(\displaystyle{ x=t}\), a więc \(\displaystyle{ x \in A}\). "

Reszta jest OK, ale to tylko jedno wynikanie, a chciałeś dowieść równoważność. Wskazówka - drugie wynikanie łatwo dowieść nie wprost.

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 25 kwie 2021, o 20:18

Bardzo dziękuję.
Czy ten sam dowód można sformułować również w taki sposób?

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ A \subseteq X}\), \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\), \(\displaystyle{ t \in A}\) oraz, że funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją.
Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru wynika, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\). Skoro tak to z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje takie \(\displaystyle{ t \in A}\) dla którego \(\displaystyle{ f\left( t\right) \in f\left[ A\right] }\). Wówczas skoro funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to spełniony jest warunek: jeżeli \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\) to \(\displaystyle{ x=t}\), a więc \(\displaystyle{ x \in A}\). Zatem zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] \subseteq A}\) dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\).


Przedstawiam też dowód nie wprost implikacji przeciwnej:
Jeżeli zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) to funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\).
Dowód:

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ A \subseteq X}\), \(\displaystyle{ x \in A}\), \(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\) dla których zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) oraz, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją. Wówczas istnieją \(\displaystyle{ x,t \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ x \neq t}\) i dla których \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\). Skoro jednak zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) to zbiór \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]\backslash A}\) jest zbiorem pustym. A więc dla \(\displaystyle{ A=\left\{ x\right\} }\), \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] =\left\{ t\right\} }\) mamy, że \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]\backslash A =\left\{ t\right\}\backslash \left\{ x\right\}=\emptyset}\). Wówczas zachodzi równość \(\displaystyle{ x=t}\). Zatem mamy spełniony warunek: jeżeli \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\) to \(\displaystyle{ x=t}\). Tak więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.

DS

ODPOWIEDZ