Przeciwobraz obrazu zbioru

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 7 kwie 2021, o 21:01

Chciałem zapytać o przeciwobraz obrazu zbioru oraz o obraz przeciwobrazu zbioru(nie wiem czy taka terminologia faktycznie istnieje) poprzez funkcję \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y }\) gdzie \(\displaystyle{ X=dom\left( f\right), rng\left( f\right)\subseteq Y}\) oraz mamy zbiory \(\displaystyle{ A\subseteq X}\) i \(\displaystyle{ B\subseteq Y}\)
Chciałem zapytać czy prawidłowo są zdefiniowane zbiory:
\(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] =\left\{ x \in dom\left( f\right): f\left( x\right) \in f\left[ A\right] \right\} =\left\{ x \in A: f\left( x\right) \in rng\left( f\right) \right\}}\)
oraz
\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =\left\{ f\left( x\right) \in rng\left( f\right): x \in f^{-1}\left[ B\right] \right\} = \left\{ f\left( x\right) \in rng\left( f\right)\cap B: x \in dom\left( f\right) \right\}}\)

DS
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27917
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 7 kwie 2021, o 21:21

smo pisze:
7 kwie 2021, o 21:01
\(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] =\left\{ x \in dom\left( f\right): f\left( x\right) \in f\left[ A\right] \right\}\red{ =\left\{ x \in A: f\left( x\right) \in rng\left( f\right) \right\}}}\)
Pierwsza równość jest prawdziwa, bo to definicja przeciwobrazu zbioru przez funkcję, natomiast czerwony fragment jest już nieprawdziwy. Zauważ, że warunek \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in rng\left( f\right)}\) jest (trywialnie) zawsze spełniony, zatem \(\displaystyle{ \left\{ x \in A: f\left( x\right) \in rng\left( f\right) \right\}=A}\), a równość \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] =A}\) w ogólności nie zachodzi.
smo pisze:
7 kwie 2021, o 21:01
\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =\left\{ f\left( x\right) \in rng\left( f\right): x \in f^{-1}\left[ B\right] \right\} = \left\{ f\left( x\right) \in rng\left( f\right)\cap B: x \in dom\left( f\right) \right\}}\)
Oba opisy zbiorów: \(\displaystyle{ \left\{ f\left( x\right) \in rng\left( f\right): x \in f^{-1}\left[ B\right] \right\}}\) i \(\displaystyle{ \left\{ f\left( x\right) \in rng\left( f\right)\cap B: x \in dom\left( f\right) \right\}}\), są formalnie niepoprawne.

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 7 kwie 2021, o 22:02

Dziękuję.
Czyli należałoby napisać:
\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = \left\{ f\left( x\right) \in B: x \in dom\left( f\right) \right\}}\)

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27917
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 7 kwie 2021, o 22:15

smo pisze:
7 kwie 2021, o 22:02
Czyli należałoby napisać:
\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = \left\{ f\left( x\right) \in B: x \in dom\left( f\right) \right\}}\)
Nie, ten zapis jest tak samo niepoprawny.

Przede wszystkim tego zbioru nie definiujesz, możesz go opisać korzystając z definicji obrazu i przeciwobrazu zbioru przez funkcję, np. tak:

\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =\left\{ f(x):x\in f^{-1}\left[ B\right]\right\}= }\)

ale dalej to już nie wygląda tak ładnie:

\(\displaystyle{ =\left\{ f(x):x\in \{t\in X:f(t)\in B\}\right\}.}\)

Inna wersja to

\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =\left\{ y\in Y:(\exists x\in X)(x\in f^{-1}\left[ B\right]\land y=f(x)\right\} =\left\{ y\in Y:(\exists x\in X)(f(x)\in B\land y=f(x)\right\}.}\)

Oczywiście pozostaje pytanie, po co Ci te opisy.

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 8 kwie 2021, o 22:12

Bardzo dziękuję za obie wersje.
DS

Dodano po 22 godzinach 40 minutach 4 sekundach:
Chciałem jeszcze zapytać o równość: \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1} \left[ B\right] \right] =B\cap rng\left( f\right) }\)
Bo skoro \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =\left\{ y \in Y: istnieje \ takie \ x \in X, że \ f\left( x\right) \in B \ oraz \ y=f\left( x\right) \right\} }\) to koniunkcję \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in B \wedge y=f\left( x\right)}\) można zastąpić wyrażeniem \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in B\cap rng\left( f\right)}\)
Czyli rozumiem, że zbiór będący obrazem przeciwobrazu zbioru \(\displaystyle{ B}\) można opisać w następujący sposób:
\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = \left\{ y \in Y: istnieje \ takie \ x \in X,\ że \ f\left( x\right) \in B\cap rng\left( f\right) \right\}}\)
czyli \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B\cap rng\left( f\right)}\)
Czy to rozumowanie można uznać za dowód tej równości?

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27917
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 9 kwie 2021, o 23:24

smo pisze:
9 kwie 2021, o 20:52
Chciałem jeszcze zapytać o równość: \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1} \left[ B\right] \right] =B\cap rng\left( f\right) }\)
Bo skoro \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] =\left\{ y \in Y: istnieje \ takie \ x \in X, że \ f\left( x\right) \in B \ oraz \ y=f\left( x\right) \right\} }\) to koniunkcję \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in B \wedge y=f\left( x\right)}\) można zastąpić wyrażeniem \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in B\cap rng\left( f\right)}\)
Nie można "zastąpić". Na jakiej podstawie?
smo pisze:
9 kwie 2021, o 20:52
Czyli rozumiem, że zbiór będący obrazem przeciwobrazu zbioru \(\displaystyle{ B}\) można opisać w następujący sposób:
\(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = \left\{ y \in Y: istnieje \ takie \ x \in X,\ że \ f\left( x\right) \in B\cap rng\left( f\right) \right\}}\)
Nie można. Ten opis nie ma sensu: bierzesz zbiór igreków, a potem formułujesz warunek, który nie zależy od \(\displaystyle{ y}\) (a powinien) - jest po prostu zdaniem (dla ustalonego \(\displaystyle{ B}\)). Formalnie rzecz biorąc zbiór \(\displaystyle{ \left\{ y \in Y: (\exists x \in X) f\left( x\right) \in B\cap rng\left( f\right) \right\}}\) to albo całe \(\displaystyle{ Y}\) (gdy warunek jest prawdziwy), albo zbiór pusty (gdy warunek jest fałszywy).
smo pisze:
9 kwie 2021, o 20:52
czyli \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B\cap rng\left( f\right)}\)
Czy to rozumowanie można uznać za dowód tej równości?
Nie można. Równość jest prawdziwa, ale dowód jest bardziej wymagający.

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 11 kwie 2021, o 22:08

W takim razie spróbuję:

Dla każdego \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in B}\) mamy \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in B\cap rng\left( f\right)}\) Jednocześnie jeżeli \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in B}\) to \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]}\) czyli dla każdego \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in B\cap rng\left( f\right)}\) mamy \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]}\) Zatem wszystkie \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) należące do zbioru \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right)}\) należą do zbioru, który jest obrazem zbioru \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right]}\) czyli do zbioru \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]}\) Mamy zatem inkluzję: \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) \subseteq f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] }\)
Inkluzję przeciwną można udowodnić w następujący sposób:
dla każdego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) mamy \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq B}\) jednocześnie \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq rng\left( f\right) }\) czyli \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq B\cap rng\left( f\right)}\). Skoro \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) \subseteq f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]}\) oraz \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq B\cap rng\left( f\right) }\) to \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]=B\cap rng\left( f\right)}\) co kończy dowód.

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27917
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 11 kwie 2021, o 22:25

smo pisze:
11 kwie 2021, o 22:08
Dla każdego \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in B}\)
Już początek jest źle - pokazanie inkluzji wymaga ustalenia dowolnego elementu zbioru zawieranego. Powinno być: "Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ y\in B\cap rng(f)}\)". Potem też trzeba uważać, żeby porządnie uzasadniać kolejne przejścia.
smo pisze:
11 kwie 2021, o 22:08
Inkluzję przeciwną można udowodnić w następujący sposób:
dla każdego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) mamy \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq B}\)
A dlaczego "mamy"? To wymaga dowodu.

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 12 kwie 2021, o 21:48

To spróbuję udowodnić inkluzję \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq B }\), gdzie \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\)

Z definicji obrazu zbioru poprzez funkcję \(\displaystyle{ f}\) mamy, że \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]= \left\{ f\left( x\right): x \in f^{-1}\left[ B\right] \right\}}\) Czyli dla dowolnego elementu \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)}\) należącego do zbioru \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] x}\) należy do zbioru \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right]}\). A więc dla dowolnego elementu \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)}\) ze zbioru \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]}\) \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) należy do zbioru \(\displaystyle{ B}\) bo \(\displaystyle{ x}\) należy do \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right] }\) a jeżeli \(\displaystyle{ x}\) należy do zbioru \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right]}\) to \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) należy do \(\displaystyle{ B}\)(to wynika z definicji przeciwobrazu zbioru poprzez funkcję \(\displaystyle{ f}\)). Skoro dla dowolnego elementu \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)}\) ze zbioru \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]}\) spełniony jest warunek: \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in B}\) to dla każdego. W takim razie mamy \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq B}\)

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27917
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 12 kwie 2021, o 22:00

Ideologicznie dowód jest poprawny, ale jeśli chodzi o sformułowanie, to niedomaga. Oficjalnie ten dowód wygląda tak:

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ y\in f\left[ f^{-1}[{}B]\right] }\). Wówczas z def. obrazu zbioru istnieje \(\displaystyle{ x\in f^{-1}[{}B]}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f(x)}\). Ale skoro \(\displaystyle{ x\in f^{-1} [{}B]}\), to z def. przeciwobrazu zbioru mamy \(\displaystyle{ f(x)\in B}\), czyli \(\displaystyle{ y\in B}\), czego należało dowieść.

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 14 kwie 2021, o 20:05

Dziękuję.
To teraz dowód równości \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B\cap rng\left( f\right) }\)

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ y \in B\cap rng\left( f\right)}\). Jeżeli \(\displaystyle{ y \in B}\) oraz \(\displaystyle{ y \in rng\left( f\right)}\) to \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Mamy więc \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in B\cap rng\left( f\right) }\). Skoro tak to \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in B}\). Wtedy \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]}\) co wynika z def. obrazu zbioru. Z tego samego powodu zbiór \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right)}\) jest obrazem zbioru \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right]}\). Czyli w konsekwencji zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) \subseteq f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]}\).

Dowód inkluzji \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq B\cap rng\left( f\right)}\).

Dla każdego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq B}\). Jednocześnie z def. obrazu zbioru wynika inkluzja \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq rng\left( f\right) }\). Skoro \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq B}\) oraz \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq rng\left( f\right)}\) to \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq B\cap rng\left( f\right)}\). Wobec tego, że zachodzą dwie przeciwne inkluzje \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) \subseteq f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]}\) oraz \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq B\cap rng\left( f\right)}\) to \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]= B\cap rng\left( f\right) }\).

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27917
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 14 kwie 2021, o 20:49

smo pisze:
14 kwie 2021, o 20:05
To teraz dowód równości \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] = B\cap rng\left( f\right) }\)

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ y \in B\cap rng\left( f\right)}\). Jeżeli \(\displaystyle{ y \in B}\)
Nie "Jeżeli", tylko "Wtedy" - ja wiem, że to tylko definicja przekroju, ale należy z niej skorzystać.
smo pisze:
14 kwie 2021, o 20:05
oraz \(\displaystyle{ y \in rng\left( f\right)}\) to \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\).
No OK, ale co to jest \(\displaystyle{ x}\)? Stara zasada formułowania dowodów mówi: "każdy aktor pojawiający się na scenie powinien być zapowiedziany". Dlatego powinno być "Skoro \(\displaystyle{ y\in rng(f)}\), to istnieje \(\displaystyle{ x\in X}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\)".
smo pisze:
14 kwie 2021, o 20:05
Mamy więc \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in B\cap rng\left( f\right) }\). Skoro tak to \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in B}\). Wtedy \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]}\) co wynika z def. obrazu zbioru.
Nie obrazu, tylko przeciwobrazu.
smo pisze:
14 kwie 2021, o 20:05
Z tego samego powodu zbiór \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right)}\) jest obrazem zbioru \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right]}\). Czyli w konsekwencji zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) \subseteq f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]}\).
A tego to nie rozumiem. Co to jest "ten sam powód"? Poza tym pokazujesz zawieranie zbiorów, zacząłeś od ustalenia dowolnego \(\displaystyle{ y \in B\cap rng\left( f\right),}\) więc powinieneś zakończyć pokazaniem, że \(\displaystyle{ y\in f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]}\), czego nigdzie nie widzę, bo o \(\displaystyle{ y}\) zapomniałeś w połowie dowodu.
smo pisze:
14 kwie 2021, o 20:05
Dowód inkluzji \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq B\cap rng\left( f\right)}\).

Dla każdego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq B}\). Jednocześnie z def. obrazu zbioru wynika inkluzja \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq rng\left( f\right) }\). Skoro \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq B}\) oraz \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq rng\left( f\right)}\) to \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq B\cap rng\left( f\right)}\). Wobec tego, że zachodzą dwie przeciwne inkluzje \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) \subseteq f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]}\) oraz \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq B\cap rng\left( f\right)}\) to \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]= B\cap rng\left( f\right) }\).
No OK, to już przejdzie, oczywiście wraz z wcześniejszym dowodem inkluzji \(\displaystyle{ f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq B}\).

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 14 kwie 2021, o 22:15

To jeszcze raz:

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ y \in B\cap rng\left( f\right)}\). Wtedy \(\displaystyle{ y \in B}\) i \(\displaystyle{ y \in rng\left( f\right)}\). Skoro \(\displaystyle{ y \in rng\left( f\right)}\) to istnieje \(\displaystyle{ x \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)}\). Mamy więc \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in B\cap rng\left( f\right) }\). Skoro tak to \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in B}\). Wtedy \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]}\) co wynika z def. przeciwobrazu zbioru. Z kolei z def. obrazu zbioru wynika, że zbiór \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right)}\) jest obrazem zbioru \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right]}\). Tak więc \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] }\) czyli zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) \subseteq f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]}\).

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27917
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 14 kwie 2021, o 22:25

smo pisze:
14 kwie 2021, o 22:15
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ y \in B\cap rng\left( f\right)}\). Wtedy \(\displaystyle{ y \in B}\) i \(\displaystyle{ y \in rng\left( f\right)}\). Skoro \(\displaystyle{ y \in rng\left( f\right)}\) to istnieje \(\displaystyle{ x \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)}\).
Dotąd OK.
smo pisze:
14 kwie 2021, o 22:15
Mamy więc \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in B\cap rng\left( f\right) }\).
To jest zbędne powtórzenie.
smo pisze:
14 kwie 2021, o 22:15
Skoro tak to \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in B}\). Wtedy \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]}\) co wynika z def. przeciwobrazu zbioru.
OK.
smo pisze:
14 kwie 2021, o 22:15
Z kolei z def. obrazu zbioru wynika, że zbiór \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right)}\) jest obrazem zbioru \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right]}\).
A co to jest?! I dlaczego miałoby wynikać "z def. obrazu zbioru"?

Jeśli zauważyłeś wcześniej, że \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]}\), to z def. obrazu zbioru wynika, że \(\displaystyle{ f(x) \in f\left[ f^{-1}\left[ B\right]\right] }\) i to właśnie należało napisać.
smo pisze:
14 kwie 2021, o 22:15
Tak więc \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right] }\), czyli zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) \subseteq f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]}\).
W związku z powyższą uwagą ten wniosek jest "od czapy". Po naniesieniu mojej poprawki można tak zakończyć.

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 84
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 15 kwie 2021, o 20:04

Faktycznie na tym etapie dowodzenia nie mogłem napisać, że zbiór \(\displaystyle{ \color{red}{B\cap rng\left( f\right)jest \ obrazem \ zbioru f^{-1}\left[ B\right] }}\) bo tego należało dowieść.
W takim razie raz jeszcze:

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ y \in B\cap rng\left( f\right)}\). Wtedy \(\displaystyle{ y \in B}\) oraz \(\displaystyle{ y \in rng\left( f\right)}\). Skoro \(\displaystyle{ y \in rng\left( f\right)}\) to istnieje \(\displaystyle{ x \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)}\). Skoro tak to \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in B}\). Wtedy \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]}\) co wynika z def. przeciwobrazu zbioru. Natomiast z def. obrazu zbioru mamy, że skoro \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]}\) to \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]}\). Tak więc \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]}\) czyli zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ B\cap rng\left( f\right) \subseteq f\left[ f^{-1}\left[ B\right] \right]}\).

DS

ODPOWIEDZ