Przeciwobraz obrazu zbioru

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27863
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 25 kwie 2021, o 22:21

smo pisze:
25 kwie 2021, o 20:18
Czy ten sam dowód można sformułować również w taki sposób?
Nie można, z kilku powodów.
smo pisze:
25 kwie 2021, o 20:18
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ A \subseteq X}\), \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\), \(\displaystyle{ \red{t \in A}}\) oraz, że funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją.
Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru wynika, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\). Skoro tak to z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje takie \(\displaystyle{ \red{t \in A}}\)
Przedstawiasz dwie sprzeczne informacje: najpierw twierdzisz, że symbol \(\displaystyle{ t}\) oznacza dowolnie ustalony element zbioru \(\displaystyle{ A}\), a chwilę później stwierdzasz, że "istnieje takie \(\displaystyle{ t \in A}\)", czyli używasz "zajętego" już symbolu na oznaczenie czegoś innego.
smo pisze:
25 kwie 2021, o 20:18
dla którego \(\displaystyle{ f\left( t\right) \in f\left[ A\right] }\). Wówczas skoro funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to spełniony jest warunek: jeżeli \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\) to \(\displaystyle{ x=t}\), a więc \(\displaystyle{ \red{x \in A}}\).
Ten czerwony wniosek jest zupełnie "od czapy", bo nie wiemy, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\) - do tej pory stwierdziłeś tylko, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\) oraz \(\displaystyle{ f\left( t\right) \in f\left[ A\right]}\) oraz zacytowałeś definicję injekcji. Żeby móc z tej definicji skorzystać musielibyśmy wiedzieć, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\), a tego, powtarzam, nie wiemy (błąd w rozumowaniu polega na tym, że stwierdzasz istnienie takiego \(\displaystyle{ t\in A,}\) że \(\displaystyle{ f\left( t\right) \in f\left[ A\right] }\) - ten wniosek nie ma żadnego związku z prowadzonym rozumowaniem, w tym miejscu należy skorzystać z def. obrazu zbioru, która zapewnia istnienie takiego \(\displaystyle{ t\in A,}\) że \(\displaystyle{ f(t)=f(x)}\)).
smo pisze:
25 kwie 2021, o 20:18
Przedstawiam też dowód nie wprost implikacji przeciwnej:
Jeżeli zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) to funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\).
Sformułowanie jest fatalne, w matematyce nie mówimy jak Yoda. Powinno być

Jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) i dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\), to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.
smo pisze:
25 kwie 2021, o 20:18
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ A \subseteq X}\), \(\displaystyle{ x \in A}\), \(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\) dla których zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) oraz, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją.
Źle. Pierwsza część jest zbędna, a nawet błędna, bo dalej nie używasz ani dowolnego \(\displaystyle{ A}\), ani dowolnego \(\displaystyle{ x}\), ani dowolnego \(\displaystyle{ t}\). Pierwsze zdanie powinno brzmieć:

Przypuśćmy nie wprost, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją.
smo pisze:
25 kwie 2021, o 20:18
Wówczas istnieją \(\displaystyle{ x,t \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ x \neq t}\) i dla których \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\).
Dobrze.
smo pisze:
25 kwie 2021, o 20:18
Skoro jednak zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) to zbiór \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]\setminus A}\) jest zbiorem pustym.
A to po co? To jest poprawna, ale zbędna obserwacja.
smo pisze:
25 kwie 2021, o 20:18
A więc dla \(\displaystyle{ A=\left\{ x\right\} }\), \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] =\left\{ t\right\} }\) mamy,
To jest źle - nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] =\left\{ t\right\} }\). Nie masz prawa deklarować, jak wygląda zbiór \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) (co zrobiłeś, w dodatku błędnie), Ty masz ten zbiór wyznaczyć (dokładniej: uzasadnić pewną jego własność, bo nie masz szans wyznaczyć go dokładnie).
smo pisze:
25 kwie 2021, o 20:18
że \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]\backslash A =\left\{ t\right\}\backslash \left\{ x\right\}=\emptyset}\). Wówczas zachodzi równość \(\displaystyle{ x=t}\). Zatem mamy spełniony warunek: jeżeli \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\) to \(\displaystyle{ x=t}\). Tak więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.
Końcówka, pomijając fakt, że jest oparta na błędnych przesłankach, zawiera typowy błąd formalny - skoro przeprowadzasz dowód nie wprost, to żeby skutecznie dowieść za jego pomocą prawdziwości tezy, musisz dojść do sprzeczności.

Końcówka powinna wyglądać tak:
Niech \(\displaystyle{ A=\{x\}}\). Wtedy \(\displaystyle{ f[A]=\{f(x)\}}\) i ponieważ \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\), więc \(\displaystyle{ f(t)\in f[A]}\), zatem \(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\). Ale to oznacza, że \(\displaystyle{ A\ne\left[ f\left[ A\right] \right]}\) (bo \(\displaystyle{ x\ne t}\)), co daje sprzeczność z założeniem.

JK
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 26 kwie 2021, o 22:04

To jeszcze raz:

"Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją to dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\)."
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ A \subseteq X}\), \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\) oraz, że funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją. Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru mamy, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\). Z def. obrazu zbioru wiemy, że istnieje takie \(\displaystyle{ t \in A}\), że \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\). Skoro funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to \(\displaystyle{ x=t}\), a więc \(\displaystyle{ x \in A}\). W związku z tym zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] \subseteq A}\). Jednocześnie inkluzja przeciwna jest zawsze prawdziwa, a więc zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\).

Dalej:
"Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) i dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją."
Przypuśćmy nie wprost, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją. Wówczas istnieją \(\displaystyle{ x,t \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ x \neq t}\) i dla których \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\). Niech \(\displaystyle{ A=\left\{ x\right\} }\). Wtedy z def. obrazu zbioru mamy, że \(\displaystyle{ f\left[ A\right] =\left\{ f\left( x\right) \right\} }\). Skoro \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\) to \(\displaystyle{ f\left( t\right) \in f\left[ A\right]}\) a zatem z def. przeciwobrazu zbioru mamy, że \(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\). Ale to oznacza, że \(\displaystyle{ A \neq f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\) (bo \(\displaystyle{ x \neq t}\)) co daje sprzeczność z założeniem.

Chciałem jeszcze zapytać o dowód jednej z własności obrazów i przeciwobrazów:
Dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) zachodzi warunek:
jeżeli \(\displaystyle{ A \subseteq B \subseteq X}\), to \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \subseteq f\left[ B\right]}\).
Dowód:
Ustalmy dowolne zbiory \(\displaystyle{ A \subseteq B \subseteq X}\) oraz, że \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest dowolną funkcją. Jeżeli powyższa inkluzja zachodzi dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ B}\) to również dla \(\displaystyle{ B= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\) (bowiem dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ A \subseteq f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\), gdzie \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) jest przeciwobrazem zbioru \(\displaystyle{ f\left[ A\right]}\), zaś \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest dowolną funkcją). Wówczas \(\displaystyle{ f\left[ B\right] =f\left[ A\right]\cap rng\left( f\right)=f\left[ A\right] }\) (co wynika z def. obrazu oraz przeciwobrazu zbioru). Skoro zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ A\right] =f\left[ B\right] }\) to tym samym zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \subseteq f\left[ B\right]}\).

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27863
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 26 kwie 2021, o 22:22

smo pisze:
26 kwie 2021, o 22:04
"Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją to dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\)."
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ A \subseteq X}\), \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\) oraz, że funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją. Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru mamy, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\). Z def. obrazu zbioru wiemy, że istnieje takie \(\displaystyle{ t \in A}\), że \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\). Skoro funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to \(\displaystyle{ x=t}\), a więc \(\displaystyle{ x \in A}\). W związku z tym zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] \subseteq A}\). Jednocześnie inkluzja przeciwna jest zawsze prawdziwa, a więc zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\).

Dalej:
"Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) i dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją."
Przypuśćmy nie wprost, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją. Wówczas istnieją \(\displaystyle{ x,t \in X}\) takie, że \(\displaystyle{ x \neq t}\) i dla których \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\). Niech \(\displaystyle{ A=\left\{ x\right\} }\). Wtedy z def. obrazu zbioru mamy, że \(\displaystyle{ f\left[ A\right] =\left\{ f\left( x\right) \right\} }\). Skoro \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\) to \(\displaystyle{ f\left( t\right) \in f\left[ A\right]}\) a zatem z def. przeciwobrazu zbioru mamy, że \(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\). Ale to oznacza, że \(\displaystyle{ A \neq f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\) (bo \(\displaystyle{ x \neq t}\)) co daje sprzeczność z założeniem.
OK.
smo pisze:
26 kwie 2021, o 22:04
Dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) zachodzi warunek:
jeżeli \(\displaystyle{ A \subseteq B \subseteq X}\), to \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \subseteq f\left[ B\right]}\).
Dowód:
Ustalmy dowolne zbiory \(\displaystyle{ A \subseteq B \subseteq X}\) oraz, że \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest dowolną funkcją.
W zasadzie najpierw masz funkcję, a dopiero potem podzbiory jej dziedziny, więc ja bym napisał raczej

"Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolne zbiory \(\displaystyle{ A, B \subseteq X}\) takie, że \(\displaystyle{ A \subseteq B}\)."
smo pisze:
26 kwie 2021, o 22:04
Jeżeli powyższa inkluzja zachodzi dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ B}\) to również dla \(\displaystyle{ B= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\)
A to jest już zupełnie źle - typowy błąd dowodowy pod nazwą "dowód twierdzenia ogólnego przez przykład". Skoro zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)dowolne, to nie masz prawa zakładać czegokolwiek dodatkowego o którymkolwiek z nich! Musisz przeprowadzić ogólne (bardzo proste) rozumowanie, korzystające z definicji zawierania i obrazu zbioru przez funkcję.

Twoje rozumowanie nie pokazuje, że dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\) inkluzja \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) pociąga inkluzję \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \subseteq f\left[ B\right]}\), tylko że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A}\) i bardzo konkretnego zbioru \(\displaystyle{ B \supseteq A}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ A\right] =f\left[ B\right]}\).

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 28 kwie 2021, o 17:16

To jeszcze raz:

Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolne zbiory \(\displaystyle{ A,B \subseteq X}\) takie, że \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) oraz dowolne \(\displaystyle{ x \in A}\). Wówczas skoro zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) to z def. dla każdego \(\displaystyle{ x \in A: x \in B}\). Z def. obrazu zbioru wynika wówczas, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\) oraz \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ B\right]}\). Zatem z inkluzji \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) oraz z def. obrazu zbioru mamy, że dla \(\displaystyle{ x \in A: f\left( x\right) \in f\left[ B\right]}\). Mamy wtedy, że jeżeli \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\) to \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ B\right]}\), a więc zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \subseteq f\left[ B\right]}\).


DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27863
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 28 kwie 2021, o 17:24

smo pisze:
28 kwie 2021, o 17:16
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolne zbiory \(\displaystyle{ A,B \subseteq X}\) takie, że \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) oraz dowolne \(\displaystyle{ \red{x \in A}}\).
Twoim celem jest pokazanie, że \(\displaystyle{ f[A] \subseteq f[{}B]}\), więc zabierasz się do tego od niewłaściwej strony. Powinno być:

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ y\in f[A]}\). Wtedy z definicji obrazu zbioru istnieje \(\displaystyle{ x\in A}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f(x).}\) itd.
...
Zatem \(\displaystyle{ y\in f[{}B]}\), co kończy dowód.

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 28 kwie 2021, o 21:25

Dziękuję.

Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolne zbiory \(\displaystyle{ A,B \subseteq X}\) takie, że \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) oraz dowolne \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\right]}\). Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje takie \(\displaystyle{ x \in A}\), że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Skoro zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) to z def. dla każdego \(\displaystyle{ x \in A:x \in B}\). Zatem z def. obrazu zbioru mamy, że dla \(\displaystyle{ x \in A: y=f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\) ale jednocześnie dla \(\displaystyle{ x \in A: y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right] }\). Czyli dla \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]: f\left( x\right) \in f\left[ B\right]}\), a więc zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \subseteq f\left[ B\right]}\).

Przyznam, że nie umiem inaczej sformułować tego dowodu. Mój tok rozumowania jest taki, że skoro \(\displaystyle{ x \in A}\) to z def. obrazu zbioru \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\). Przy jednocześnie zachodzącej inkluzji \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) mamy \(\displaystyle{ x \in B}\). Wówczas z def. obrazu zbioru \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\). W takim razie można stwierdzić, że dla \(\displaystyle{ x \in A: f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\) bo zachodzi powyższa inkluzja. W takim razie mamy implikację jeżeli \(\displaystyle{ x \in A}\) to \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ B\right]}\). Ale jednocześnie skoro \(\displaystyle{ x \in A }\) to \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\) i przy zachodzącej inkluzji \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) implikację "jeżeli \(\displaystyle{ x \in A}\) to \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ B\right]}\)" można sformułować: "jeżeli \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\) to \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ B\right]}\). Czyli na tej podstawie można wnioskować, że zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \subseteq f\left[ B\right]}\).
Przyznam, że tak to w tym momencie rozumiem.

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27863
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 28 kwie 2021, o 22:41

smo pisze:
28 kwie 2021, o 21:25
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolne zbiory \(\displaystyle{ A,B \subseteq X}\) takie, że \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) oraz dowolne \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\right]}\). Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje takie \(\displaystyle{ x \in A}\), że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Skoro zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) to z def. dla każdego \(\displaystyle{ x \in A:x \in B}\). Zatem z def. obrazu zbioru mamy, że dla \(\displaystyle{ x \in A: y=f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\) ale jednocześnie dla \(\displaystyle{ x \in A: y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right] }\). Czyli dla \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]: f\left( x\right) \in f\left[ B\right]}\), a więc zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \subseteq f\left[ B\right]}\).
No jednak nie.
smo pisze:
28 kwie 2021, o 21:25
Przyznam, że nie umiem inaczej sformułować tego dowodu. Mój tok rozumowania jest taki, że skoro \(\displaystyle{ x \in A}\) to z def. obrazu zbioru \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\). Przy jednocześnie zachodzącej inkluzji \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) mamy \(\displaystyle{ x \in B}\). Wówczas z def. obrazu zbioru \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\). W takim razie można stwierdzić, że dla \(\displaystyle{ x \in A: f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\) bo zachodzi powyższa inkluzja. W takim razie mamy implikację jeżeli \(\displaystyle{ x \in A}\) to \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ B\right]}\). Ale jednocześnie skoro \(\displaystyle{ x \in A }\) to \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\) i przy zachodzącej inkluzji \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) implikację "jeżeli \(\displaystyle{ x \in A}\) to \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ B\right]}\)" można sformułować: "jeżeli \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\) to \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ B\right]}\). Czyli na tej podstawie można wnioskować, że zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \subseteq f\left[ B\right]}\).
Przyznam, że tak to w tym momencie rozumiem.
To jest garść poprawnych obserwacji, które nie składają się w formalny dowód. Zapytam bowiem: gdzie pokazałeś, że każdy element \(\displaystyle{ f\left[ A\right]}\) jest elementem \(\displaystyle{ f\left[ B\right]}\) (bo o tym mówi teza)? To należy sobie samemu dopowiedzieć na podstawie powyższych obserwacji i interpretacji definicji obrazu zbioru - a w dobrym dowodzie nie muszę sobie niczego dopowiadać.

Twój główny problem wydaje się polegać na tym, że stosujesz nie tę definicję obrazu zbioru, którą trzeba. Są dwie równoważne definicje obrazu zbioru - ta której używasz, czyli \(\displaystyle{ f[A]=\{f(x):x\in A\}}\) jest wygodna do rachunków, ale nie do dowodów. Tu przydaje się druga definicja obrazu zbioru: \(\displaystyle{ f[A]=\{y\in Y:(\exists x\in A)y=f(x)\}}\). Przy jej użyciu ten dowód zajmuje półtorej linijki:

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\right]}\). Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje takie \(\displaystyle{ x \in A}\), że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Z założenia \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x\in B}\). Skoro \(\displaystyle{ x\in B}\) i \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\), to \(\displaystyle{ y\in f[{}B]}\), co kończy dowód.

JK

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19413
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: a4karo » 29 kwie 2021, o 06:25

Ta pierwsza definicja też tu działa:
\(\displaystyle{ f\left[B\right]=\{f(x): x\in B\}=\{f(x): x\in A\}\cup\{f(x): x\in B\setminus A\}}\)`\supset \{f(x}: x\in A\}`\(\displaystyle{ =f\left[A\right]}\)
choć nie jest to dowód, który wcześniej opisał JK


Wydaje mi się, że problemem jest znaczkologia Jeżeli bardzo musisz, to spróbuj zapisać znaczkami takie rozumowanie:
Weźmy dowolny element z obrazu zbioru `A`. Jest on obrazem pewnego elementu ze zbioru `A`, który (z powodu zawierania `A` w `B`) jest też elementem zbioru `B`. Stąd wniosek, że ów wybrany na początku element obrazu zbioru A należy również do obrazu zbioru `B`

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27863
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 29 kwie 2021, o 08:10

a4karo pisze:
29 kwie 2021, o 06:58
Ta pierwsza definicja też tu działa:
\(\displaystyle{ f\left[B\right]=\{f(x): x\in B\}=\{f(x): x\in A\}\cup\{f(x): x\in B\setminus A\}}\)`\supset \{f(x}: x\in A\}`\(\displaystyle{ =f\left[A\right]}\)
Działa, ale musisz powołać się na fakt, że obraz sumy zbiorów jest sumą ich obrazów (czego dowód sam w sobie jest dłuższy niż dowód dowodzonego faktu).

JK

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19413
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: a4karo » 29 kwie 2021, o 10:08

A może wystarczy fakt, że \(\displaystyle{ \{f(x): \alpha(x) \vee \beta(x)\} \supset \{f(x): \alpha(x) \} }\)?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27863
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 29 kwie 2021, o 10:20

a4karo pisze:
29 kwie 2021, o 10:08
A może wystarczy fakt, że \(\displaystyle{ \{f(x): \alpha(x) \vee \beta(x)\} \supset \{f(x): \alpha(x) \} }\)?
Na WdM opisy zbiorów postaci \(\displaystyle{ \{f(x): \alpha(x) \vee \beta(x)\} , \{f(x): \alpha(x) \} }\) są niepoprawne... Poza tym jesteś coraz bliżej wykorzystania w dowodzie tezy.

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 29 kwie 2021, o 16:24

Bardzo dziękuję za wszystkie wyjaśnienia i wskazówki.
Czy w takim razie definicję przeciwobrazu zbioru można zapisać w ten sposób?:
dla dowolnego \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\)
\(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right] =\left\{ x \in dom\left( f\right)\left( \exists y \in B\right)y=f\left( x\right) \right\} }\)

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27863
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 29 kwie 2021, o 16:30

Formalnie można, ale praktycznie nie ma to sensu.

W przypadku obrazu te dwie definicje biorą się stąd, że albo opisujesz obraz zbioru za pomocą funkcji zdaniowej, albo za pomocą operacji. W przypadku przeciwobrazu Twój opis, podobnie jak oryginalna definicja, jest opisem za pomocą funkcji zdaniowej, tylko prostą funkcję zdaniową \(\displaystyle{ f(x)\in B}\) zastępujesz jej sztuczną, bardziej "zawikłaną" wersją \(\displaystyle{ (\exists y\in B)y=f(x)}\). Po co ?

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 29 kwie 2021, o 21:03

Teraz rozumiem.

Chciałbym udowodnić, że dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) zachodzą następujące warunki:

1. jeżeli \(\displaystyle{ A \subseteq B \subseteq Y}\), to \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ A\right] \subseteq f^{-1}\left[ B\right]}\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolne zbiory \(\displaystyle{ A,B \subseteq Y}\) takie, że \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) oraz dowolny element \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ A\right]}\). Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru wynika, że istnieje element \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Z założenia \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ y \in B}\). Skoro \(\displaystyle{ y \in B}\) oraz \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\) to \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]}\). Czyli zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ A\right] \subseteq f^{-1}\left[ B\right]}\).

2. Jeżeli \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) oraz \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\), to \(\displaystyle{ f\left[ A \cap f^{-1}\left[ B\right] \right] =f\left[ A\right]\cap B }\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolne zbiory \(\displaystyle{ A \subseteq X, B \subseteq Y}\) oraz dowolne \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\cap f^{-1}\left[ B\right] \right]}\). Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x \in A\cap f^{-1}\left[ B\right]}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Również z def. obrazu zbioru wynika, że dla \(\displaystyle{ x \in A: f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\) oraz dla \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]: y=f\left( x\right) \in B }\). A więc \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right]\cap B }\). Zatem zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f\left[ A\cap f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq f\left[ A\right]\cap B }\). Ale skoro tak to \(\displaystyle{ x \in A\cap f^{-1}\left[ B\right]}\)(co wynika z def. przeciwobrazu zbioru). Z def. obrazu zbioru wynika wtedy, że skoro \(\displaystyle{ x \in A\cap f^{-1}\left[ B\right]}\) to \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\cap f^{-1}\left[ B\right] \right] }\). A więc zachodzi inkluzja przeciwna czyli \(\displaystyle{ f\left[A \cap f^{-1}\left[ B\right] \right] =f\left[ A\right]\cap B }\).

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27863
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 29 kwie 2021, o 22:51

smo pisze:
29 kwie 2021, o 21:03
1. jeżeli \(\displaystyle{ A \subseteq B \subseteq Y}\), to \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ A\right] \subseteq f^{-1}\left[ B\right]}\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolne zbiory \(\displaystyle{ A,B \subseteq Y}\) takie, że \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) oraz dowolny element \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ A\right]}\). Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru wynika, że istnieje element \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Z założenia \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ y \in B}\). Skoro \(\displaystyle{ y \in B}\) oraz \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\) to \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]}\). Czyli zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ A\right] \subseteq f^{-1}\left[ B\right]}\).
Dobrze, ale z luką (zapomniałeś - korzystając z def. przeciwobrazu - napisać, że \(\displaystyle{ f(x)\in A}\)) i zupełnie zbędnym wprowadzeniem dodatkowego symbolu \(\displaystyle{ y}\). Bez tego jest prościej i krócej:

Ustalmy dowolny element \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ A\right]}\). Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru wynika, że \(\displaystyle{ f\left( x\right)\in A}\). Z założenia \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ f(x) \in B}\), zatem \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]}\), co kończy dowód.
smo pisze:
29 kwie 2021, o 21:03
2. Jeżeli \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) oraz \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\), to \(\displaystyle{ f\left[ A \cap f^{-1}\left[ B\right] \right] =f\left[ A\right]\cap B }\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolne zbiory \(\displaystyle{ A \subseteq X, B \subseteq Y}\) oraz dowolne \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\cap f^{-1}\left[ B\right] \right]}\). Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x \in A\cap f^{-1}\left[ B\right]}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Również z def. obrazu zbioru wynika, że dla \(\displaystyle{ x \in A: f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\) oraz dla \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]: y=f\left( x\right) \in B }\). A więc \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right]\cap B }\). Zatem zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f\left[ A\cap f^{-1}\left[ B\right] \right] \subseteq f\left[ A\right]\cap B }\).
To jest w zasadzie dobrze (może jakieś niezręczności w pewnych zapisach, ale nie będę się czepiał).
smo pisze:
29 kwie 2021, o 21:03
Ale skoro tak to \(\displaystyle{ x \in A\cap f^{-1}\left[ B\right]}\)(co wynika z def. przeciwobrazu zbioru). Z def. obrazu zbioru wynika wtedy, że skoro \(\displaystyle{ x \in A\cap f^{-1}\left[ B\right]}\) to \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\cap f^{-1}\left[ B\right] \right] }\). A więc zachodzi inkluzja przeciwna czyli \(\displaystyle{ f\left[A \cap f^{-1}\left[ B\right] \right] =f\left[ A\right]\cap B }\).
Nie mam pojęcia, co to jest i jak miałoby dowodzić zachodzenia drugiej inkluzji. W szczególności nie mam pojęcia, co miałoby oznaczać pierwsze zdanie.

JK

ODPOWIEDZ