Nie można, z kilku powodów.
Przedstawiasz dwie sprzeczne informacje: najpierw twierdzisz, że symbol \(\displaystyle{ t}\) oznacza dowolnie ustalony element zbioru \(\displaystyle{ A}\), a chwilę później stwierdzasz, że "istnieje takie \(\displaystyle{ t \in A}\)", czyli używasz "zajętego" już symbolu na oznaczenie czegoś innego.smo pisze: ↑25 kwie 2021, o 20:18 Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ A \subseteq X}\), \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\), \(\displaystyle{ \red{t \in A}}\) oraz, że funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją.
Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru wynika, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\). Skoro tak to z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje takie \(\displaystyle{ \red{t \in A}}\)
Ten czerwony wniosek jest zupełnie "od czapy", bo nie wiemy, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\) - do tej pory stwierdziłeś tylko, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ A\right]}\) oraz \(\displaystyle{ f\left( t\right) \in f\left[ A\right]}\) oraz zacytowałeś definicję injekcji. Żeby móc z tej definicji skorzystać musielibyśmy wiedzieć, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\), a tego, powtarzam, nie wiemy (błąd w rozumowaniu polega na tym, że stwierdzasz istnienie takiego \(\displaystyle{ t\in A,}\) że \(\displaystyle{ f\left( t\right) \in f\left[ A\right] }\) - ten wniosek nie ma żadnego związku z prowadzonym rozumowaniem, w tym miejscu należy skorzystać z def. obrazu zbioru, która zapewnia istnienie takiego \(\displaystyle{ t\in A,}\) że \(\displaystyle{ f(t)=f(x)}\)).smo pisze: ↑25 kwie 2021, o 20:18 dla którego \(\displaystyle{ f\left( t\right) \in f\left[ A\right] }\). Wówczas skoro funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to spełniony jest warunek: jeżeli \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\) to \(\displaystyle{ x=t}\), a więc \(\displaystyle{ \red{x \in A}}\).
Sformułowanie jest fatalne, w matematyce nie mówimy jak Yoda. Powinno być
Jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) i dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\), to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.
Źle. Pierwsza część jest zbędna, a nawet błędna, bo dalej nie używasz ani dowolnego \(\displaystyle{ A}\), ani dowolnego \(\displaystyle{ x}\), ani dowolnego \(\displaystyle{ t}\). Pierwsze zdanie powinno brzmieć:smo pisze: ↑25 kwie 2021, o 20:18Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ A \subseteq X}\), \(\displaystyle{ x \in A}\), \(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\) dla których zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) oraz, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją.
Przypuśćmy nie wprost, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją.
Dobrze.
A to po co? To jest poprawna, ale zbędna obserwacja.
To jest źle - nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] =\left\{ t\right\} }\). Nie masz prawa deklarować, jak wygląda zbiór \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) (co zrobiłeś, w dodatku błędnie), Ty masz ten zbiór wyznaczyć (dokładniej: uzasadnić pewną jego własność, bo nie masz szans wyznaczyć go dokładnie).
Końcówka, pomijając fakt, że jest oparta na błędnych przesłankach, zawiera typowy błąd formalny - skoro przeprowadzasz dowód nie wprost, to żeby skutecznie dowieść za jego pomocą prawdziwości tezy, musisz dojść do sprzeczności.smo pisze: ↑25 kwie 2021, o 20:18 że \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]\backslash A =\left\{ t\right\}\backslash \left\{ x\right\}=\emptyset}\). Wówczas zachodzi równość \(\displaystyle{ x=t}\). Zatem mamy spełniony warunek: jeżeli \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\) to \(\displaystyle{ x=t}\). Tak więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.
Końcówka powinna wyglądać tak:
Niech \(\displaystyle{ A=\{x\}}\). Wtedy \(\displaystyle{ f[A]=\{f(x)\}}\) i ponieważ \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\), więc \(\displaystyle{ f(t)\in f[A]}\), zatem \(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\). Ale to oznacza, że \(\displaystyle{ A\ne\left[ f\left[ A\right] \right]}\) (bo \(\displaystyle{ x\ne t}\)), co daje sprzeczność z założeniem.
JK